Lectures part1

- 51 -

отсюда

m = 2EG - 1 .

Для характеристики пластических свойств материалов при растяжении определяют относительное удлинение после разрыва и относительное суже- ние площади после разрыва.

Относительное удлинение после разрыва δ –

это отношение приращения расчетной длины образца (lк − l0 ) после разрушения к начальной расчетной дли-

не l0 , выраженное в процентах, т.е.

d = lк − l0 ×100% , l0

где l0 – участок длины образца между нанесёнными

метками до испытания, на котором определяется уд- линение; lк – длина того же участка, но после разрыва

образца. Для измерения lк обе части образца по воз- можности плотно складывают, чтобы их оси образо- вывали прямую линию.

Относительное сужение площади после разрыва ψ – это отношение разности F0 и минимальной Fк

площади поперечного сечения образца после разруше- ния к начальной площади поперечного сечения образца F0 , выраженное в про-

центах:

y = F0 − Fк ×100% .

F0

Механизмы образования упругой и пластической деформации

Каков же механизм образования деформации на микроскопическом уровне? Механизм образования упругой деформации достаточно прост. Она воз- никает вследствие простого увеличения (или уменьшения при сжатии) рас- стояния между атомами и молекулами. По устранении внешних сил атомы сно-

ва занимают в кристаллической решетке свое строго определенное положение и геометрические размеры тела полностью восстанавливаются. Так объяс- няется свойство упругости.

Рассмотрим теперь процесс возникновения пластических деформаций. Опыт показывает, что образование пластических деформаций связано со сме- щениями сдвига в кристаллической решетке. Наглядное подтверждение этому

- 52 -

дает, в частности, наблюдение за поверхностью полированного образца при испытании на растяжение. В зоне общей текучести и упрочнения, т.е. при воз- никновении заметных пластических деформаций, поверхность образца покры- вается системой тонких линий (линии Людерса – Чернова) (рис. 5.7, слева). Эти линии преимущественно имеют направление, составляющее угол с осью стержня, близкий к 45°, что соответствует площадкам с наибольшим уровнем касательных напряжений. В результате соскальзывания по наклонным плоско- стям стержень удлиняется. Механизм образования этого удлинения показан в упрощенном виде на рис. 5.7 (справа).

Действительная картина более сложная, так как носит пространственный характер, и сдвиг происходит не только в одном семействе параллельных плос- костей, как это показано на рисунке, а вообще во всех семействах плоскостей, составляющих угол, близкий к 45°с осью стержня. Сдвиги происходят внутри отдельных кристаллов, и их направления в соседних кристаллах могут не сов- падать. Кроме того, смещение атомов при сдвиге происходит не по всей плос- кости одновременно, а путем последовательного перемещения начальных не- правильностей в кристаллах, которые называются дислокациями. Но в конеч- ном итоге всё же происходит сдвиг, скольжение слоёв материала друг по другу.

Поскольку пластическая деформация представляет собой последовательный процесс, а не единовременный, для её протекания требуется время. Если ско- рость деформирования увеличить, то пластические деформации не будут про- исходить в полном объёме и материал проявит более хрупкие свойства. Хруп-

костью называется свойство материалов разрушаться при малых деформа- циях.

При увеличении скорости нагружения на диаграмме исчезает площадка текучести; не образуется шейка на образце, поэтому исчезает участок падения на диаграмме; несколько повышается предел прочности; уменьшается удлине- ние при разрушении (штрихпунктирная линия на рис. 5.2). Все эти изменения соответствуют большей хрупкости материала.

При пластической деформации существует, очевидно, и упругая, связан- ная с изменением расстояний между атомами. При разгрузке искаженная фор- ма решетки восстанавливается, т.е. снимается упругая деформация. Пласти- ческая же деформация, представляющая собой проскальзывание слоев мате- риала, остается: без дополнительных сил скольжения в обратном направлении не происходит.

Весьма существенно, что процесс снятия упругой деформации происхо- дит по тем же законам, что и в начальной стадии нагружения образца. При сня- тии упругой деформации в обоих случаях сокращается расстояние между ато-

- 53 -

мами. Поэтому прямая разгрузки ZO1 (рис. 5.2) примерно параллельна прямой начального нагружения ОА.

