5.2. Преобразование структурных схем

Различные способы преобразования структурных схем облегчают определение передаточных функций сложных систем автоматического управления и дают возможность привести многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной.

Рассмотрим приведение к одному эквивалентному звену простейших сочетаний звеньев в структурных схемах.

а) Последовательное соединение звеньев (рис. 5.1)

Уравнения звеньев структурной схемы на рис. 5.1:

(5.1)

В результате взаимной подстановки выражений (5.1) получим уравнение эквивалентного звена (рис.5.2): x₄=W₃(p)W₂(p)W₁(p)x₁.

Нетрудно видеть, что передаточная функция эквивалентного звена W_э=W₃(p)W₂(p)W₁(p).

б) Параллельное соединение звеньев (рис. 5.3)

Запишем уравнения элементов схемы, приведенной на рис. 5.3.

. (5.2)

В результате исключения промежуточных переменных из уравнений (5.2) получим:

Таким образом, передаточная функция эквивалентного звена равна

в) Встречно-параллельное соединение звеньев (обратная связь) (рис.5.4).

Обратная связь может быть положительной, если сигнал , снимаемый с выхода звена обратной связи, суммируется с сигналомна входе (рис. 5.4 а), и отрицательной, есливычитается (рис. 5.4 б).

Для определения передаточной функции эквивалентного звеназапишем следующие очевидные соотношения:

(5.3)

где знак плюс относится к положительной обратной связи, а знак минус – к отрицательной обратной связи.

Исключим из выражений (5.3) переменную , подставив второе выражение в первое:(5.4)

Решив уравнение (5.4) относительно , найдем передаточную функцию эквивалентного звена

(5.5)

Здесь знак минус относится к положительной обратной связи, а знак плюс – к отрицательной обратной связи.

Если в одной из ветвей структурных схем, приведенных на рис. 5.4, нет звена (рис. 5.5), это означает, что передаточная функция данной ветви равна единице. Для варианта схемы, приведенной на рис. 5.5а, имеем Формула (5.5) для этого случая примет вид:

(5.6)

Для варианта схемы, приведенной на рис. 5.5 б, соответственно получим:

(5.7)

5.3. Обобщенная структурная схема и передаточные функции сау

На рис. 5.6 приведена обобщенная структурная схема замкнутой системы автоматического управления.

Обозначения на рис. 5.6: ЧЭ – чувствительный элемент; УУ – управляющее устройство; УО – управляемый объект;– управляемая величина;- задающее воздействие;- рассогласование на выходе ЧЭ (ошибка управления);- управляющее воздействие;- возмущающее воздействие;- передаточная функция управляющего устройства;- передаточная функция объекта по управляющему воздействию;- передаточная функция объекта по возмущающему воздействию.

В соответствии со структурной схемой на рис. 5.6 уравнения движения замкнутой САУ имеют вид:

а) уравнение управляемого объекта:

(5.8)

б) уравнение управляющего устройства:

(5.9)

в) уравнение чувствительного элемента:

(5.10)

Подставив выражение (5.9) в (5.8), получим уравнение:

(5.11)

где - передаточная функция так называемой разомкнутой системы.

Передаточную функцию разомкнутой системы можно определить как отношение изображений управляемой величины и ошибки при нулевых начальных условиях и возмущающих воздействиях, равных нулю:

(5.12)

Передаточная функция разомкнутой системы имеет весьма большое значение в теории автоматического управления, так как многие методы анализа и синтеза основаны на использовании именно этой функции.

Рассмотрим замкнутую систему, используя уравнение чувствительного элемента (5.10), которое называют уравнением замыкания. Вначале подставим выражение для ошибки управления (5.10) в уравнение (5.11):

(5.13)

Решим (5.13) относительно управляемой величины.

(5.14)

Выражение (5.15)

называют передаточной функцией замкнутой системы. Она устанавливает связь между управляемой величиной и задающим воздействием при равенстве нулю возмущающих воздействий. Теперь выполним подстановку уравнения (5.11) в выражение для ошибки управления (5.10), получив тем самым уравнение, определяющее влияние воздействий g(t)иf(t)на ошибку управления:

Выражение

называют передаточной функцией замкнутой системы по ошибке. Оно дает связь между ошибкой и задающим воздействием в замкнутой системе при равенстве нулю возмущающих воздействий.

Передаточные функции управляющего устройства и объекта управленияв общем случае есть отношения полиномов:

(5.16)

Запишем с учетом обозначений (5.16) выражения для передаточных функций разомкнутой и замкнутой систем:

(5.17)

Из формул (5.17) видно, что характеристический полином замкнутой системы D(p)равен сумме полиномов числителя и знаменателя разомкнутой системы.

Приравнивание нулю характеристического полинома D(p)дает характеристическое уравнение замкнутой системы:

Оно может быть записано в более удобной форме, которая непосредственно получается из (5.15):