Lectures part1

- 154 -

Тема №14. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ

Основные гипотезы, принимаемые при кручении круглого стержня.

В предыдущих темах рассмотрены уже три вида деформаций стержня:

растяжение-сжатие, изгиб и сдвиг. Остался последний вид деформаций –

кручение. Направим ось x как всегда вдоль линии центров тяжести сечений,

т.е. вдоль оси симметрии стержня. Кручением называется вид деформаций

стержня, вызванный моментами относительно его продольной оси. Крутящий

момент будем обозначать

M x (x)

или Mкр (x). Изучение вопроса естественно

начинать с простейших задач. Таковой в данном случае является задача о кру-

чении круглого стержня. Существует аналитическое решение этой задачи на

основе соотношений теории упругости. Но здесь рассмотрим решение этой за-

дачи непосредственно на основе эксперимента и введения гипотез (именно так

оно впервые было получено). Заметим, что в технике стержень, передающий

вращение и крутящий момент, называют валом.

y

Пусть прямой стержень имеет круг-

x

лое поперечное сечение. Будем считать,

что левое сечение стержня защемлено, а к

y

M x

правому его концу прикладывается внеш-

ний крутящий момент M x (рис. 14.1). До

x

приложения нагрузки на его поверхности

нанесена равномерная сетка взаимно пер-

dx

Рис. 14.1

пендикулярных линий, аналогично случа-

ям растяжения-сжатия и изгиба. На пра-

вом торце тоже нанесём сетку линий, как показано на рисунке. О характере де-

формаций после приложения момента судим по изменениям этой сетки.

При малых перемещениях и деформациях заключаем следующее:

Часть этих результатов экспери-

γ

мента можно было ожидать: в условиях

осевой симметрии ось стержня должна

Рис. 14.2

оставаться прямой; образующая при кру-

чении несколько меняет свою длину, но

длины стержня. Отметим ещё, что при больших`

перемещениях и деформациях

длина стержня уменьшается.

Кинематические соотношения при кручении круглого стержня

α

Отнесём стержень к цилиндрической системе

ϕ

ϕ + dϕ

координат x, r, α, в которой ось x снова направлена

r

a

вдоль оси стержня. Мысленно выделим из стержня

a

*

под нагрузкой двумя бесконечно близкими сечения-

x

C

b

*

b

ми элемент длиной dx (рис. 14.1) и изобразим его с

C+

необходимым искажением пропорций в увеличен-

ном масштабе (рис. 14.3). Обозначим углы поворота

dx

r

поперечных сечений

стержня через ϕ(x), поворот

сечения в произвольной точке C оси стержня че-

Рис. 14.3

рез ϕ. Поворот бесконечно близкого к нему сечения

в точке C + в непрерывной дифференцируемой зада-

α

после деформации

положение

a*b* .

В

c*

с

плоскости сечения

получается

полярная

r

система координат r и α. Продольным ци-

0

x

γxα

* d′

d

линдрическим сечением радиуса r выделим

d

из первоначального

элемента длиной

dx

C

другой цилиндрический элемент меньшего

C+

dϕ

радиуса, но той же длины и рассмотрим его

r

деформацию (рис. 14.4). Масштаб изобра-

dx

жения на рисунке ещё раз увеличен.

Произвольная образующая cd по-

верхности элемента при деформации по-

Рис. 14.4

вернется и займет положение c*d* . Про-

ведём по поверхности вспомогательную

та же дуга (при малых перемещениях и деформациях) запишется

так:

′

d d* = γ xαdx . Поэтому rdϕ = γ xαdx . Следовательно, получим:

γxα =

dϕ

r .

(14.1)

dx

Нетрудно видеть, что другие линейные и угловые деформации в цилинд-

рической системе координат согласно принятым гипотезам равны нулю

εx = εr = εα = γ xr = γrα = 0 .

(14.2)

τxα = Gγxα = G

dϕ

r .

(14.3)

dx

цию продольной координаты x. Обозначим её так:

ξ(x)=

dϕ

.

(14.4)

dx

Для каждого фиксированного сечения это

τxα max

τxα

r

α

одно число, константа, поэтому формула

τxα

(14.3) позволяет судить о законе распреде-

ления касательных напряжений по сече-

D

нию, хотя определить сами значения каса-

τxα

τ

тельных напряжений ещё невозможно, по-

скольку не знаем величину ξ(x).

xα max

Рис. 14.5

Касательные напряжение, как вид-

но из формулы (14.3), меняется по ли-

τxα

ταx

нейному закону по радиусу r и не меня-

ется по

окружной

координате α

dr

(рис. 14.5).

Максимальное

напряжение

достигается в сечении вблизи внешней

τxα

ταx

поверхности

стержня.

Никаких других

rdϕ

напряжений, кроме касательных τxα и

dx

парных им ταx , на площадках цилиндри-

Рис. 14.6

ческой системы координат не возникает,

что следует из обобщенного закона Гука.

Поскольку

площадки

цилиндрической

ταx

системы координат, как и декартовой,

τxα

взаимно перпендикулярны, то, по опре-

делению, напряжённое состояние в мате-

риале является чистым сдвигом. На ма-

лый прямоугольный элемент, мысленно

вырезанной с поверхности элемента на

Рис. 14.7

рис. 14.4 дополнительными

сечениями,

действуют только касательные напряже-

Такое распределение напряжений объяс-

τ

няет характер разрушения различных ма-

Mкр

териалов при кручении круглых стерж-

ней.

Пластичные металлы срезаются по

Mкр

поперечному сечению от действия наи-

больших

касательных

напряжений

(рис. 14.8). Хрупкие металлы разруша-

ются от отрыва в направлении наиболь-

Рис. 14.8

ших нормальных напряжений (рис. 14.9).

На рис. этих рисунках напряжения и на-

σ = τ

грузки изображены условно. Они дейст-

вовали до разрушения. По ГОСТу харак-

Mкр

тер разрушения металла при кручении

(срез или отрыв) считается его механиче-

Mкр

ской

характеристикой.

Анизотропная

древесина (кругляк) при кручении вокруг

оси ствола растрескивается в направле-

Рис. 14.9

нии

действия касательных напряжений

ταx ,

поскольку дерево оказывается наи-

i=∞

i=∞

Fi = òτxαrdF .

M x (x)= å

(τxαi

Fi )ri = å

τxαiri

(14.5)

i=1

i=1

F

M x (x)= òGξr 2 dF = Gξò r 2 dF .

(14.6)

F

F

M x (x)= GI pξ = GI p

dϕ

.

(14.7)

dx