Lectures part1

- 71 -

небрегать по сравнению с другими слагаемыми. Запишем уравнение равнове-

жений на наклонных площадках при растяжении, хотя способ рассуждений в данном случае более общий. Очевидно, что одноосное напряженное состояние возникает при растяжении-сжатии стержней, но не только. Возникает оно и при чистом изгибе стержней. Возможно возникновение одноосного напряжен- ного состояния в отдельной точке или в локальной зоне материала. В соседних точках может быть уже более сложное напряженное состояние.

Плоское напряженное состояние.

Напряжения на наклонных площадках

Допустим, что вблизи некоторой точки А в твердом теле, находящемся в равновесии, в направлении плоскости x0y имеет место плоское напряженное

- 72 -

состояние. Определим напряжение на произвольной площадке, перпендику- лярной этой плоскости. Для этого снова мысленно вырежем из тела бесконечно малую прямую треугольную призму, две боковые грани которой перпендику- лярны осям x и y, а нормаль к третьей (напряжение на которой и будем опреде- лять) образует угол α с осью x (рис. 7.3). На рис. 7.5 показаны все напряжения, действующие в данном случае на призму. Из равновесия этой призмы следует, что сумма проекций всех сил на ось ξ должна быть равна нулю:

воспользовавшись соответствующими тригонометрическими формулами, бу- дем иметь:

откуда с учетом парности касательных напряжений:

τξη = σy − σx sin2α + τxy cos2α . (7.10) 2

Таким образом, нами получены формулы (7.7), (7.8), (7.10) для определе- ния всех компонентов плоского напряженного состояния σξ , ση , τξη в других

откуда следует, что сумма нормальных напряжений на координатных площад-

ках при плоском напряженном состоянии не меняется при данном повороте координатных осей.

Подчеркнем также, что нами установлены законы изменения компонен- тов напряжений при повороте координатных осей относительно оси z вблизи одной и той же произвольной точки А. Так что достаточно знать компоненты напряжений хотя бы в одних осях, в любых других осях их легко пересчитать с помощью полученных формул.

- 73 -

Главные площадки при плоском напряженном состоянии

Главными площадками называются взаимно перпендикулярные площад- ки, на которых касательные напряжения равны нулю.

Из условия равенства нулю касательного напряжения на произвольной площадке с помощью соотношения (7.10) получаем уравнение

экстремумы, а не точки перегиба с нулевой производной, поскольку функции, входящие в выражения для σξ , не имеют точек перегиба:

Формула (7.16) полностью совпала с (7.13), что говорит о том, что на

главных площадках помимо равенства нулю касательных напряжений есть и еще одна особенность. На этих площадках нормальные напряжения принимают максимальное и минимальное значения.

Анализируя значения угла, удовлетворяющие равенству (7.13), можно ви- деть, что существуют две главные площадки, повернутые относительно друг друга на угол 90°, что следует из свойств функции тангенса. На одной из них σξ = σmax , на другой ση = σmin .

Нормальные напряжения на главных площадках носят название главных напряжений.

Главные напряжения принято обозначать так: σmax = σ1, σmin = σ2 .

Примем оси, соответствующие главным площадкам, в качестве исходных при повороте осей. Положив касательные напряжения в формулах (7.7), (7.8),

которые позволяют вычислить напряжения на площадках, произвольно ориен- тированных относительно главных.

Теперь несложно получить и формулы, по которым можно определить нор-

мальные напряжения на главных площадках по напряжениям на произвольных площадках. Для этого вычтем (7.18) из (7.17) и запишем результат в таком виде

поскольку и те, и другие обозначают произвольные оси декартовых координат.

Площадки сдвига

Поскольку максимум синуса угла равен единице и достигается при уг-

- 75 -

ле 90°, из формулы (7.19) видно, что при повороте на угол 45° от главных пло-

щадок касательные напряжения принимают наибольшее по модулю значение

t max = σ1 − σ2 . (7.29) 2

Заметим, что знак касательного напряжения указывает только на его направ- ление относительно осей.

Подставив в (7.29) значения σ1 и σ2 из (7.27), (7.28), получим

Площадки с наибольшими значениями касательных напряжений называ- ются площадками сдвига.

Вычислим значения нормальных напряжений на площадках сдвига, подста- вив в формулы (7.17), (7.18) α = 45°. Учитывая, что σ1 + σ2 = σx + σy , получим

Значит на площадках сдвига нормальные напряжения равны между собой и равны среднему арифметическому их значений на любой паре координатных пло- щадок.

В заключение вспомним еще раз основные свойства напряжений при пло- ском напряженном состоянии вблизи точки при повороте осей координат.

сательных напряжений, но зато нормальные напряжения принимают макси- мальное и минимальное значения. На угол 45° от главных повернуты коорди- натные площадки сдвига и соответствующие им оси координат xсд и yсд .

Вернёмся к одноосному напряжённому состоянию. Изображённые

- 76 -

на рис. 7.1 площадки являются главными. На них нормальные напряжения принимают максимальное и минимальное значения, а касательные напряжения равны нулю. Под углом 45° к ним действуют наибольшие касательные напря- жения τmax = (σmax − σmin )2 = σmax 2, так как σmin = 0 . Это площадки сдвига.

