автокад

Задача 17

Тетраэдр с ребром 77 пересекает плоскость. В сечении получается равнобедренный треугольник с основанием 33 и боковыми сторонами 44. Определить длину самого короткого бокового ребра тетраэдра.

Так как все грани тетраэдра ( как получить его изображение см. зад. 11) правильные треугольники, то удобнее начать с основания 33.

Для этого необходимо систему координат перенести в плоскость любой боковой грани тетраэдра (см. Рис.17.1).

,а далее с помощью привязок фиксируем вершины треугольника: 1 – задаем положение начала координат;

2– задаем положение оси Х;

3– задаем положение плоскости ХУ.

Вполученной системе координат с помощью команды изображаем окружность радиусом 33, и получаем точки пресечения

окружности со сторонами треугольника, а далее с помощью привязок и команды строим отрезок прямой, соединив эти точки (см. Рис.17.1).

Рис.17.1

С помощью команды DELETE удалить вспомогательные построения. Аналогичными действиями получаем на второй грани тетраэдра

боковую сторону 44 заданного сечения: с помощью команды изображаем окружность радиусом 44, и чтобы получить точку пресечения

окружности с боковым ребром, с помощью привязок и команды строим синим цветом отрезок прямой, соединив крайние точки этого ребра, а далее

с помощью привязок и команды строим боковую сторону 44 заданного сечения (см. Рис.17.2)

401

Рис.17.2

С помощью команды DELETE удаляем вспомогательные построения. Теперь можно получить заданное сечение тетраэдра.

Для этого необходимо систему координат перенести в плоскость, образованную двумя пересекающимися отрезками 33 и 44(см. Рис.17.3).

,а далее с помощью привязок фиксируем концы этих отрезков: 1 – задаем положение начала координат;

2– задаем положение оси Х;

3– задаем положение плоскости ХУ.

Вполученной системе координат изображаем вспомогательный ящик.

Активизировать команду ВОХ.

В ответ на следующие запросы последовательно ввести координаты точки основания; координаты точки основания по диагонали; высоту:

Specify corner of box or [CEnter] <0,0,0>: -11,-11,0 Specify corner or [Cube/Length]: 55, 55,0

Specify height: 55 .

Изображение (Рис.17. 3):

Рис.17.3

402

Получение усечённого тетраэдра.

Активизировать команду SUBTRACT . В ответ на запрос:

Select objects: выделить тетраэдр . В ответ на следующий запрос:

Select objects: выделить параллелепипед . Получаем изображение Рис.17.4:

Рис.17.4

Осталось получить длину самого короткого ребра тетраэдра.

Для этого необходимо систему координат перенести в плоскость боковой грани тетраэдра (см. Рис.17.5) :

,а далее с помощью привязок фиксируем три вершины трапеции: 1 – задаем положение начала координат;

2– задаем положение оси Х;

3– задаем положение плоскости ХУ.

Вполученной системе координат с помощью команды ALIGN и привязок определяем длину самого короткого бокового ребра тетраэдра (см. Рис.17.5) .

Рис.17.5

403

Задача 18

Тетраэдр с ребром 77 пересекает плоскость. В сечении получается треугольник со сторонами 55,59 и 61. Определить положение секущей плоскости.

Изобразим все боковые грани и произвольно проведем на них стороны заданного сечения. Так как все грани тетраэдра (как получить его изображение см. задачу 12) правильные треугольники, то получаем одно

изображение, а затем получаем копии с помощью команды , по запросам которой выделяем треугольник – «Enter». Указываем базовую точкулюбую вершину треугольника. Далее необходимо указать точку, куда переносим любую удобную точку – «Enter» - «Enter» . Далее с помощью

команды изображаем окружность радиусом 55, и получаем точки пресечения окружности со сторонами треугольника, а далее с помощью

привязок и команды строим отрезок прямой (см. Рис.18.1). Теперь полученный треугольник (сиреневый) с помощью привязок и с помощью команды POLYLINE (на все запросы <указать точку> привязками фиксируем вершины треугольника) превращаем в единую полилинию. Аналогично получаем отрезки 59 и 61.

Рис.18.1

Теперь по заданным размерам изображаем требуемое сечение тетраэдра и к нему пристраиваем три полученных треугольника с помощью команды ALIGN, по запросам которой выделяем треугольник – «Enter».

На запрос <указать точку> привязками фиксируем в сиреневом треугольнике один конец отрезка 55, а затем фиксируем новое положение, т.е. на вершине требуемого сечения.

На следующий запрос <указать точку> привязками фиксируем в сиреневом треугольнике другой конец отрезка 55, а затем фиксируем новое положение, т.е. вторую вершину требуемого сечения (см. Рис.18.2).

404

Аналогично пристраиваем два полученных треугольника для отрезков

59 и 61.

Рис.18.2

Точное положение сечения неизвестно, поэтому отрезки на боковых гранях проведены произвольно (см. Рис.18.3).

