Lectures part1

- 141 -

нообразными. Может быть ограничен максимальный прогиб

v max £ [v] ,

а могут быть ограничены прогибы или перемещения любых отдельных точек конструкции, причем с двух сторон

Последний вид ограничений возникает, например, в технологических за- дачах, когда необходимо обеспечить сборку конструкции под нагрузкой и надо добиться совпадения сборочных отверстий. Могут быть ограничены в отдель-

ных задачах углы поворота сечений или другие параметры деформированного состояния.

Допускаемые значения назначают с некоторым коэффициентом запаса, который учитывает приближенность решения задачи и неточное знание исход- ных данных:

[v] = vпредельное .

k

Значение коэффициента запаса k отличается от коэффициентов запаса по напряжениям.

Возможен и подбор сечений из условий жесткости.

Система дифференциальных уравнений изгиба балки. Дифференциальные зависимости при изгибе.

Ранее были получены следующие дифференциальные зависимости (урав- нения равновесия и уравнение изогнутой оси):

которые образуют систему дифференциальных уравнений изгиба балки. В этих

уравнениях следует считать известными функцию интенсивности поперечной распределенной нагрузки qy (x), и EIz – жесткость сечения на изгиб (будем

считать для простоты EIz константой). Перерезывающие силы Qy (x), изги- бающие моменты в сечениях M z (x), а также прогиб v(x) – искомые функции.

Таким образом, для определения трёх неизвестных функций записана система трёх дифференциальных уравнений. Число уравнений соответствует числу не- известных, но поскольку уравнения дифференциальные, необходимы дополни-

- 142 -

тельные уравнения – граничные условия. Чтобы выяснить общий порядок этой системы уравнений и необходимое число граничных условий, преобразуем сис- тему. Для этого подставим второе уравнение в первое:

Подставив результат в третье уравнение, приходим к одному дифференциаль- ному уравнению четвертого порядка относительно функции прогиба:

Для решения этого уравнения необходимы четыре граничных условия. В простейшем случае балки с одним участком их всегда можно указать. Это два условия опирания балки и два условия, выражающие равенство внешних сил внутренним силовым факторам в крайних сечениях. Для балки, изображенной на рис.11.1 силовые граничные условия имеют вид

Поскольку необходимы условия для функции прогиба, граничные условия пе- реписаны с использованием этой функции. Для балки изображённой на рис. 12.1, силовые условия такие

ренцированием остальные величины задачи. Никаких дополнительных гранич- ных условий для этого уже не нужно. Заметим, что на краю балки в качестве граничного условия можно задавать либо перерезывающую силу, либо соответ- ствующий ей прогиб. Аналогично можно задавать либо момент, либо угол по- ворота поперечного сечения. Одновременное задание этих величин невозможно.

Приведенный способ – один из общих путей решения задач механики де- формируемых твердых тел, путь решения в перемещениях. Этот путь имеет

- 143 -

свои преимущества и недостатки. Мы, однако, им не пользовались и решали задачу по-другому. Вначале при построении эпюр внутренних силовых факто- ров неявно решили систему двух уравнений равновесия вместе с соответст- вующими ей граничными условиями, а затем интегрировали уравнение изогну- той оси балки для определения прогибов.

В заключение перепишем в другой форме систему дифференциальных уравнений при изгибе, введя угол поворота поперечных сечений и соответст- вующее дифференциальное соотношение:

Из этой формы записи легко получить сводку всех основных дифференциаль- ных соотношений при изгибе балки:

dxd [EIzv(x)]= EIzq(x),

Эти зависимости можно использовать, в частности, при построении и проверке эпюр для функций Qy (x), M z (x), θ(x), v(x).

- 144 -

Тема №13. СДВИГ (СРЕЗ) СТЕРЖНЕЙ. РАСЧЁТ НА СМЯТИЕ.