При значительных растягивающих усилиях пластические деформации со- провождаются нарушением межкристаллических связей и связей между ато- мами, постепенно накапливаются повреждения, и образец разрушается.

Вспомним о том, что упомянутые механические характеристики и диа- грамма называются условными. Связано это с тем, что при их определении ис- пользовались данные о геометрии образца до испытания. Между тем, деформа- ции металлов перед разрушением могут достигать 20 %, 50 % и более. При этих деформациях нарушается допущение о малости перемещений и деформа- ций, и уже не безразлично, по каким размерам вычислять напряжения и дефор- мации. Истинные напряжения и деформации в материале могут значительно отличаться от условных, как и диаграмма, выражающая зависимость этих ве- личин и называемая истинной диаграммой растяжения. Получать истинную диаграмму много сложнее, и в технике пользуются именно условной диаграм- мой и соответствующими ей условными механическими характеристиками. При этом характеристики, определяемые при относительно небольших дефор- мациях (предел пропорциональности, предел текучести), незначительно отли- чаются от истинных величин. Предел же прочности (временное сопротивление) является, конечно, в полной мере условной величиной.

Заметим ещё, что свойства материалов существенно зависят от темпера- туры. Как правило, с увеличением температуры предельные напряжения пада- ют, а пластичность увеличивается, при снижении температуры наоборот. Но есть и исключения. Именно малоуглеродистая сталь при повышении темпера- туры сначала становится более хрупкой (охрупчивается) и только затем её по- ведение становится таким же, как у других материалов. Подробнее эти вопросы изучаются в курсе материаловедения.

Диаграмма растяжения дюраля и чугуна. Условный предел текучести.

Другим распространенным конструкционным материалом является дю- раль – сплав алюминия прежде всего с медью и магнием. Это уже не черный, а цветной металл.

Машинная диаграмма растяжения дюраля представлена на рис. 5.8. Зна- чение предела прочности этого материала приближаются к значениям малоуг- леродистых сталей. Модуль упругости у него Е = 0,7×105 МПа, что примерно в три раза меньше, чем у сталей: Е = 2,0×105 МПа. Длина диаграммы много меньше, чем у малоуглеродистых сталей. Кроме того, диаграмма имеет и каче-

- 54 -

ственные отличия: во-первых, на диаграмме нет площадки текучести, во- вторых, нет заметного падения нагрузок перед разрушением, а значит, что на образце перед разрушением не образовывалась шейка. Всё свидетельствует о том, что это более хрупкий материал, чем малоуглеродистая сталь.

О начале процесса значительного пластическо-

го деформирования стали можно судить по площадке текучести. У дюраля ее нет, и по диаграмме не ясно, когда начинаются эти процессы. Наличие площадки текучести характерно для относительно чистых ме- таллов, её нет у легированных сталей и многих дру-

гих сплавов, а для сплавов вообще характерна мень- l шая пластичность и отсутствие площадки текучести.

Это объясняется различием в диаметрах атомов, что обычно мешает взаимному проскальзыванию слоев кристаллической решетки.

Чтобы получить представление о моменте начала значительных пласти- ческих деформаций материалов, не имеющих реальной, физической площадки текучести, вводят понятие условного предела текучести (ГОСТ 1497-84):

Предел текучести условный с допуском на величину пластической де- формации при нагружении σ0,2 – это напряжение, при котором пластическая

деформация образца достигает 0,2 % от рабочей длины образца (рабочая дли-

на образца это часть образца с постоянной площадью поперечного сечения между его головками или участками для захвата).

Стандарт предусматривает также другие, отличные от 0,2 % допуски на вели- чину пластической деформации. Возможны и другие методики определения условных пределов текучести (такие условные пределы текучести по-другому обозначаются).

- 55 -

Диаграмма растяжения чугуна (рис. 5.9) еще короче, чем у дюраля. Это хрупкий материал. Прямолинейный участок диаграммы чугуна, как и у боль- шинства хрупких материалов, выражен нечетко, так что закон Гука выполняет- ся весьма приближенно. Очевидно, что чугун ещё более хрупкий и менее пла- стичный материал, чем дюраль.

