Lectures part1

xн

что, однако, не совпадает с формулой (3.20). Поставим формулу (3.23) в (3.24), тогда

Может показаться, что формулы (3.20) и (3.25) различаются, но в курсе математике показывается, что интеграл, входящий в формулу (3.25) и называе- мый повторным интегралом, может вычисляться, в частности, по алгоритму соответствующего слагаемого в формуле (3.20):

поскольку при построении эпюр используются те же уравнения равновесия, но в интегральной форме.

- 36 -

(рис. 4.4).

Составляющие этого вектора по осям x, y, z обозначим соответственно u, v, w.

При испоьзовании гипотезы плоских сечений очевидно, что для описания деформации стержня в осевом направлении достаточно следить за перемеще- ниями точек продольной оси стержня u, чтобы получить осевые перемещения всех иных его точек.

В результате приложения нагрузки длина стержня изменится на некото-

где lк – длина стержня после приложения нагрузки (конечная длина), lн - начальная длина стержня.

Величина l носит название абсолютного удлинения стержня и в дан-

ном случае равна перемещению точки B: l = uB . Очевидно, что при приложе- нии нагрузки перемещения получат и все другие точки оси стержня, и что они будут отличаться от перемещения точки B (рис. 4.1). Например, точка на опоре A совсем не будет перемещаться, uA = 0. Таким образом, перемещение будет функцией координаты x точки: u = u(x) .

Если мы имеем дело с колонной здания, и она от нагрузки изменила свою длину на 1 см, то материал колонны деформирован мало. Если на 1 см измени- ла свою длину ось механизма часов, то ее можно выкинуть. Чтобы получить характеристику деформированности материала, а не конкретного стержня, на-

до ввести в рассмотрение относительную величину

Эта величина называется относительным удлинением, или линейной деформа-

цией. Она представляет собой отношение приращения длины к первоначальной длине и является безразмерной. Заметим, что при малых деформациях в знаме- нателе формулы (4.4) можно использовать как lн, так и lк, разница в результа-

тах будет пренебрежимо малой.

Из (4.4) следует, что l = εlн , или в других обозначениях u(xB ) = εxB .

Поскольку любую часть стержня можно рассматривать как стержень меньшей длины, нагруженный той же силой N (x) = P , поэтому для любой точ- ки стержня перемещение есть u(x) = ~ε x . Однако не очевидно, что ~ε = ε . По-

кажем это.

На стержне нами были выделены участки равной длины (рис. 4.1). Обо- значим длину ячейки l1. Абсолютное удлинение одной ячейки обозначим соот- ветственно l1. Это удлинение одинаково для всех ячеек сетки, так как они

- 37 -

одинаковы и растянуты одинаковыми силами. Тогда и относительное удлине-

Поскольку аналогичным образом можно показать постоянство деформации для любого участка длины стержня, приходим к выводу о том, что величина ε в данной задаче есть величина постоянная, и тогда перемещения точек связаны с

где ε = const . Существование данной зависимости следовало ожидать, так как обе величины u и ε характеризуют одно и то же деформированное состояние.

Помимо деформации удлинения в продольном направлении происходят также деформации сжатия в поперечном направлении. Если bк – толщина стержня после деформации, b – толщина до деформации, то абсолютное сужение b есть

b = bк − b < 0 .

Относительное сужение, или линейная деформация в поперечном на-

правлении εп по аналогии с предыдущим безразмерная величина:

Другим важным результатом эксперимента, о котором еще не упомина- лось, является равенство, связывающее деформации в продольном и попереч- ном направлении:

где μ безразмерная константа, определяемая экспериментально. Для разных

материалов она имеет разные значения в зависимости от их физических свойств и называется коэффициентом Пуассона. Аналитически может быть показано, что этот коэффициент может принимать значения 0 до 0,5, обычно 0,15-0,4, для сталей и дюраля ≈ 0,3.

Закон Гука для растяжения-сжатия. Физические соотношения

Деформации являются следствием внутренних сил и наоборот, внутрен- ние силы возникают, если тело деформировать, поэтому между величинами этих групп должны существовать определенные соотношения, учитывающие

- 38 -

физические свойства материалов. Эти зависимости называются физическими соотношениями. Для большинства материалов до определенного уровня на- грузки напряжения и деформации связаны прямо пропорциональной зависимо-

Она получается из экспериментально устанавливаемого равенства (4.1), если

дополнительно обозначить

Использовав теперь формулы для нормальных напряжений σ и линейных де- формаций ε (определения этих величин), приходим к равенству (4.8), которое

ким образом, модуль упругости – это нормальное напряжение, при котором длина растягиваемого стержня должна увеличиться вдвое (если бы закон Гука

продолжал действовать при таких уровнях деформаций и соответствующих им напряжений). Из сказанного следует, что модуль упругости имеет очень боль- шие значения, например для стали он ≈200000 Нмм 2 .

Если в пределах действия закона Гука приложенную ранее нагрузку сбро- сить, то тело полностью восстановит свою первоначальную форму.

Свойство твердых тел полностью восстанавливать свою первоначаль- ную форму после снятия нагрузки называется упругостью.

Обозначим

с= EFl ,

иперепишем равенство (4.9):

- 39 -

коэффициент с называется коэффициентом жесткости, при умножении на

него абсолютного удлинения получается величина приложенной к стержню растягивающей силы. Обратный ему коэффициент

называется коэффициентом податливости, при умножении на него силы по-

Очевидно, что растянутый стержень ведёт себя как пружина высокой жё- сткости и малой податливости. Произведение EF называется жесткостью се-

чения на растяжение.

При больших деформациях и напряжениях закон Гука нарушается и пе- реходит в более сложную физическую зависимость. Надо сказать, что закон Гука является приближенным. При очень малых деформациях он точен, а затем физическая зависимость всё больше отклоняется от прямой.

Замечания.

1.Напряжения и деформации связаны друг с другом, сопровождают друг друга. По- этому состояние тела под нагрузкой называют напряженно-деформированным состояни-

ем (НДС).

2.При рассмотрении задач в механике деформируемых тел выделяют три стороны во- проса, три группы соотношений:

а) теория напряженного состояния – это соотношения, связанные с уравнениями рав- новесия и содержащие напряжения;

б) теория деформированного состояния, или кинематические (геометрические) соот- ношения;

в) физические соотношения, связывающие первые две группы соотношений.

3.В пределах действия закона Гука при сжатии большинство материалов имеет те же свойства, что и при растяжении.

4.Напряженно-деформированное состояние материала стержня при растяжении нами рассмотрено еще не в полном объеме.

Касательные напряжения и угловые деформации для сечений, проведенных под произвольным углом к оси стержня.

Закон Гука для сдвига

Проведем сечение не под прямым углом к оси стержня (рис. 4.6). Зада- дим направление этого сечения углом α, который оно составляет с направлени- ем поперечного сечения. Как и раньше, отсеченная часть должна остаться в равновесии, поэтому осевая сила в стержне по-прежнему равна внешней на- грузке: N (x) = P . Но эта сила уже не будет нормальной к сечению. Разложим