Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lectures part1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

- 91 -

ного решения задания граничных условий. Такими условиями в данном случае будут условия на границе, краю тела. На части границы, где заданы опорные связи рассматриваемого тела, граничными (краевыми) условиями будет равен-

ство вектора перемещений U точек тела перемещениям опорных связей U

r r
~	(8.42)
U = U	(8.42)
Если же опоры абсолютно твердые, то перемещения опор нулевые. Тогда
на границе
U = 0	(8.43)

На другой части границы могут быть задан вектор внешнего давления s , он должны быть равен в точках границы напряжению σ (внутреннему давле- нию), поэтому на другой части контура граничное условие будет иметь вид:

r
~	(8.44)
s = s ,	(8.44)
для свободного же края без нагрузки условием на границе будет
σ = 0.	(8.45)

Переписанные в проекциях на оси координат граничные (точнее краевые) условия (8.42), (8.44) или их варианты записи (8.43), (8.45) должны быть при- соединены к системе уравнений (8.39) – (8.41), после чего она становится замк- нутой. Это система уравнений в частных производных высокой сложности, по- скольку она содержит 15 неизвестных функций трех координат, например σx = σx (x, y, z), γ zx = γ zx (x, y, z), u = u(x, y, z) и т.д. В общем случае ее решение можно осуществить только численными методами, хотя в частных случаях возможно и аналитическое ее решение.

Для решения эти уравнения обычно преобразуют, уменьшая число урав- нений и основных неизвестных. Используют два основных пути решения этой системы уравнений: решение в напряжениях или же решение в перемещениях. В первом случае из системы уравнений исключаются деформации и перемеще- ния. Решение получающейся системы уравнений относительно напряжений оказывается несколько более сложной, чем при решении в перемещениях, и используется реже. Более употребительным является второй путь.

Уравнения для решения краевой задачи теории упругости в перемещениях.

В качестве основных неизвестных, подлежащих определению в первую очередь, принимаются три функции компонентов вектора перемещений:

u = u(x, y, z),v = v(x, y, z),w = w(x, y, z) .

(8.46)

Подстановка в равенства обобщенного закона Гука, записанного в фор- ме (8.40), соотношений Коши даёт соотношения для напряжений, входящих в

первое из уравнений равновесия (8.39),

= le* + 2G

¶u

, t

¶v

¶u

¶w ö

(8.47)

= Gç

÷, t

= Gç

÷,

¶x

¶y

¶z

¶x ø

где							- 92 -
	∂u		∂v		∂w
e* =		+		+		.	(8.48)
	¶x		¶y
					¶z

Подстановка выражений (8.47) для напряжений в уравнение равновесия после

группировки членов приводит к уравнению

¶e*

¶ æ

¶u

¶v

¶w ö

¶2u

¶2u ö

+ G

+ Gç

+ g

= 0.

(8.49)

¶x

¶y

¶x

¶y

¶z

¶x è

¶z ø

Используя (8.48), и учтя, что выражение во вторых круглых скобках есть опе-

ратор Лапласа

( )		¶2	L		¶2 L		¶2 L
			( )		( )		( )
D L	=			+		+		,	(8.50)
		¶x2			¶y2		¶z2

получим первое, а по аналогии и остальные уравнения равновесия в перемещениях

(l + G)	¶ æ		¶u	+	¶v	+	¶wö		+ GDu + rx =
		ç			¶y		¶z	÷

	¶x è ¶x							ø
	¶	æ	¶u		¶v			ö
(l + G)		ç		+		+	¶w÷		+ GDv + ry =
					¶y
	¶y è ¶x						¶z ø
(l + G)	¶	æ	¶u	+	¶v	+	¶wö		+ GDw + rz =
		ç			¶y		¶z	÷

	¶z è ¶x							ø

0 ,

(8.51)

Таким образом, мы пришли к системе трех дифференциальных уравне- ний в частных производных относительно трех неизвестных функций переме- щений точек тела u(x, y, z),v(x, y, z),w(x, y, z). Система получается значительно

более обозримой, чем исходная. Легче видеть и граничные условия, необходи- мые для решения системы. Действительно, каждое из уравнений имеет второй порядок. Для их решения необходимо по два граничных условия для каждой переменной. Такие условия в начале и в конце интервала, т.е. граничные (крае- вые) условия, очевидно всегда можно указать.