Диаграммы растяжения других металлов также имеют свои особенности. Материалы другой физической природы, пластмассы, композиционные мате- риалы имеют еще более яркие отличия.

Диаграммы сжатия металлов. Особенности испытаний на сжатие

Условные диаграммы сжатия металлов обычно мало отличаются от диа- грамм растяжения до предела пропорциональности, но далее различия стано- вятся существенными.

lма сжатия располагается выше ис- тинной диаграммы и, следовательно, выше условной диаграммы растяже- ния, если напряжения сжатия рас- сматривать по абсолютной величине.

Пластичные материалы при

сжатии могут вообще не разрушаться, сплющиваясь под действием нагруз- ки; естественно, отсутствует шейка,

как правило, плохо выражена площадка текучести (рис. 5.10).

Хрупкие материалы разрушаются обычно от сдвигов под углом около 45° к оси образца. Для этих материалов характерно, что предел прочности на сжа- тие оказывается у них значительно выше предела прочности на растяжение, хотя разрушаются они также при относительно малых деформациях. Напри- мер, для чугуна предел прочности на сжатие выше, чем на растяжение, в 3 раза и более. Диаграмма же сжатия хрупких материалов по форме похожа на диа- грамму их растяжения (рис. 5.9).

- 56 -

При сжатии невозможно исключить трение по поверхностям, к которым прикладывается сжимаю- щая нагрузка. В результате в процессе нагружения

образец принимает бочкообразную форму (рис. 5.11), а напряженное состояние материала вблизи поверх- ности с нагрузкой явно перестает быть простым сжа- тием. На сжатие невозможно испытывать длинные

образцы, поскольку они теряют устойчивость при сжатии и изгибаются, тогда особенности напряжен-

ного состояния распространяются на весь образец и искажают результаты испытаний. Таким образом, для испытаний на сжатие характерна меньшая точность по сравнению с испыта-

ниями на растяжение.

Расчет на прочность по допускаемым напряжениям и расчеты на жесткость при растяжении-сжатии.

Вполне очевидно, что напряжения в конструкции не должны превышать значений, приводящих к разрушению. Однако в зависимости от обстоятельств разрушающими можно считать разные напряжения. Например, напряжения, вызывающие разрушение материала в той точке, где они действуют. Но в большинстве случаев конструкции предназначены для многократного исполь- зования. Тогда разрушающими можно считать напряжения, вызывающие большие пластические деформации. Напряжения, которые нельзя превышать, разрушающие напряжения, называют предельными (σпред ). Исходя из этого, в

качестве предельных принимают обычно предел прочности (σв ) для хрупких материалов и предел текучести (σт или σ0,2 ) для пластичных. Очевидно, что не при σв происходит разрушение, и не только при достижении σт и σ0,2 начи-

наются пластические деформации, но эти величины легко определяются из экс-

перимента и вполне могут служить и служат для оценки момента наступления опасных состояний материала.

Таким образом, ограничение по напряжениям может быть записано так:

Однако приближаться к ограничениям вплотную нельзя по нескольким причинам:

1) для конструкций обычно недопустимы даже малые пластические де-

- 57 -

формации, поэтому необходимо, чтобы реально действующие в конструкции напряжения были в области действия закона Гука;

2)данные о материале, о величине и характере предполагаемых нагрузок всегда имеют погрешность;

3)расчетная модель и метод расчета всегда приблизительны.

Чтобы гарантировать прочность конструкции в этих условиях, вводится коэффициент запаса прочности n, с помощью которого вычисляется допускае-

Вкачестве условия прочности при расчете по допускаемым напряжениям

взадачах растяжения принимается

где σmax - максимальное напряжение в конструкции.

В задачах, где встречаются и растяжение, и сжатие, часто принимают, особенно для пластичных материалов, одинаковые допускаемые напряжения на растяжение и сжатие. Тогда условие прочности принимает такой вид:

≤ [σ] .

Когда допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие разные, то соответ- ственно усложняется и условие прочности.

