Lectures part1

- 61 -

Вместе соотношения (5.10), (5.11) образуют разрешимую систему уравнений. Эта система уравнений очень проста, она допускает разные пути решения. Выше мы ее решали следующим образом. Сначала при построении эпю-

ры N(x) интегрировали первое из уравнений (5.10) с использованием второго

граничного условия (5.11). Затем, из второго уравнения (5.10) нашли ε, после чего, интегрируя четвёртое из уравнений (5.10), нашли u.

Можно эту систему решать и по-другому, вначале записать силу в сече-

Заметим, что полученное соотношение является обобщением соотношения, вы- текающего из равенства (4.9)

Подставив (5.12) в уравнение равновесия и приняв, что EF = const , при- дём к дифференциальному уравнению второго порядка относительно переме-

щений

Известно, что для решения дифференциального уравнения второго порядка требуется два граничных условия. Столько граничных условий мы и имеем, но второе граничное условие следует переписать для осевого перемещения:

торая в данном случае легко решается. Затем по функции u(x) можно найти все

прочие величины задачи.

Последовательность действий, когда вначале находятся перемещения, представляет собой один из общих путей решения задач механики деформи- руемых тел – решение в перемещениях. Первый же из рассмотренных путей решения применим прежде всего к простым системам уравнений для брусьев, которые рассматриваются в сопротивлении материалов.

- 63 -

площадка. Например, для бесконечно малой площадки со сторонами dy и dz сила и момент также бесконечно малы и обозначены на рисунке N x и M x .

Если каждая пара материальных точек соседних сечений воздействуют друг на друга только силой, но не моментом, то суммарный момент на малой площадке (например Mx , момент на площадке перпендикулярной оси x) будет вычисляться как сумма произведений силы, действующей на материальную точку, на бесконечно малое плечо, не превосходящее размера площадки (точка приведения выбирается внутри площадки). В этом случае очевидно, что мо- мент Mx будет величиной следующего порядка малости по сравнению с силой. И тогда моментами Mx , M y , Mz (рис. 6.2) внутренних сил на малых площад-

ках пренебрегают.

Только если каждая пара материальных точек соседних сечений взаимо- действует не только с силой, но и с моментом, то суммарные моменты окажут- ся того же порядка малости, что и силы. Тогда их следует учитывать, но это необходимо делать только в особых случаях, которые не рассматриваются в классической теории упругости. Не рассматриваются они и в данном курсе.

Выше уже говорилось, напряжением называется давление между слоями материала, поэтому вектор напряжения вводится (определяется), как и вектор давления на поверхности. Разделив вектор силы, например N x , на площадь грани, получаем вектор напряжения на площадке, направленный также, как

вектор силы

Разложив векторы напряжений на составляющие:

- 65 -

По закону Ньютона они должны были бы отличаться знаком, но в меха-

нике деформируемого твердого тела принимаются обратные положительные направления для отрицательных площадок, в результате эти значения в полной мере оказываются значениями одной и той же функции. Так было и при рас- смотрении бесконечно короткого участка балки при выводе дифференциаль- ных уравнений равновесия стержня.

Таким образом, вблизи точки нагруженного тела действуют много раз- ных напряжений. Эти напряжения называют параметрами напряженного со- стояния в точке твердого тела, а само это физическое явление называют на- пряженным состоянием в точке. На координатных площадках их девять (три вектора напряжений), но напряжения действуют и на любых других площад- ках, проходящих через рассматриваемую точку. Очевидно, что напряжённое состояние около точки, представляет собой весьма сложное явление.

Еще раз подчеркнем, что напряжение – это обобщенное давление, кото- рое возникает, например, и на поверхности контакта двух твердых тел при уче- те сил трения. Отличие в том, что давление действует на поверхности твердых тел, а напряжениями называют величины, действующие внутри твердого тела. Есть еще отличие в правилах знаков для напряжений и давлений, в остальном эти понятия совпадают.

Уравнения равновесия бесконечно малого элемента трехмерного тела

1. Закон парности касательных напряжений

проходящие через центр тяжести элемента (рис. 6.5). Начнем с уравнения мо- ментов относительно оси z1 .

