7.5. Критерий устойчивости Найквиста

Данный критерий вытекает из принципа аргумента. Характерной его особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системыделается в зависимости от вида АФЧХ или ЛЧХразомкнутой системы.

Передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде (см. (5.17)):

гдеm<n.

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию

(7.25)

где характеристический полином замкнутой системы, степень которого совпадает со степенью характеристического полинома разомкнутой системы:

Для первого и последнего коэффициентов полинома справедливы равенства:

Сделаем подстановку в выражение (7.25):

(7.26)

Предположим, что разомкнутая система устойчива. Это значит, что все корни характеристического уравнения =0 находятся в левой части КП и изменение аргумента векторапри возрастанииот 0 добудет

Изменение аргумента вектора при возрастанииот 0 дов общем случае равно (см. (7.24))гдеm-число корней характеристического уравнения=0, лежащих в правой части КП.

Частотную характеристику (7.26) запишем в показательной форме:

(7.27)

где амплитудная частотная характеристика функции;.

Изменение аргумента вектора при возрастании частотыот 0 доравно разности изменений аргументови:

Замкнутая система будет устойчивой, если m=0, т.е. если

(7.28)

Для построения АФХ определим начальное () и конечное () положения векторана КП. С этой целью вычислим модуль вектораи аргументна границах частотного интервала

Из выражения (7.27) получим граничные значения :

1)

где К- коэффициент усиления разомкнутой системы;

2) В этом случае

Значения аргументов векторов иприравныпри любом расположении корней уравнений=0 ина КП. Для конечного значения аргумента вектораполучим:

Таким образом, направление вектора присовпадает с положительным направлением вещественной оси комплексной плоскости, а модуль вектора(рис. 7.3 а).

Начальное значение аргумента вектора определим из выражения (7.28):

(7.29)

Для системы, устойчивой в замкнутом состоянии, . Следовательно, направление векторапритакже совпадает с положительным направлением вещественной оси КП, а модуль вектора(рис. 7.3 а).

Условие устойчивости замкнутой системы (7.28) будет выполнено лишь в том случае, если при возрастании от 0 догодограф векторане охватит начало координат (рис. 7.3 б).

От годографа вектора можно перейти к АФХ разомкнутой системыв соответствии с выражением (7.26):

(7.30)

Единицу в формуле (7.30) можно рассматривать как вектор – орт оси вещественных чисел. Если сместить кривую влево на единицу, получим АФХ разомкнутой системы (рис. 7.3 в).

Амплитудно–фазовый критерий устойчивости можно сформулировать следующим образом:

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно – фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1; j 0).

Если замкнутая система неустойчива, то уравнение содержит корни с положительными вещественными частями (m0). Результирующий угол поворота векторапри возрастании частоты от 0 до. Это означает, что для неустойчивой замкнутой системы годограф вектораохватывает начало координат на уголmпо часовой стрелке.

Пример .Дана передаточная функция разомкнутой системы

.

Разомкнутая система устойчива, так как характеристическое уравнение0,5+1=0 имеет отрицательный вещественный корень.

Построим вспомогательную функцию :

.

Замкнутая система неустойчива, так как характеристическое уравнение имеет положительный вещественный корень.