Рис.18.3

Но можно утверждать, что неизвестно точное положение вершины треугольника, и в этом случае закономерность решений более очевидна: так как угол равен 60, то геометрическое место точек, на которых может располагаться эта вершина будет дуга окружности, в которую вписан угол вершины (все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой) (см. Рис.18.4).

405

Рис.18.4

Итак, на плоскости это дуга, а в пространстве – это тело, полученное от вращения этой дуги вокруг отрезка. Значит, поверхности трех тел пересекутся в такой точке, которая будет общей вершиной для всех трех боковых граней. Такова идея решения этой задачи.

Итак, вокруг пристроенных треугольников необходимо описать дуги. С помощью команды ARC, выбрав в боковом меню 3-point, привязками фиксируем вершины треугольника (см. Рис.18.5).

Рис.18.5

Для наглядности и большей доступности изображаем дуги разными цветами. Теперь поочередно изображаем тела, полученные от вращения этих дуг вокруг своих отрезков.

Активизировать команду REVOLVE .

Левой кнопкой мыши выделить ранее построенную дугу. В ответ на запрос:

Specify start point for axis of revolution or define axis by [Object/X (axis)/Y (axis)]: привязками фиксируем оба конеца отрезка 55.

В ответ на следующий запрос указать угол поворота:

Specify angle of revolution <180>: .

406

Аналогично изображаем тела, полученные от вращения дуг вокруг

отрезков 59 и 61. Далее необходимо активизировать команду UNION . В ответ на следующие запросы левой кнопкой мыши выделить тела, полученные от вращения дуг вокруг своих отрезков . Чтобы линия пересечения тел была достаточно заметной выполняем ее другим цветом. В итоге получается изображение, на котором видно, как три линии пересечения сходятся в одной точке (Рис.18.6):

Рис.18.6

Для создания реального пространственного ощущения полученный объект можно закрасить, исследовать его и убедиться в правильности выбора точки

с помощью команды (3D ORBIT – «Enter») ( см. Рис.18.7).

Рис.18.7

407

Итак, полученная точка пересечения трех линий должна быть вершиной

отсеченной части тетраэдра. С помощью привязок и команды соединим ее с вершинами треугольника, который должен быть сечением тетраэдра.

Рис.18.8

Теперь полученную пирамиду с помощью привязок и команды POLYLINE (на все запросы <указать точку> привязками фиксируем вершины) превращаем в единую полилинию. Получаем копию с помощью

команды , по запросам которой выделяем полученную пирамиду – «Enter». Указываем базовую точкулюбую вершину. Далее необходимо указать точку, куда переносим любую удобную точку (рядом с тетраэдром )

– «Enter» - «Enter» ( см. Рис.18.9).

Рис.18.9

408

Теперь к заданному тетраэдру ( как получить его изображение см. задачу 11) пристраиваем полученную отсеченную часть тетраэдра

с помощью команды ALIGN, по запросам которой выделяем отсеченную часть – «Enter».

На запрос <указать точку> привязками фиксируем вершину черной пирамиды, а затем фиксируем новое положение, т.е. вершину тетраэдра.

На следующий запрос <указать точку> привязками фиксируем вершину основания черной пирамиды, затем фиксируем новое положение, т.е. вершину основания сиреневой пирамиды.

На следующий запрос <указать точку> привязками фиксируем вторую вершину основания черной пирамиды, затем фиксируем новое положение, т.е. вторую вершину основания сиреневой пирамиды (см. Рис.18.10).

Рис.18.10

Осталось проверить заданные параметры и определить положение секущей плоскости, что выполняется в предварительно установленной системе координат с помощью команды ALIGN и привязок (см. Рис.18.11) .

Рис.18.11

409

Задача 19

Провести через прямую АВ плоскость, пересекающую шар по кругу радиусом R12,5, если центр шара расположен в точке С, а его радиус R15.

Координаты точек: А(35;39;40), В(10;11;13), С(30;20;20).

Алгоритм решения задачи

1. Построение прямой АВ. Активизировать команду 3DPOLY.

В ответ на запрос ввести координаты точки А:

Specify start point of polyline: 35, 39, 40 .

В ответ на следующий запрос ввести координаты точки В:

Specify endpoint of line or [Undo]: 10, 11, 13 .

2. Для облегчения визуального восприятия целесообразно не загромождать изображение сферой, а покажем вначале только ее центр, т.е. точку С, с этой целью необходимо изменить цвет линий на зелёный и точку С представить точкой пересечения двух зеленых линий.

Ввести в командной строке 3DPOLY.

Вответ на запрос Specify start point of polyline: указать левой кнопкой мыши положение точки А: .

Вответ на следующий запрос ввести координаты точки С:

Specify endpoint of line or [Undo]: 30, 20, 20 .

В ответ на следующий запрос Specify endpoint of line or [Undo]: указать левой кнопкой мыши положение точки В: .

3.Получение изображения на весь экран.

Активизировать команду ZOOM .

Левой кнопкой мыши выделить необходимую область. Получаем изображение (Рис. 19.1):

Рис. 19.1

410