Граничные условия для перемещений (8.42) или (8.43) сохранят свой вид, условия же для напряжений (8.44) или (8.45) необходимо переписать, исполь- зуя равенства, подобные (8.47). Уравнения (8.51) называются уравнениями Ла- ме. Если их удается решить аналитически или численно, то по найденным функциям перемещений с помощью соотношений Коши (8.41) определяются сначала деформации, а затем из обобщенного закона Гука (8.40) вычисляются напряжения.

- 93 -

Тема №9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ

СЕЧЕНИЙ

В формулы сопротивления материалов входят величины, представляю- щие собой интегралы по площади поперечных сечений. Значения этих инте- гралов зависят только от геометрии этих сечений. Прежде чем изучать изгиб и кручение стержней, рассмотрим вспомогательный вопрос – свойства и способы вычисления этих интегралов.

Статические моменты плоского сечения

Статическими моментами плоского сечения называются интегралы вида

Sy = òzdF ,	Sz = ò ydF .	(9.1)
F	F

Это – чисто геометрические интегралы. Поясним, почему они называются мо- ментами.

Рассмотрим пластину постоянной толщины h из материала с удельным весом ρ , который действует в направлении оси x (рис. 9.1). Выделим малый элемент объема Vi , как показано на рисунке. Поскольку площадь этого эле- мента на лицевой поверхности пластины Fi , то объем этого элемента

Vi = h Fi , вес Pi = ρh Fi , а момент относительно оси y : M yi = ρhzi Fi .

		z
	Fi	h
	Fi	Vi
		Vi
		zi

0	y
	h

Рис. 9.1

Суммируя моменты всех подоб- ных элементов пластины, получим на-

стоящий статический момент сил веса этой пластины относительно оси y :

i=∞	i=∞
M y = åρhzi	Fi = ρh åzi Fi .
i=1	i=1

Бесконечная сумма в этом выражении является интегральной, поэтому

M y = ρhòzdF ,

откуда видно, что данный момент отличается от статического момента площа- ди сечения только постоянным множителем (отсюда название «статический момент» площади сечения).

По тем же соображениям используется понятие центра тяжести сечения.

Центр тяжести – это точка, в которой приложена равнодействующая сил веса. Статический момент системы сил (в том числе сил веса) относительно оси, проходящей через точку приложения их равнодействующей, равен нулю.

			- 94 -
Поскольку момент равнодействующей равен сумме моментов состав-
ляющих, то, если yc , zc – координаты центра тяжести в некоторых произволь-
ных осях, для силы веса ρhF можем записать
	i=∞
ρhFzc = åρhzi Fi = M y .
	i=1
Заменим бесконечную сумму интегралом и сократим на ρh :
Fzc	= òzdF ,
	F
поэтому	= S y , Fyc = Sz .
Fzc	= S y , Fyc = Sz .					(9.2)
где yc , zc	– координаты центра тяжести сечения (а не только пластины).
				Координатные оси,		проходящие
	II	y	через	центр	тяжести,	называются
I	II	y	центральными.
			центральными.
				Так как	определенный интеграл
				Так как	определенный интеграл
			представляет собой бесконечную сум-
			му, то статический момент обладает
	III		свойством аддитивности по области.
			Тогда	статический момент составного
z		0	сечения (рис. 9.2) относительно некото-
z		0	рой оси y можно представить как сум-
	Рис. 9.2		рой оси y можно представить как сум-
	Рис. 9.2		му статических моментов элементов,
			составляющих		сечение.	Отверстие
в этом случае можно рассматривать как элемент с отрицательным статическим
моментом и площадью поперечного сечения, поэтому
S y = SI y + SII y − SIII y ,						(9.3)
откуда, учитывая (9.3):
zc (FI + FII − FIII )= zIcFI + zIIcFII − zIIIcFIII .
В итоге получаются формулы для определения центра тяжести сечения, со-
стоящего из элементов с известным положением центра тяжести:
yc = yIc FI + yIIc FII − yIIIc FIII		;
	FI + FII − FIII					(9.4)
zc = zIc FI + zIIc FII − zIIIc FIII .						(9.4)
zc = zIc FI + zIIc FII − zIIIc FIII .
	FI + FII − FIII

