Lectures part1

- 111 -

осями сечения. Таким образом, нейтральный слой при чистом изгибе проходит через линию центров тяжести поперечных сечений.

Тем же путем вычислим момент относительно оси у

Момент M y (x) в данной задаче также равен нулю, т.к. изгиб рассматривается моментом M z (x). Знак минус в формуле приходится ставить потому, что поло- жительное напряжение σx , действующее на площадку с положительной коор-

динатой z , даёт отрицательное значение момента с точки зрения правила зна- ков эпюр внутренних силовых факторов. Из трёх сомножителей, от которых зависит M y (x), нулю может быть равен только центробежный момент I yz = 0 ,

но тогда выбранные оси, в которых ведется решение задачи изгиба, должны быть не только центральными, но и главными осями сечения.

Этот результат показывает также, что для плоского изгиба требование симметрии сечения является избыточным. Очевидно, что если нагрузка будет лежать в плоскости одной из главных центральных осей произвольного, посто- янного по длине сечения, то момент относительно этой оси окажется равным нулю, и изгиб будет происходить в той же плоскости, т.е. будет плоским.

Здесь снова для достижения равенства необходимо ставить знак минус. Под- ставляем в последнее соотношение выражение для нормального напряже- ния σx (10.23), используем выражение для момента инерции, а также снова учи-

тываем постоянство величин Е и κ

в результате получается уравнение изогнутой оси балки:

Эту формулу называют ещё уравнением упругой линии или соотношением упру-

гости при изгибе.

Полученная формула вполне объяснима. Естественно, что в линейной за- даче изгибающий момент оказался пропорциональным кривизне оси балки. Ко-

эффициент пропорциональности EIz называется жесткостью сечения при изгибе. Формула используется, в частности, для вычисления кривизны балки по

поскольку Iz (осевой момент инерции) сечения может быть вычислен, а модуль

упругости материала Е должен быть известен.

Подставив выражение для кривизны в (10.31), получаем формулу для вы- числения нормальных напряжений при изгибе:

Это соотношение позволяет находить нормальные напряжения по значениям эпюры M z (x) .

Рис. 10.11

Распределение нормальных напряжений σx по поперечному сечению, за-

данное формулами (10.23) и (10.32), представлено на рис. 10.11, где оно показано как на виде сбоку со стороны оси z, так и на пространственном изображении сече- ния. Отметим, что при положительном моменте M z (x) и положительной коорди- нате y напряжение σx отрицательно, т.е. вызывает сжатие верхних (расположен-

ных в положительной полуплоскости оси у) продольных «волокон» балки. Ось z отделяет зону сжатия от зоны растяжения, поэтому является нейтральной линией.

Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью сечения называется ней- тральной линией. Нормальное напряжение на нейтральной линии равно нулю.

Из формулы (10.32) видно, что поскольку характеристики материала в неё не входят, нормальные напряжения при чистом изгибе не зависят от материала стержня. Отсюда следует, что при одинаковых моментах в одинаковых по форме балках из резины и из стали напряжения будут одинаковыми. (Следует иметь в виду, что таким свойством обладают только простые задачи, в общем случае на- пряжения в конструкциях зависят от свойств их материалов.) Зависит же от свойств материала (от модуля упругости) кривизна оси изогнутого стерж-

- 114 -

лишь перемещения в направлении y оси балки v0 (x) (прогибы). Во многих за- дачах, но не всегда, величины γ yz (x, y, z) , v(x, y, z) и w(x, y, z) можно не опре- делять точно, считая, например, что сечение не деформируется в своей плоско-

сти. Это допущение называют гипотезой недеформируемости сечения в своей плоскости (вторая кинематическая гипотеза при чистом изгибе). Тогда полага- ют:

Последнее равенство означает, что не делается различий между прогибом v0 (x)

(перемещением оси балки) и перемещениями других точек того же сечения в направлении оси y. Допущение оправдано при малых размерах поперечного се- чения.

