Lectures part1

- 102 -

Вычисление моментов инерции сложных составных сечений

Как уже было сказано, в теории расчета стержней используются главные

центральные оси сечений и значения главных моментов инерции, поэтому для по-

лучения результата нужно уметь находить положение этих осей и значения мо-

ментов инерции для них.

В простых случаях формулы могут быть получены аналитически, после чего

по ним можно вычислить необходимые величины. В более сложных случаях при

наличии компьютера и соответствующих пакетов программ можно воспользо-

ваться численными методами, приближенно заменив бесконечные интегральные

суммы конечными с большим числом слагаемых. Так можно найти положение

центра тяжести, вычислить моменты инерции для произвольно выбранных цен-

тральных осей, после чего по формулам (9.18) и (9.19) можно найти направления

главных осей и значения главных моментов инерции.

Если же вычисления проводят вручную, то экономичнее разбить сечение

на ряд простых элементов (рис. 9.12), для которых положение центров тяжести

y1

yc

y 2 II

III

и значения моментов инерции для не-

I

y

которых собственных осей известно

или может быть найдено в справочни-

z1

z2

ках. Тогда по формулам (9.4) можно

zc

найти положение центра тяжести всего

ц.т. y4

сечения. Далее выбрать некоторые

z4

IV

произвольные центральные оси yc , zc

всего сечения. Их удобнее брать па-

z

0

раллельно осям большинства элемен-

тов, образующих сечение. Для осталь-

Рис. 9.12

ных элементов (на рисунке элемент IV)

следует, используя формулы поворота осей (9.16), (9.17), вычислить моменты

для осей, параллельных осям yc , zc . Затем, по формулам (9.13), (9.14) для каж-

дого элемента следует вычислить моменты инерции относительно осей yc , zc .

После чего можно сложить одноименные моменты инерции различных элемен-

тов и найти моменты инерции всего сечения I yc , Izc , I yc zc относительно осей

yc , zc . Направление главных осей и главные моменты инерции определяются

по моментам инерции I y

c

, Iz

c

, I y

c

z

c

с помощью формул (9.18) – 9.19).

y

во втором случае перемещения точек

M

при деформации оказываются неопреде-

ленными, поэтому, когда пойдет речь о

перемещениях,

будем

рассматривать

x

dx

случай на рис. 10.2. Когда же решаем

Эпюра M z (x)

другие вопросы, различий между этими

M

случаями не делаем, т.е. далее рассмат-

риваем оба.

На балку c постоянным прямо-

Рис. 10.2

угольным поперечным сечением, изо-

M

M

браженную на рис. 10.4, нанесем равно-

мерную сетку взаимно перпендикуляр-

ных линий, вдоль и поперек оси, а затем

подвергнем чистому изгибу (рис. 10.5).

Рис. 10.3

По характеру

изменений

линий сетки

будем судить

об особенностях дефор-

мирования балки.

Так, прямые углы сетки линий ос-

таются прямыми после деформации.

Рис. 10.4

Следы поперечных сечений на поверх-

ности остаются плоскими линиями.

M

M

Верхние «продольные волокна» стержня

сжимаются, нижние растягиваются. Не-

которые искажения этой картины воз-

можны только в зонах приложения мо-

Рис. 10.5

ментов. Слова «продольные волокна»

взяты в кавычки, поскольку в металле

M z (x)= M

M z (x)= M

Результат эксперимента можно

x

предсказать теоретически. Действительно,

задача на рис. 10.3 имеет вертикальную

плоскость симметрии, перпендикулярную

плоскости чертежа, следовательно, точки

Рис. 10.6

поперечного сечения на оси симметрии не

могли выйти из плоскости. Если рассмот-

M M M M

M M M M

r

реть любую часть балки, выделенную дву-

мя поперечными сечениями (рис. 10.6), то

в силу постоянства сечения и внутреннего

изгибающего момента M z (x) по длине эта

- 106 -

тывает малые деформации и не разрушается. Очевидно, что тогда между зона-

ми растяжения и сжатия должен существовать слой, который не меняет своей

длины. Слой, длина которого не изменяется при изгибе, называется нейтраль-

ным слоем. Будем считать, что ось х проведена вдоль линии пересечения ней-

трального слоя с плоскостью изгиба (симметрии) балки.