	- 95 -
Моменты инерции плоских сечений и их простейшие свойства
Интегралы по площади сечения
I y = òz2dF,	Iz = ò y2dF	(9.5)
F	F
I yz = ò yzdF ,		(9.6)
F
I p = òr2dF .		(9.7)
F
называются моментами инерции плоского сечения, причём		I y , Iz – осевые

моменты инерции, I yz – центробежный момент инерции, I p – полярный мо-

мент инерции.

Как и статические моменты, эти величины совпадают с точностью до множителя ρh с инерционными характеристиками пластины, изображенной на

рис. 9.1 (см. курс теоретической механики).
Нетрудно видеть:
I p = I y + Iz ,			(9.8)
действительно, из рис. 9.3 получаем
I y + Iz = òz2dF + ò y2dF = ò(z2 + y2 )dF = òr2dF = I p .
F	F	F	F

Но I p это определенный интеграл, некоторое постоянное для данного сечения число. Поскольку для любых осей, например ξ и η (рис. 9.3), поверну- тых на произвольный угол относительно начала координат, справедливо равен-

ство

r2 = y2 + z2 = ξ2 + η2 .
Тогда
I p = I y	+ Iz = Iξ + Iη = const .
	ξ	y
	ξ
	dF
	z
	r	y
z		0
ξ
	Рис. 9.3

(9.9)

Таким образом, нами получено свойство осевых моментов инерции:

Сумма осевых моментов инерции не меняется при повороте осей коорди- нат.

Кроме того, из определений мо- ментов инерции очевидно, что осевые и центробежный моменты инерции вели- чины всегда положительные.

Так как момент инерции, как и ста-

				- 96 -
тический момент, есть интеграл, то он также обладает свойством аддитивности,
как и статический момент, так что для одной и той же оси y момент инерции
сечения на рис. 9.2 можно представить в виде суммы:
Iy = I yI + I yII		− IyIII .				(9.10)
Здесь для отверстия снова используется тот же прием. Момент инерции отвер-
стия взят со знаком минус.
Центробежный же момент инерции может быть как положительным, так
и отрицательным. Центробежный момент инерции для осей, одна из которых
является осью симметрии сечения, равен нулю. Докажем это свойство.
Ось y сечения на рис. 9.4 является осью симметрии. Представим центро-
бежный момент всего сечения как сумму центробежных моментов, вычислен-
ных по его левой и правой частям (относительно этой оси):
I yz = ò yzdF = ò yл zлdFл + ò yп zпdFп .						(9.11)
F		Fл		Fп
Для любого элемента dFл существует равный ему элемент dFп . Очевид-
ны следующие равенства
yл = yп , zл = −zп , Fл = Fп .
Тогда
I yz = ò yл zлdFл + ò yп zпdFп = − ò yп zпdFп + ò yп zпdFп = 0,
Fл			Fп	Fп	Fп
что и требовалось доказать.
		y			y	yc
					A
	zл zп				0
dFл y	zл zп		dFп	z	y0	ц.т.
dFл y	л	y	dFп	zc	z0	0c
	л	п
z		0
Рис. 9.4					Рис. 9.5
Докажем некоторые другие свойства моментов инерции, которые пона-
добятся нам в дальнейшем.