Однако можно и точно отыскать эти функции в данной задаче. Проще

Это означает, что углы между координатными направлениями в сечении оста- ются прямыми в результате деформации. С учётом деформации в поперечных

направлениях с коэффициентом Пуассона форма поперечного сечения окажется такой, как показана на рис. 10.5. Отыскивая остальные перемещения, придём к

полному решению задачи чистого изгиба балки из системы уравнений теории упругости.

Перемещения в поперечном направлении естественно определять, интегрируя соот-

Учтем постоянство множителя μκ , запишем интеграл от производной как разность значений

в точках верхнего и нижнего пределов и найдём

- 116 -

Теперь воспользуемся последним из соотношений Коши для угловой деформации

Записав производные для функций w(x, y, z) и v(x, y, z) с помощью (10.49) и (10.56), най-

дём

Здесь левая часть есть функция только переменной z , правая – только y. Равенство возможно только если обе части равенства равны некоторой константе, которую обозначим α:

означает, что происходит поворот элемента до деформации совпадавшего с осью y в плоско- сти y0z . Будем считать в качестве краевого условия, что опора препятствует такому повороту се-

Из этого соотношения следует, что в закреплённом торцевом сечении ( x = 0) на нейтраль- ной оси ( y = 0) при z ¹ 0 происходят перемещения в направлении, противоположном вер-

тикальной оси y, и нейтральная ось искривляется выпуклостью вверх, что соответствует рис. 10.5.

Общие соотношения для функций перемещений, с учётом найденных значений констант

При получении этих формул мы выполнили все соотношения теории упругости, а также гра- ничные условия. Подстановкой этих формул в соотношения Коши, можно убедиться, что они дают деформации, которые по обобщённому закону Гука вызывают напряжения, удов- летворяющие уравнения равновесия. Таким образом, получено решение задачи чистого из- гиба стержня на основе соотношений теории упругости, найдены все основные величины.

Можно заметить, что принятые граничные условия не вполне соответствуют пред- ставлению о защемлении, которое используется в сопротивлении материалов. Блокированы перемещения по осям только одной точки в начале координат на левом торце балки. Кроме того, блокированы повороты элементов, совпадающих с координатными направлениями около начала координат. При таком закреплении неподвижность балки как твёрдого тела обеспечивается, одновременно допускаются перемещения в плоскости закреплённого сече- ния по осям y и z. Реализовать реально такое закрепление непросто. Чтобы полученное ре- шение было справедливо, приходится также допускать, что приложенные изгибающие мо- менты получаются в результате давлений по торцевым поверхностям балки, которые распре- делены так же, как нормальные напряжения в поперечных сечениях.

- 119 -

касательные напряжения по высоте сечения не постоянны. Они отличны от ну-

ля в середине сечения и уменьшаются до нуля при приближении к верхней и нижней его кромке. Можно предположить, что закон их распределения имеет вид, представленный на рис. 11.3. Ниже будет показано, что для прямоугольно- го сечения он действительно такой.

Произвольный элемент балки (рис. 11.1), мысленно выделенный из него двумя сечениями в точках C и C+ (или X и X+), оказывается нагружен несим- метрично относительно среднего поперечного сечения отрезка в точке A (рис. 11.4), поэтому он будет деформироваться несимметрично, и сечение в точке А плоским не останется. Можно предсказать и форму поперечного сече- ния после деформации. Касательные напряжения связаны законом Гука для

сдвига с угловыми деформациями

Отсюда видно, что угловые деформации распределены по высоте сечения как касательные напряжения. Но угловые деформации – это искажения прямых углов. Они будут ненулевыми в середине сечения и нулевыми у верхней и нижней его кромок. Поэтому форма сечения окажется такой, как она представ- лена на рис. 11.4 (штриховая линия).

Видим, что гипотеза плоских сечений и гипотеза ненадавливаемости про- дольных волокон нарушаются, гипотеза недеформируемости сечения в своей плоскости и при чистом изгибе была неточной. Как же вести расчет?

Методами теории упругости можно показать, что погрешности формул

где h – высота балки, l – длина. Тогда формулами чистого изгиба можно поль- зоваться и при поперечном изгибе (10.30) и (10.32), но для длинных тонких ба- лок. С увеличением их относительной толщины погрешность будет нарастать.