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ

Деформация сдвига стержней, срез стержней

Переходим к рассмотрению следующего после растяжения-сжатия и из- гиба виду деформаций стержней – деформации сдвига стержней. Деформацией сдвига стержней ( или срезом), называется деформация стержня, вызываемая перерезывающими силами Qy (x) и Qz (x). Частично этот вид деформации

стержней уже рассмотривался в теме поперечного изгиба. При наличии перере- зывающей силы согласно уравнению равновесия происходит и изгиб. Однако при рассмотрении поперечного изгиба деформация сдвига оказывается второ- степенной, и учитывались только связанные с ней касательные напряжения, ко-

торые во многих случаях оказывались много меньше нормальных напряжений от изгиба.

сительно друга в направлении оси у, оставаясь плоскими. Допущения соответ-

ствуют гипотезе плоских сечений и гипотезе недеформируемости сечения в своей плоскости. Кроме того, предполагаем, что изгиба нет совсем, что он свя- зан с изгибающими моментами, которые не рассматриваем, поэтому считаем, что продольные «волокна» (продольные линии) остаются прямыми. При этом они наклоняются на один и тот же угол относительно продольной оси и пере- стают быть перпендикулярными поперечным сечениям, которые остаются вер- тикальными. В этом заключается отличие от гипотезы плоских сечений, в кото- рой допускается, что сечения остаются перпендикулярными изогнутой оси стержня. Упрощенная таким образом схема деформирования представлена на рис. 13.1.

Нетрудно видеть, прямые углы во всем стержне изменяются на один и тот же угол. Он равен углу поворота поперечного сечения относительно нормали к оси стержня после деформации и углу поворота оси стержня при деформации. По

- 145 -

определению этот угол представляет собой угловую деформацию γxy в плоскости

x0y, которая оказывается постоянной во всем стержне. Элемент стержня любой длины, например элемент CC + , в данном случае нагружен теми же силами, что и весь стержень, и деформируется так же, как весь стержень (рис. 13.2). Поскольку это единственный вид деформации, отличный от нуля в данной схеме деформиро- вания, то в соответствии с законом Гука на площадках, связанных с осями коор- динат x и y, будут действовать только касательные напряжения

(поскольку должны появляться касатель- ные напряжения на верхней и нижней поверхностях стержня). Оно соответст-

вует только оценке средней величины касательных напряжений в сечении

В данной задаче Qy (x)= P = const .

Очевидно, что и принятая схема деформирования, где не учтён изгиб и искривление поперечных сечений, соответствует только грубой оценке харак- тера деформированного состояния стержня в данном случае. Из рис. 13.1 вид-

Здесь учтено, что при малых перемещениях и деформациях тангенс угла γxy

можно считать равным самому углу.

Подставив равенства (13.2), (13.3) в формулу закона Гука для сдви- га (13.1), приходим к следующему соотношению:

стержня от сдвига v называют ещё абсолютным сдвигом (на длине l), а само соотношение, связывающее силовой фактор в сечении с перемещением, назы- вают соотношением упругости при сдвиге. Заметим, что структура этой фор- мулы точно такая же, как при растяжении

где вместо перерезывающей силы входила сила осевая, вместо модуля на сдвиг

–модуль на растяжение-сжатие, а вместо прогиба – осевое перемещение.

Вотличие от последнего соотношения для растяжения, соотношение для сдвига (13.4) является весьма приближённым, пригодным лишь для оценки, а не для получения точного результата. Она хотя и основана на вполне точной формуле закона Гука, но при выводе предполагается, что в материале происхо- дит чистый сдвиг, а это явно не соответствует действительности.

Деформации от сдвига присутствуют и при поперечном изгибе. При не- обходимости их можно учесть и уточнить результаты определения прогиба, вычисленные с помощью интегрирования уравнения изогнутой оси балки. Но

эти деформации в большинстве случаев пренебрежимо малы по сравнению с прогибами от изгиба.