Моменты инерции сечения относительно осей, параллельных центральным

Найдем момент инерции относительно оси y (рис. 9.5), исходя из его оп- ределения. Если yс, zс – координаты точки А в центральных осях, y0 , z0 – коор-

								- 97 -
динаты точки 0 в центральных осях (расстояний между осями), то координаты
точки А в произвольных осях, как видно из рисунка, записываются так:
	y = yc − y0 , z = zc − z0 .								(9.12)
Тогда в определении момента инерции можно сделать замену переменной и
представить интеграл в виде суммы интегралов по отдельным слагаемым
	I y = òz2dF = ò(zc − z0 )2 dF = òzc2dF − 2z0 òzcdF + z02 òdF .
			F		F		F	F	F
Поскольку z0 – константа для данной пары осей, то она вынесена из-под знака
интеграла, кроме того
	I yc = òzc2dF, S yc =òzcdF = 0, F = òdF ,
				F		F		F
поэтому			= I		+ z2F ,
	I	y	= I	yc	+ z2F ,				(9.13)
		y		yc	0
аналогично можно получить ещё две формулы
	I	z	= I	zc	+ y2F
		z		zc	0				(9.14)
	Iyz = Iyc zc + yzF								(9.14)
	Iyz = Iyc zc + yzF
	Таким образом, формулами (9.13), (9.14) можно воспользоваться, если
известны моменты инерции относительно центральных осей, а требуется опре-
делить моменты инерции относительно произвольных осей, параллельных цен-
		z					F	тральным. Если обратить эти форму-
		z				dF	F	лы, то можно и по известным для про-
					a	dF		извольных осей	моментам инерции,
η		z			a	e	ξ	определить их для центральных осей.
η		z					ξ	определить их для центральных осей.
					d			Но необходимо,	чтобы одна из пар
						ξ	α	Но необходимо,	чтобы одна из пар
						ξ	α	была бы парой центральных осей. Для
	η					α		была бы парой центральных осей. Для
	η				b	c		произвольных пар параллельных осей
		0			b	y	y	формулы записываются сложнее. Эти
		0				y	y	формулы записываются сложнее. Эти
					Рис. 9.6			формулы часто называют формулами
					Рис. 9.6			Штернера.
			Изменение моментов инерции при повороте осей координат.

Если известны моменты инерции относительно некоторой пары осей ко- ординат x и y, то несложно вычислить моменты инерции относительно любых других осей, например ξ и η, повернутых на некоторый угол α относительно

исходных осей (рис. 9.6). Для этого надо записать по определению моменты инерции в новых осях, а затем сделать замену переменной с помощью формул,

- 98 -

выражающих зависимости между координатами одной и той же точки в разных парах осей. Эти формулы можно получить непосредственно из рисунка

ξ = 0d + de = y cosα + zsin α ,

(9.15)

h = ac - ce = -ysin a + z cosa ,

или взять из справочника по математике. Тогда первый из осевых моментов инерции запишется так:

Iξ = òh2dF = ò(- ysin a + z cosa)2 dF =

ò y

a +

òz

dF ÷sin

dF ÷cos

a - 2ç

ò yzdF ÷sin acosa =

è F

= Iξ = I y cos2 a + Iz sin2 a - I yz sin 2a .			(9.16)
Аналогично получаются ещё две формулы
Iη = I y sin2 a + Iz cos2 a + I yz sin 2a ,			(9.17)
Iξη =	I y - Iz	sin 2a + I yz cos2a ,
	2

Формулы (9.16), 9.17 очень напоминают формулы (7.7), (7.8), (7.10) для напряжений при плоском напряженном состоянии. Они полностью совпадут, если поменять знак у всех касательных напряжений (или центробежных мо- ментов) на противоположный. Можно показать, что шесть массовых моментов инерции твердого тела Ix , I y , Iz , Ixy , I yz , Izx образуют подобно напряжениям

симметричный тензор второго ранга, доказав для них формулы (7.37). Мы же обнаружили подобие формул в частном, плоском случае. Очевидно, что свой- ства таких величин должны совпадать. В данном случае они совпадают с точ- ностью до непринципиального отличия в знаках. Поэтому нет необходимости снова выводить тем же путём те же самые формулы и свойства.

Так, среди всех пар осей, проходящих через данную точку сечения, обычно существуют главные оси и главные моменты инерции. Центробежный момент инерции для главных осей равен нулю, а осевые моменты инерции принимают в этих осях максимальное и минимальное значения. Направления главных осей от-

носительно заданных определяются углом αгл :

tg 2aгл =	2I yz		.	(9.18)
	Iz	- I y

Заметим, что формула записана для правой системы координат. Данная форму- ла в левой системе координат отличается знаком.