Изобразим на рис. 6.5 только те напряжения, которые дадут момент от- носительно оси z1 . Нетрудно видеть, что компоненты напряжений, действую-

щие на площадках, перпендикулярных оси z1 , момента не дают, поскольку σz

- 66 -

параллельно оси z1, а τzx и τzy могут дать момент относительно этой оси,

только если учесть их переменность. Но это приведёт к появлению малых сла- гаемых в уравнении равновесия, и эти малые слагаемые всё равно придётся от- бросить. По тем же причинам не дают момента и напряжения на боковых пло- щадках, перпендикулярных осям x1 и y1 , кроме указанных на рисунке каса-

тельных напряжений τ+xy ,τ+yx ,τxy ,τ yx .

Запишем теперь моментное уравнение равновесия относительно оси z1 .

Умножая соответствующее напряжение на площадь грани, по которой оно дей- ствует, получаем силу, которую затем умножаем на плечо относительно оси z1 .

От объемной нагрузки момент не записываем, поскольку объёмная сила

приложена в центре тяжести элемента и момента относительно этой точки дать не может.

На величину 0,5dxdydz равенство (6.4) можно сократить.

Выразим величины с индексом «+» через те же величины без этого ин- декса. Возьмем для примера напряжение τxy . Если на грани с отрицательной

нормалью действует τxy , то на одноименной площадке с положительной нор- малью действует τ+xy = τxy + ∂x τxy , несколько измененное значение, так как τ+xy взято в сечении, бесконечно близком к первому. Через ∂xτxy обозначен так на-

В это соотношение вместе с дифференциалами функций входят и сами функции. В этом случае дифференциалами следует пренебречь, в результате

чего придем к равенству

которые, однако, проще записать формально с помощью циклической переста- новки индексов:

x z

рез данную точку тела, компоненты касательных напряжений, перпендику- лярные к линии пересечения этих площадок, равны по величине и направлены оба либо к линии пересечения, либо от нее.

Закон доказан для площадок, связанных с системой координат, но сама система координат была выбрана произвольно, поэтому для произвольной па- ры взаимно перпендикулярных площадок всегда можно указать систему коор- динат, для которой справедливы проведенные рассуждения.

Таким образом, напряженное состояние в окрестности точки для выбран-

ной системы декартовых координат описывается только шестью компонентами

а таблица напряжений (6.3) оказывается симметричной относительно главной диагонали.

Итак, моментные уравнения равновесия бесконечно малого параллелепи- педа приводят к закону парности касательных напряжений.

2. Дифференциальные уравнения равновесия бесконечно малого паралле-

лепипеда Рассмотрим теперь три уравнения равновесия того же параллелепипеда

(рис. 6.6) в проекциях на оси. Изобразим на параллелепипеде только напряжения, дающие проекцию на ось x. Умножая напряжения на площади площадок, по кото- рым они действуют, получаем силы, приложенные к параллелепипеду и дейст- вующие в направлении оси х. Кроме них в направлении оси х может действовать составляющая объемной силы, которая, конечно, вычисляется умножением соот- ветствующей проекции удельной объемной силы (γ x ) на объем параллелепипеда.

два дифференциальных уравнения равновесия бесконечно малого элемента трехмерного тела:

В эти уравнения входят шесть неизвестных величин, а уравнений только три. Исходя из одних уравнений равновесия задача не решается. Такие задачи называются статически неопределимыми. О них подробнее поговорим позже. А здесь просто отметим, что уравнения теории упругости внутренне статически неопределимы.

- 69 -

Тема №7. Напряженное состояние в точке твердого тела. Напряженное

состояние на площадках различной ориентации

Виды напряженного состояния в точке деформируемого твердого тела

Различают три вида напряженных состояний, которые могут иметь место вблизи материальной точки твердого тела.

ная система декартовых координат взята так, чтобы ось z была перпендикулярна плоскости без напряжений. В силу закона парности в данном случае на двух других координатных площадках будут действовать не все компоненты касательных на- пряжений. На них отличны от нуля только напряжения σ x , σ y , τxy = τ yx .

3. Напряженное состояние в точке называется трехосным или объем- ным, если через неё нельзя провести ни одной плоскости, на которой вблизи данной точки нет напряжений.

- 70 -

Одноосное напряженное состояние. Напряжения на наклонных площадках.

ρξ - объемная сила в направлении оси ξ , например вес материала. Запишем уравнение равновесия относительно оси ξ :

Здесь и далее не будем учитывать объемные силы при выводе формул для напряжений на наклонных площадках, так как во всех случаях ими можно пре-