Lectures part1

- 131 -

стант шесть C1, D1, C2 , D2 , C3 , D3 . Для их определения снова можно записать

условия опирания балки, которые дают два уравнения для определения кон- стант:

Очевидно, что этих уравнений недостаточно. Нужно найти ещё четыре условия, чтобы задача определения констант интегрирования стала разрешимой. Такими условиями являются условия стыковки участков (их ещё можно назвать усло- виями неразрывности деформаций или перемещений). Балка рассматривается до разрушения, поэтому можно утверждать, что на границах участков функции прогиба балки v(x) и угла поворота поперечных сечений θ(x) должны быть не- прерывны. Иными словами, прогибы балки слева и справа от точки стыка, как и углы поворота поперечных сечений, должны быть равны. Так что для стыка в

где римскими цифрами отмечены номера участков.

Теперь количество констант и уравнений для их определения совпадают, и константы могут быть найдены из полученной системы линейных алгебраи- ческих уравнений. Однако если вести расчет вручную, решение системы шести уравнений с шестью неизвестными будет весьма трудоёмкой задачей.

Задача будет разрешимой и для балки с произвольным числом участков. Действительно, стыков будет на единицу меньше числа участков, тогда усло- вий стыковки участков будет на два меньше числа неизвестных констант. Не-

достающие два условия всегда можно получить из условий закрепления всей балки.

Когда определены константы, формулы углов поворота сечений и проги- бов становятся вычисляемыми выражениями и задачу определения перемеще- ний в балке можно считать решенной.

Метод уравнивания произвольных постоянных интегрирования (метод начальных параметров, метод Клёбша)

Число констант при интегрировании уравнения изогнутой оси можно све- сти всего к двум, если специальным образом записывать соответствующие со- отношения. Тогда для определения констант придется решать систему уравне-

- 132 -

ний максимально всего двух уравнений. Соответствующие приёмы (правила записи соотношений) проще ввести, а затем показать на примере, почему они приводят к результату.

Соотношения следует записывать так, чтобы все слагаемые предыдущих участков без изменения входили бы в выражения для последующих участков, а

дополнительные слагаемые последующих участков обращались бы в нуль на границе с предыдущим участком. Такая структура соотношений получится, ес- ли выполнить следующие правила (правила Клёбша):

1.Отсчет абсцисс всех участков должен вестись от одного начала коорди- нат – крайней левой (или правой) точки оси балки, т.е. для всей балки вводится единая глобальная система координат.

2.При записи уравнений равновесия всегда должна использоваться часть балки с началом координат.

3.Выражение изгибающего момента от сосредоточенной пары M следу-

ет записать в виде M (x − a)0 , где a - абсцисса сечения, в котором приложен момент M .

4.Если при последовательном рассмотрении участков балки в порядке, соответствующем возрастанию координаты x , обнаруживается, что появляю- щаяся на каком-либо участке распределенная нагрузка не продолжается на по- следующих участках, то ее следует искусственно продолжить до конца балки, а

для исключения действия добавленной нагрузки приложить нагрузку той же интенсивности, но противоположного направления.

5.Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки должно вестись без раскрытия скобок.

Когда выражения для моментов, углов поворота и прогибов получены, следует проконтролировать получение требуемой структуры соотношений.

- 133 -

Рассмотрим пример на рис. 12.3. Введем для рассматриваемой балки еди- ную глобальную декартову систему координат 0xyz следующим образом. Со- вместим начало координат − точку 0 с левым торцом балки (рис. 3.5). Ось 0x совместим с осью балки, а ось 0y направим вертикально вверх. Тогда ось 0z, дополняющая координатную систему до правой системы координат, своим ост- рием будет направлена на читателя (рис. 12.4).

Применим обычный алгоритм построения эпюр. Первый пункт алгоритма (определение опорных реакций) выполняется обычным способом. В данной за-

даче

Рис. 12.4

При выполнении второго пункта (разбиении балки на участки) следует искусственно продолжить распределенную нагрузку, как показано на рис. 12.4. Кроме того, лучше заменить все продольные размеры балки размерами, изме- ренными от начала координат.

В третьем пункте алгоритма (при записи уравнений равновесия отсечён- ной части) следует рассматривать равновесие части балки с началом координат. Сосредоточенный момент следует умножить на множитель (x − a)0 . Получен- ные выражения изгибающего момента следует дважды проинтегрировать, не раскрывая скобок. Константы интегрирования будем пока считать разными на разных участках и докажем их равенство.

Участок 1 [0А]: 0 ≤ x1 ≤ a1 . Запишем уравнения равновесия отсечённой части:

- 134 -

åPy i = 0 = -P - q × x1 - Qy (x) ,

Аналитические выражения:

Qy (x)= −P − qa1 + RA − RB + q(x3 − a2 ) ,