Lectures part1

- 173 -

та балки:

M z max = ql2

8 .

(15.20)

q

Сдвинем теперь опоры в другое

A

B

крайнее

положение,

к

центру

балки

a

(рис. 15.8). Считаем, что расстоянием ме-

жду опорами в этом случае можно пре-

l

небречь. Эпюры моментов на симметрич-

Эп. M

z

(x)

M1

ных консолях находятся без предвари-

тельного определения опорных реакций:

M z (x) = − qx2 2 .

(15.21)

Рис. 15.9

Максимальное по модулю значение оказы-

q

q

вается таким же, как в предыдущем случае:

M

z

max

= ql2 8 .

(15.22)

a

Подбор

поперечного сечения

для

обеих

балок даст одинаковый по весу результат.

l

Получим теперь

эпюру моментов

Эп. M z (x)

для положения опор на рис. 15.6 по

принципу суперпозиции, суммируя эпю-

M2

ры для той же балки от действия нагру-

Рис. 15.10

зок, показанных на рис. 15.9 и 15.10. На

рис. 15.9,

как следует из (15.20),

макси-

q

мальный момент равен

M1 = M z max = qa2

8 .

(15.23)

a

Применим формулу (15.21) для случая на

l

рис. 15.10:

Эп. M z (x)

M3

M 2 = M z max = q(l − a)2

8 .

(15.24)

Суммарная эпюра моментов представле-

на на рис. 15.11. Наибольшее отрица-

M2

тельное значение на суммарной эпюре

Рис. 15.11

останется

таким же,

как на

рис. 15.10,

поскольку к нему ничего не прибавляет-

ся. Наибольшее же значение M3

эпюры на рис. 15.11 получается как разность

значений M1 и M 2 :

M3 = M1 − M2 .

(15.25)

При перемещении опор из крайнего положения к центру момент в центре

балки M3 будет уменьшаться. Одновременно будет расти пик изгибающего

момента противоположного знака на опоре M 2 . Уменьшать момент M3

имеет

мальный вес балки.

Из равенства моментов M3 = M 2

следует

M2 = M1 − M2 .

Подставим сюда значения моментов:

(qa2 8)− 2(q(l − a)2 8)= 0 ,

откуда

a2 − 2(l − a)2 = 0 .

(15.26)

a2 − 4la + 2l2 = 0 ,

= (2 ±

)l .

(15.27)

a = 2l ±

− 2l2

(15.28)

2

1,2

a = (2 −

(15.29)

2

- 175 -

всей балке, то следует по возможности приблизить их к оптимальному положе-

нию. Во многих случаях бывает целесообразно увеличивать число опор, но сле-

дует иметь в виду, что это усложняет расчёт конструкции, которая становится

статически неопределимой. Расчёт таких конструкций рассмотрен в последую-

щих частях курса. Заметим также, что оптимизировать статически неопредели-

мые конструкции значительно сложнее.

Э

5. Выбрать рациональную форму поперечно-

го сечения. Если балка работает на поперечный

изгиб в одной плоскости, то это сечение – двутавр.

Q

Если же изгиб происходит в двух плоскостях, то

наилучшим обычно оказывается полое (коробча-

Рис. 15.12

тое) сечение. При этом материал, по возможности,

переносится из зон с низкими напряжениями в зоны с большими уровнями на-

пряжений, в сдедствие чего конструкция приближается к равнопрочной.

p = [σ]раст ρ ,

(15.30)

39

42

43

44

46

- 178 -

Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали.

Основные механические характеристики материалов.

46

Механизмы образования упругой и пластической деформации.

51

Диаграмма растяжения дюраля и чугуна. Условный предел текучести.

53

Диаграммы сжатия металлов. Особенности испытаний на сжатие.

55

Расчет на прочность по допускаемым напряжениям

и расчеты на жесткость при растяжении-сжатии.

56

Растяжение стержня с учетом собственного веса.

59

Система уравнений для задачи растяжения-сжатия стержня.

60

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

62

Тема №6. Напряженное состояние в точке твердого тела.

Дифференциальные уравнения равновесия.

62

Напряженное состояние в точке твердого тела.

62

Уравнения равновесия бесконечно малого элемента трёхмерного тела.

65

1. Закон парности касательных напряжений.

65

2. Дифференциальные уравнения равновесия бесконечно малого параллелепипеда.

67

Тема №7. Напряженное состояние в точке твердого тела.

Напряженное состояние на площадках различной ориентации.

69

Виды напряженного состояния в точке деформируемого твердого тела.

69

Одноосное напряженное состояние. Напряжения на наклонных площадках.

70

Плоское напряженное состояние. Напряжения на наклонных площадках.

72

Главные площадки при плоском напряженном состоянии.

73

Площадки сдвига.

75

Некоторые частные случаи плоского напряженного состояния.

76

1. Напряженное состояние всестороннего растяжения-сжатия.

76

2. Напряженное состояние чистого сдвига.

76

Трехосное (объёмное) напряженное состояние.

78

Понятие тензора напряжений.

79

Тема №8. Деформированное состояние в точке трехмерного тела.

Обобщенный закон Гука. Система уравнений теории упругости

и пути ее решения.

82

Деформированное состояние в точке трехмерного тела.

82

Зависимости между деформациями и перемещениями.

84

1. Зависимости между линейными деформациями и перемещениями

84

2. Зависимости между угловыми деформациями и перемещениями.

86

. Обобщенный закон Гука. Физические соотношения

87

Система уравнений теории упругости.

90

Уравнения для решения краевой задачи теории упругости в перемещениях.

91

93

95

96

97

99

100

102

103

103

103

105

109

113

118

118

120

123

124

128

128

131

137

141

144

- 180 -

Деформация сдвига стержней, срез стержней.

144

Пример расчета заклёпочного соединения.

148

Смятие поверхности.

149

Концентрация напряжений.

151

Тема №14. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ

154

Основные гипотезы, принимаемые при кручении круглого стержня.

154

Кинематические соотношения при кручении круглого стержня.

155

Соотношение упругости и формулы для определения напряжений

при кручении круглого стержня.

156

Перемещения при кручении.

159

Проверки, прочности и жёсткости при кручении.

161

Кручение стержней некруглой формы.

162

Определение положения центра жёсткости для швеллера.

165

Равнопрочный стержень при растяжении-сжатии.

169

Балка равного сопротивления изгибу.

170

Выбор рационального расположения опор для двухопорной балки.

172

Рекомендации по снижению веса стержневых конструкций.

174

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

176

СОДЕРЖАНИЕ

177