Lectures part1

- 81 -

одну из этих формул, то такая величина является тензором соответствующего ранга.

Сточки зрения тензорного подхода вектор является тензором первого ранга.

Всовременной механике деформируемых тел, как и в других отраслях науки и техники, широко используются понятие и свойства тензора. С его по- мощью можно записывать соотношения для произвольных систем координат, что, в частности, позволяет создавать универсальные программы для вычисли- тельных машин. Понятие тензора полезно ещё и тем, что позволяет предста-

вить себе напряженное состояние вблизи точки как одну многокомпонентную величину, не зависящую от выбора системы координат.

- 82 -

Тема №8. Деформированное состояние в точке трехмерного тела. Обобщенный закон Гука. Система уравнений теории

упругости и пути ее решения

Деформированное состояние в точке трехмерного тела

Деформированное состояние тела можно характеризовать перемещения- ми точек. Действительно, если имеется закрепленное до деформации тело, то при деформации все его точки переместятся в новое положение. Напомним,

что перемещением точки называется вектор U , проведенный из положения материальной точки тела до деформации А в ее положение А* после дефор-

мации (рис. 8.1), а составляющие вектора U по осям x, y, z обозначены в дан- ном курсе u, v, w.

стержня убедились, что неудобно пользоваться только абсолютными величи- нами перемещений. Кроме них вводилась относительная величина – относи- тельное удлинение, называемое еще линейной деформацией. Именно эта вели- чина связана законом Гука с нормальным напряжением. Другое напряжение, касательное, связано было законом Гука для сдвига с угловой деформацией.

В общем, трехмерном случае для характеристики деформированного со- стояния вблизи точки используются линейные деформации εx , ε y , εz и угло-

вые деформации γ xy , γ yz , γ zx . Рассмотрим в теле до деформации точки A, B, C, D (рис. 4.1), образующие отрезки AB = dx , AC = dy , AD = dz . Положение этих точек после деформации помечено на рис. 8.2 соответствующей буквой со звез- дочкой. Линейные деформации в точке А во всех координатных направлениях вводятся также, как в направлении координаты x при растяжении стержня

Угловой деформацией назван угол, на который изменяется прямой угол в деформируемом твёрдом теле. Изменяться могут, очевидно, углы на всех плос- костях, проходящих через данную точку. Угловые деформации в плоскостях, параллельных координатным, вводятся соотношениями

ций. Кроме того, деформированное состояние закреплённого тела можно также характеризовать перемещениями его точек. Различные величины, характери- зующие деформации вблизи точки, называют параметрами деформированного состояния в точке твердого тела, а само это физическое явление – деформи- рованным состоянием в точке.

Как и в случае напряжений, деформаций в данной системе координат шесть, и можно показать, что для них выполняется основной тензорный при- знак (7.38) и они также образуют симметричный тензор второго ранга (для это- го вводят коэффициент 0,5 при угловых деформациях).

Поэтому для деформаций, как и для напряжений, существуют главные оси и главные значения деформаций:

обладают они и всеми другими свойствами симметричных тензоров второго ранга.

но вместо отрезка AB пользуемся его проекцией на ось х – отрезком a*b* . Ко- ординаты крайних точек этого отрезка определим по рис. 8.2 (табл. 8.2).

Отсюда следует, что введенные упрощения соответствуют пренебрежению по- воротом отрезка AB = dx в процессе деформации.

- 89 -

По главным значениям деформаций и напряжений вычисляются также значения угловых деформаций и касательных напряжений для произвольных площадок, что приводит к соотношениям

Соотношения (8.28) и (8.29) представляют собой обобщенный закон Гука для произвольных осей координат. Коэффициент G – модуль сдвига, для кото- рого заодно для общего случая получается соотношение (8.30), связывающее его с модулем на растяжение-сжатие и коэффициентом Пуассона.

Соотношения обобщенного закона Гука могут быть переписаны для вы- числения напряжений по деформациям. В сдвиговых уравнениях (8.29) это де-

В соотношениях (8.28) добавим и вычтем слагаемые с коэффициентом Пуассона, сумма нормальных напряжений даст независящую от выбора коор-

Обозначим первый инвариант деформаций аналогично первому инварианту напряжений:

Сложив формулы (8.33), найдем зависимость между инвариантами:

ε* = 1− 2μ σ*. (8.35)

E

Теперь формулы (8.33) легко обращаются. Например, первая из них при-

нимает вид

что приводит к искомым равенствам обобщенного закона Гука во второй форме: σx = λε* + 2Gεx , τxy = Gγxy ,

а G – модуль сдвига.

Напомним, что закон Гука является частным видом физических соотно- шений, связывающих напряжения и деформации. Он справедлив при малых перемещениях и деформациях.

Система уравнений теории упругости.

Выпишем дифференциальные уравнения равновесия бесконечно малого элемента трехмерного упругого тела (6.14), соотношения обобщенного закона Гука (8.28) и (8.29) и соотношения Коши:

точки упругого тела: три компонента перемещения (u,v,w ), шесть компонентов деформаций (εx ,εy ,εz ,γxy , γ yz ,γzx ) и шесть компонентов напряжений (σx , σy , σz , τxy , τyz , τzx ). Объемные силы ρx , ρy , ρz , характеристики материала λ, G ,

а также геометрия конструкции считаются известными.

Уравнений тоже 15, однако большая часть из них дифференциальные в частных производных. Дифференциальные уравнения требуют для однознач-