Lectures part1

- 161 -

Проверка прочности и жёсткости при кручении.

Поскольку в материале круглого вала при кручении на площадках цилин- дрической системы координат действуют только касательные напряжения, то материал стержня находится в напряженном состоянии чистого сдвига. Поэто- му проверка прочности осуществляется по касательным напряжениям с помо-

щью неравенства

где n – коэффициент запаса, значение которого выбирается таким образом, чтобы

при максимально возможной погрешности расчета в реальной конструкции не могло быть превышено предельное значение τпред , а также, чтобы при эксплуата-

ционной нагрузке напряжения были ниже предела пропорциональности.

Допускаемые напряжения могут быть заданы и как доля допускаемых нормальных напряжений при растяжении. Значения берутся примерно такие же, как при сдвиге.

Самое большое значение касательного напряжения в стержне вычисляет- ся с помощью формулы (14.9):

При выполнении этого условия конструкция считается прочной.

Проверка жесткости осуществляется как обычно по ограничению на ка- кой-либо параметр, характеризующий деформированное состояние, например:

(в числителе – предельное значение угла поворота, в знаменателе коэффициент запаса, обеспечивающий при погрешностях в расчёте выполнение условия жё-

- 163 -

Отметим, что стеснение депланаций возникает не только вблизи заделки,

но и при быстром или скачкообразном изменении крутящего момента по длине

ния задач кручения стержней с прямоугольной и другими формами поперечно- го сечения на основе соотношений теории упругости. Однако они справедливы только для свободного (нестеснённого) кручения. Рассмотрим распределение касательных напряжений по прямоугольному поперечному сечению, получен- ное методами теории упругости (рис. 14.15). Изображены эпюры распределения касательных напряжений по различным линиям в сечении и указаны направле- ния их действия.

Часть результатов представленных на рисунке можно предсказать. Так, из условий симметрии следует, что на оси стержня нет напряжений. В углах сече- ния касательные напряжения также отсутствуют, иначе по закону парности они должны были бы появиться на наружных поверхностях стержня (рис. 14.16). Такой внешней нагрузки нет, поэтому нет и пары касательных напряжений. По тем же соображениям не может быть составляющей касательного напряжения, перпендикулярной контуру сечения, тогда касательное напряжение вблизи кон- тура сечения оказывается параллельным контуру. Таким образом, на рис. 14.16

- 164 -

из всех изображенных напряжений отлично от нуля только напряжение τxz .

Нормальных напряжений в поперечном сечении при свободном кручении нет. Наибольшим касательным напряжением могут быть его значения в точ-

ках A и B (см. рис. 14.15). На основе результатов решения задачи о кручении круглого стержня кажется, что наибольшим должно быть напряжение в более удаленной от оси стержня точке B. Однако наибольшим оказывается напряже- ние в точке A. Для его определения получается несложная формула, основанная на формуле для круглого стержня (14.20), но с поправочным коэффициентом k1 :

Значения коэффициентов k1 и k2 зависят от отношения сторон прямоуголь- ника ab .

Подробности этого решения и решений для стержней с другими осесим- метричными формами поперечных сечений можно найти в учебной, научной и справочной литературе по механике деформируемого твёрдого тела.

Широко используются в технике тонкостенные конструкции. Их элементы в значительной части случаев можно считать тонкостенными брусьями, это напри- мер, крыло большого удлинения, фюзеляж самолета или пустотелая балка кузова автомобиля. Способы расчета таких брусьев весьма важны для практики и потому хорошо разработаны. Облегчает решение задачи свойство касательных напряже- ний разворачиваться вдоль тонкостенного контура бруса, с которым познакоми- лись при расчете двутаврового поперечного сечения. Это помогает найти точку в сечении, относительно которой происходит кручение бруса со сложной формой поперечного сечения. Указанная точка, называемая центром жёсткости (центром изгиба, центром кручения), в общем случае не совпадает с центром тяжести попе- речного сечения. В результате точно определить крутящий момент в сечении уда- ётся только после нахождения положения этого центра.

Задача кручения стержней с произвольной формой поперечного сечения решается в инженерной практике приближенно. При этом допускается погреш- ность, связанная с особенностями задачи и используемого метода решения. При необходимости технически точный результат можно получить лишь численны- ми методами на основе соотношений теории упругости.

- 168 -

Видно, что центр тяжести сечения и центр жёсткости представляют собой в общем случае разные точки. Чтобы найти положение центра жёсткости, надо знать закон распределения касательных напряжений от сдвига по сечению, а эта задача не решается для сечений общего вида в рамках сопротивления мате- риалов. Внешняя нагрузка создаёт крутящий момент именно относительно цен- тра жёсткости, и если его положение неизвестно, то невозможно и точно ука- зать значение крутящего момента. Ещё больше усложняется задача, если балка имеет непостоянное по длине поперечное сечение, и центры жёсткости сечений образуют кривую или разрывную линию. Всё это указывает на особую слож- ность задач, содержащих проблему кручения стержня произвольного попереч- ного сечения.

- 169 -

Тема №15. СПОСОБЫ СНИЖЕНИЯ ВЕСА СТЕРЖНЕВЫХ

КОНСТРУКЦИЙ

Равнопрочный стержень при растяжении-сжатии.