Некоторые частные случаи плоского напряженного состояния.

1. Напряженное состояние всестороннего растяжения-сжатия.

Допустим, что главные напряжения равны: σ1 = σ2 . Тогда из формул (7.17), (7.18) следует, что все нормальные напряжения для площадок, отличаю- щихся углом α, равны между собой:

2. Напряженное состояние чистого сдвига.

Чистым сдвигом называется частный случай плоского напряженного состояния, при котором на одной из пар взаимно перпендикулярных площадок, проходящих через данную точку, действуют только касательные напряжения,

а нормальные напряжения равны нулю.

Выберем оси x и y так, чтобы они были перпендикулярны данным пло- щадкам (рис. 7.8). Полагая нулевыми нормальные напряжения в формулах (7.7), (7.8), (7.10), для осей, повернутых на угол α = 45° относительно осей x и y, полу-

чим

σξ = τxy sin(2 × 45°) = τxy ,

- 79 -

ва (7.37) можно записать в следующей лаконичной форме:

В трехмерном случае, как и при плоском напряженном состоянии, суще-

ствуют главные площадки с нулевыми касательными напряжениями и главные нормальные напряжения на этих площадках:

Сумма нормальных напряжений на координатных площадках вблизи данной точки не зависит от выбора координатных осей:

Экстремальные значения касательных напряжений выражаются через главные напряжения по формулам, аналогичным формуле для плоского на-

пряженного состояния

однако площадок сдвига в том виде, в каком они существуют в плоском случае, в трехмерном случае нет. Вывода этих соотношений не приводим и подробнее дан- ный вопрос не рассматриваем, поскольку в курсе сопротивления материалов ре- шаются в основном задачи для одноосного и плоского напряженных состояний.

Отметим отдельно, что в трехмерном случае также существует напря- женное состояние всестороннего растяжения-сжатия. Нормальные напряжения на всех площадках внутри тела в этом случае оказываются одинаковыми и рав- ными приложенному внешнему давлению. Касательных же напряжений в теле в этом случае нет совсем. Вследствие этого сплошные пластичные метал- лические тела при сжатии вообще не разрушаются и даже не испытывают пла- стических деформаций. В данном случае твердое тело ведёт себя в точности так же, как и жидкость, передавая приложенное внешнее давление по всем на- правлениям без изменения. Пластические деформации и разрушение, как видно из этого факта, при сжатии происходят вследствие сдвиговых деформаций.

Понятие тензора напряжений

Вспомним сначала, что такое вектор. Наиболее часто вектор определяют как направленный отрезок. Однако вектору можно дать и другое определение, полностью эквивалентное данному. Вектор − это величина, характеризующаяся тремя компонентами, которые меняются по известным законам при повороте системы координат. Для вектора a эти законы имеют вид

aξ = axl11 + ayl12 + azl13 ,

- 80 -

aζ = axl31 + ayl32 + azl33 ,

где lij (i, j = 1,2,3) – косинусы углов между осями координат, определяемые

табл. 7.1. Смысл этих формул прост. Все составляющие вектора в старой сис- теме координат надо проектировать на направление новой оси, и сумма проек- ций даст составляющую в новых осях.

При этом сам вектор не зависит от выбора той или иной системы ко- ординат. При любой системе координат это один и тот же объект, но его про- явление в каждой системе координат свое. Если вектор, т.е. его компоненты, известны хотя бы в одной системе координат, то он или они известны и во всех других системах координат из (7.42). Отметим, что формулы (7.42) также могут быть записаны в лаконичной форме, подобной (7.38):

i=1

Аналогичная ситуация и с напряжениями. Если 9 компонентов напряже- ний (из которых только 6 независимых) вблизи произвольной точки известны в некоторых осях координат, то они известны и в любой другой системе коор- динат благодаря формулам (7.37) или (7.38). Очевидно также, что напряженное состояние вблизи точки – это некоторое физическое явление, которое не за- висит от того, в какой системе координат оно рассматриваеется. От выбора системы координат зависит только проявление этого физического явления. За- метим, что формулы (7.38) явно являются некоторым обобщением формул

(7.43).

Из сказанного ясно, что напряженное состояние вблизи точки может рас- сматриваться как одна математическая величина в данной точке, имеющая 9 компонентов, которые изменяются при повороте осей координат по форму- лам (7.38). Оказывается в физике и механике существует много величин, имеющих 9 компонентов и меняющихся по закону (7.38), в нашем курсе это напряжения, деформации и моменты инерции твердого тела.

В математике изучены свойства таких величин, их называют тензорами. Точ- нее это – частный вид тензора, симметричный тензор второго ранга. Симметричный

– вследствие попарного равенства компонентов (касательных напряжений), что приводит к симметрии относительно главной диагонали матрицы (6.2). Вектор с точки зрения тензорного подхода представляет собой тензор первого ранга. Суще- ствуют тензоры третьего (27 компонентов) и более высоких рангов. К сожалению, тензоры второго и последующих рангов (в отличие от вектора) не имеют столь простого геометрического представления.

Формулы (7.38) и (7.43) и им подобные называются основным тензорным признаком. Если для некоторой многокомпонентной величины удалось доказать