Главные моменты инерции определяются проще всего по формулам

- 99 -

Imax = I1

êI y

+ Iz +

(I y - Iz )

4I yz ú

(9.19)

Imin = I2

êI y

+ Iz -

(I y - Iz )

4I yz ú .

Моменты инерции произвольных осей по их главным значениям вычис-

ляются так

Iξ = I1 cos2 b + I2 sin2 b ,

Iη = I1 sin2 b + I2 cos2 b ,

(9.20)

Iξη =

I1 - I2

sin 2b .

Из этих формул видно, что если равны

главные моменты инерции I1 = I2 , то

i 1

i 2

равными будут и все прочие осевые

моменты инерции для осей с тем же

началом координат Iξ = Iη = I y = Iz = I .

Все эти оси и моменты инерции тоже будут главными.

Рис. 9.7 Главные оси с началом координат в центре тяжести сечения называются главными центральными осями сечения.

В теории расчета стержней используются эти оси, поэтому нужно уметь находить их положение и значения главных моментов инерции центральных осей.

Радиус инерции. Эллипс инерции Радиусами инерции называются величины:

iy =	I y	, iz =	I	z	.	(9.21)
	F
			F

Измеряются эти величины, как видно из формул, в единицах длины. По глав- ным моментам инерции вычисляются главные радиусы инерции:

i1 =	I1	, i 2 =	I2	.	(9.22)
	F
			F

Эллипс, построенный на главных радиусах инерции как на полуосях, на-

зывается эллипсом инерции. При этом радиус инерции принято откладывать перпендикулярно своей оси (рис. 9.7), поэтому уравнение эллипса для главных

осей x1, x2 имеет вид
	x2		x2
	1	+	2	=1 .	(9.23)
	i 22	+	i 12	=1 .	(9.23)
	i 22		i 12

- 100 -

Эллипс инерции использовался для графического определения моментов инерции относительно осей, что не актуально при наличии вычислительной техники. Но он объясняет название «радиусы инерции», а радиусы инерции ис- пользуются в технической литературе.

Моменты инерции простейших сечений

y	Формулы для моментов инерции сечений
	простых очертаний могут быть получены анали-
	тически. Рассмотрим прямоугольное сечение
	(рис. 9.8). Учитывая независимость интегрирова-
	ния по координатам y и z, запишем

Iz = ò y2dF = ò2

ò2 y2dydz =

−b

−h

æ b 2

öæ b 2

b 2

3 h 2

÷ç

ò y

= z

= ç

òdz ÷ç

dy÷

−b 2

øè

−b 2

−b

−h 2

ç h

(9.24)

= b

Рис. 9.8

dϕ

Аналогично

Iy = hb .

(9.25)

Поскольку оси y и z являются осями симметрии

прямоугольника, тогда I yz

= 0 .

Получим

моменты

инерции

для круглого

сечения (рис. 9.9). Начнем с определения поляр-

ного момента инерции. В полярной системе ко-

ординат заменим интегралы по площади на инте-

гралы по координатам

Рис. 9.9

2π R

I p = òr2dF = ò

òr2rdrdj =

2π

2π öæ R

pR4

pD4

÷ç

òr

= j

== 2p

(9.26)

= ç

òdj÷ç

rdr ÷

øè

Но поскольку I p = I y + Iz , а I y

= Iz для круга, то осевой момент инерции

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.08.2019341.5 Кб1Lection 3.doc
#
18.08.2019195.58 Кб3Lection 5.doc
#
18.08.2019239.1 Кб2Lection 6.doc
#
04.11.2018179.83 Кб6lections.docx
#
15.04.2019980.99 Кб4lecton.DOC
#
12.03.20151.35 Mб41Lectures part1.pdf
#
12.03.20151.33 Mб21Lectures part2.pdf
#
26.04.20191.77 Mб5lekcii_po_nachertatelnoy_geometrii.doc
#
16.04.201983.46 Кб1Lektsia_16 (1).doc
#
15.08.201959.39 Кб1lektsia_1_Sistema_stimulirovania_kak_chast_sist...doc
#
16.04.201958.88 Кб4Lektsia_23 (1).doc