O*

Выделим

двумя

поперечными

сечениями

элемент балки бесконечно малой длины dx = AB ,

который изображен внизу на рис. 10.8 в увеличен-

ном масштабе, а в нем выделим слой CD на уров-

dθ

не у. После деформации, согласно гипотезам, попе-

речные сечения повернутся, оставаясь перпендику-

лярными изогнутой оси стержня. На рисунке поло-

D*

r

жения точек после деформации отмечены звёздоч-

C*

B*

кой. Линии поперечных сечений A*C*

и B*D* пе-

A*

ресекутся в точке O*,

которая будет центром ок-

ружности для дуги A*B* . Угол между линиями

y

A*C* и B*D* обозначим dθ , а радиус ок-

C

D

ружности r. Запишем по определению линейную

деформацию слоя CD

y

εx = (dx)* − dx =

C*D* − CD .

0

A

B

x

(10.2)

dx

CD

dx

Отрезок АВ проведен по нейтральному слою,

поэтому

Рис. 10.8

AB = dx = A*B* = CD = rdθ .

(10.3)

Обозначим y* = A*C*, тогда аналогично предыдущему

C*D* = (r − y *)dθ .

(10.4)

Перепишем (10.2) так:

(r − y* )dθ − rdθ

εx =

C*D* − CD

=

= −

y*

= −κy* ,

(10.5)

CD

rdθ

r

κ = 1 .

(10.6)

eˆ y = A*C * −AC

= y * −y

= y *

- 107 -

-1 ,

(10.7)

AC

y

y

откуда

y* = y + εˆ y y = y (1+ εˆ y ) .

(10.8)

Среднее значение деформации εˆ y

мало, как и любое другое значение де-

формации, им можно пренебречь по сравнению с единицей, что приводит к

следующему результату:

y* = y .

(10.9)

Это означает, что можно не делать различий в размере y до и после деформа-

ции, а (10.5) переписать так

ex = - y

= -ky .

(10.10)

r

Кривизна кривой y = y(x), как известно из аналитической геометрии, оп-

ределяется формулой

d 2 y(x)

k =

dx2

3

.

(10.11)

æ dy(x)ö2

é

+

ù

2

ê1

ç

÷

ú

ê

è dx

ø

ú

ë

û

При малых перемещениях и дефор-

y(x)≈ v0(x)

q

мациях уравнение изогнутой оси балки

y(x) можно заменить функцией v0 (x), где

y

C*

q1

v0 (x) – перемещения точек оси балки в

A*

v0

направлении оси y (рис. 10.9). Производ-

x

C

ная функции представляет собой тан-

A

генс угла наклона касательной к графи-

Рис. 10.9

ку функции в этой точке. Но при малых

перемещениях и деформациях угол бу-

дет малой величиной, и тогда производная равна самому углу:

dy(x)

»

dv0 (x)

» q1 .

(10.12)

dx

dx

Перемещения точек v0 (x) оси балки в направлении оси y называют прогибом балки.

Поперечное сечение после деформации согласно гипотезе остаётся пер-

пендикулярным изогнутой оси стержня. В этом случае углы q и θ1 равны: это

углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Тогда перепишем равенство

(10.12):

ε y = −μεx = μκy , εz = −μεx = μκy .

(10.21)

По гипотезе плоских сечений

γxy = γxz = 0,

(10.22)

σx = λε* + 2Gεx =

μE

(εx + εy + εz )+

E

εx

=

(1+ μ)(1− 2μ)

(1+ μ)

=

μE

(ε

− 2με

)+

E

ε

= Eε

= −Eκy ,

(1

+ μ)(1− 2μ)

x

x

(1+ μ)

x

x

μE

E

σy = λε* + 2Gεy =

(εx − 2μεx )−

μεx = 0 ,

(10.23)

(1+ μ)(1− 2μ)

(1+ μ)

σz = λε* + 2Gεz =

μE

(εx − 2μεx )−

E

μεx = 0 ,

(1+ μ)(1− 2μ)

(1+ μ)

∂τzy

∂τyz

- 110 -

= 0,

= 0 .

(10.24)

∂z

∂y

С учётом парности касательных напряжений (τzy = τyz )

получаем, что каса-

τyz = 0.

(10.25)

i=∞

òσxdF = −òEκydF = −Eκò ydF = −EκSz = 0 ,

N(x)= å

Ni (x)=

(10.26)

i=1

F

F

F

y

где использовано выражение

для нор-

dF

мального напряжения sx (10.23), учтено

постоянство величин Е и κ, а также оп-

z

ределение статического момента. Но в

σx

y

M

задаче чистого изгиба осевая сила долж-

на отсутствовать ( N(x)= 0). Из трех со-

z