На практике часто встречается и другой случай нагружения стержней, ко- гда существенны именно перерезывающие силы и сдвиговые деформации, а из- гиб и связанные с ним явления играют второстепенную роль. Так нагружаются часто крепежные элементы: заклёпки, болты, шпильки, шпонки, в том числе, болт в соединении ухо-вилка (рис. 13.3). Этот случай нагружения стержней ча- ще называют срезом в отличие от случая сдвиговой деформации при попереч- ном изгибе. Срезом называют и разрушение стержня при таком нагружении. Упрощенная схема нагрузки, действующей в этом случае на стержень, показана

на рис. 13.4. В результате соседние сечения стержня A и A+ , B и B+ будут

стремиться проскользнуть друг по другу. При достаточно больших нагрузках

такие скольжения в пластичных материалах происходят и болт разрушается от среза. Срез в соединении ухо-вилка произойдет по двум плоскостям, поэтому его называют двойным срезом. Часто встречается и одинарный срез. Он возни- кает, например в случае на рис. 13.5. Однако при одинарном срезе изгиб более значителен, чем при двойном. Срез происходит и при резке листовых материа- лов ножницами и на гильотине.

Болт в целом (рис. 13.3) вполне может рассматриваться как стержень, по-

- 149 -

Можно заметить, что длина линий на поверхностях листа, по которым происходит срез, взята в формуле меньшей, чем на рисунке, на половину диа- метра заклёпки. Точнее было бы взять некоторое промежуточное значение, но определить его трудно, поэтому берут значение, заведомо дающее большее значение напряжения. Этим обеспечивается больший запас прочности. В таких случаях говорят, что ошибка идёт в запас прочности.

Срез – не единственный возможный вид разрушения этого соединения. Оно может разрушиться ещё, например, от разрыва листов. Нормальные на- пряжения в сплошном сечении листа, перпендикулярном силе, можно найти по

формуле

Но это не будут максимальные нормальные напряжения в листе. Наибо- лее нагруженным материал листа будет в сечении, ослабленном рядом отвер- стий под заклёпки. Его и следует проверять на прочность при растяжении.

вычисляя так называемые номинальные напряжения.

Очевидно, что σном > σспл . При этом не учитывается одно весьма сущест-

венное обстоятельство, которое в отдельных случаях может влиять на оценку прочности такого соединения. Дело в том, что нормальное напряжение σном ,

вычисляемое по формуле (13.14), всё же не является максимальным. О механи- ческом явлении, с которым мы здесь встретились и которое называется кон-

центрацией напряжений, мы скажем ниже.

Если накладки сделаны из материала той же толщины, что и соединяемые листы, то проверять их на прочность нет необходимости. Она вдвое меньше на- гружены, чем сами листы. При разной толщине накладок и листа пришлось бы делать ещё несколько дополнительных проверок прочности. Но и в случае, по- казанном на рис. 13.6, возможен, по крайней мере, ещё один вид разрушения – разрушение вследствие смятия поверхности.

Смятие поверхности

Смятие поверхности может произойти в зоне контакта заклёпки с листом. Пластичный материал заклёпки после достижения напряжениями уровня пре- дела текучести может вытекать за счёт пластических деформаций из зоны кон- такта. От смятия чаще разрушаются заклёпки, поскольку их делают из пластич- ных материалов, чтобы можно было расклёпывать головки. Но если твёрдость

- 150 -

листа меньше твёрдости заклёпки, то сминаться может и лист.

При смятии максимальные контактные напряжения или напряжения смятия между заклёпкой (т.е. напряжения в зоне контакта тел) и листом точно определить затруднительно. Эти напряжения возникают на цилиндрической поверхности и подчиняются достаточно сложному закону, который к тому же зависит от размера зазоров, точности выполнения размеров, величины сил тре- ния и т.д. Примерный характер распределения давления s на поверхность за- клёпки показан на рис. 13.7. Чтобы оценить величину этого давления и вызы- ваемых им напряжений, силу, действующую на одну заклёпку, делят на пло- щадь части диаметрального сечения CC1C2C3 высотой t, равной толщине листа.

Получившееся напряжение, называемое напряжением смятия, сравнивают с