Если принято, что σпред = σв , то коэффициенты запаса прочности прини- маются обычно выше, чем в случае, когда σпред = σт . Причины достаточно

очевидны: за пределом прочности следует разрушение, за пределом текучести

– искажение формы конструкции, к тому же в первом случае до уровня напря- жений линейной задачи дальше, чем во втором. Поэтому различают коэффици-

ент запаса по пределу прочности (nв) и коэффициент запаса по пределу теку-

чести (nт ). Значения коэффициентов в зависимости от задачи принимают обычно в пределах nв = 2...6 , nт =1,5 ... 5 . Величина каждого из коэффициентов запаса nв и nт зависит от срока службы создаваемой конструкции, её ответст-

венности (учитываются последствия, к которым может привести ее разруше- ние), от характера нагрузок (статические или динамические), от жесткости тре- бований к весу и других параметров.

Подчеркнем, что коэффициенты запаса всегда берутся такими, чтобы на- пряжения σ , а следовательно, и σ max конструкции, т.е. эксплуатационные на-

пряжения в конструкции (σэкс ), были меньше предела пропорциональности.

Это оправдывает расчет конструкций в линейной постановке и обеспечивает неизменность формы конструкции в эксплуатации.

- 58 -

Порядок расчета на прочность по допускаемым напряжениям следующий. 1. Назначают σпред для данной задачи и материала с учетом нормативных

требований или справочных данных и эксперимента.

2. Задают коэффициент запаса n с учетом особенностей задачи по отрас- левым или иным нормам или просто из опыта, после чего находят

σ = σпредn .

Примечание. В конкретных задачах, особенно для распространенных материалов, зна- чение [σ] бывает известно заранее, поскольку оно может быть определено для большого чис- ла родственных задач.

3.Рассчитывают напряженное состояние и определяют максимальные напряжения в конструкции.

4.На основании сравнения σmax с допускаемым значением (требуется, чтобы σ max ≤ [σ] ) дают заключение о прочности.

Примечание. В заключении о прочности часто указывают расчетный запас прочности конструкции по допускаемым напряжениям, который вычисляют по формуле

лучше спроектирована конструкция.

При расчёте сжатых стержней следует учитывать возможность потери стержнем устойчивости (устойчивой формы равновесия). Об этом скажем в конце курса.

Помимо расчета прочности часто приходится проверять жесткость. Ясно, что перемещения и другие параметры деформированного состояния точек кон- струкции могут быть ограничены, например для исключения возможности воз- никновения колебаний, обеспечения сборки под нагрузкой или по другим при- чинам. Здесь также можно указать некоторые предельные значения uпред , от-

носительно которых задаются новые коэффициенты запаса k, отличные от за- пасов по прочности, с помощью которых вычисляются допускаемые переме- щения [u]. Условие жесткости может иметь такой вид, например:

u max ≤ [u] = uпред .

k

Запасы по жесткости также учитывают возможные неточности в решении задачи. Задачи расчета жесткости часто встречаются на практике, (регламентации в этих вопросах обычно меньше, чем при расчете прочности). В отличие от на-

пряжений перемещения могут быть ограничены как сверху, так и снизу, а усло-

вие жесткости может иметь вид

[u]1≤ u ≤ [u]2 ,

- 60 -

u(x)= òx edx + u(xн ).

Все основные величины (напряжения, деформации и перемещения), ха- рактеризующие деформированный стержень, найдены. Теперь можно прове- рить прочность по допускаемым напряжениям и жёсткость. Легко видеть, что

максимальное нормальное напряжение достигается в верхнем сечении у опоры:

= FP + qFx l .

Его и следует сравнить с допускаемым напряжением.

Если задано какое-либо ограничение по жесткости, например ограниче- ния на перемещения точек оси стержня, то можно проверить и их выполнение.

Следует отметить, что формулы для каждого из полученных парамет- ров НДС (5.6) – (5.9) состоят из двух слагаемых, в каждое из которых в виде мно- жителя входит по одной из нагрузок. Это множители P и qx . Очевидно, что каж-

дое из слагаемых представляет собой часть решения от соответствующего силово- го фактора, от силы на конце стержня и от веса самого стержня, которые могут быть найдены независимо. Решение же от действия двух силовых факторов, дей- ствующих одновременно, получается сложением (суперпозицией, наложением) отдельных решений, что соответствует принципу суперпозиции линейных систем.

Система уравнений для задачи растяжения-сжатия стержня

К решению задачи можно подойти и с иной точки зрения. Имеется систе-