книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

Если требуется найти логарифм по произвольному основанию а, то пользуются формулой перехода от одного основания к другому. Согласно этой формуле,

Особенно удобным основанием логарифмов является неперово число, обозначаемое символом е. Это есть ирра­ циональное число, определяемое так:

Как всякое иррациональное число, число е выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Приве­ дем несколько цифр этой дроби:

е = 2,7182818284590452... .

Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами. Натуральный логарифм числа х обозна­ чается 1пх.

В теоретических исследованиях, в различных формулах, выражающих физические, химические и другие величины

ипроцессы, применяется преимущественно натуральная логарифмическая функция у —In х. Однако таблицы нату­ ральных логарифмов встречаются не во всех справочниках,

иони не так подробны. Поэтому для вычисления значений натуральных логарифмов приходится пользоваться фор­ мулой (3.3), которая принимает вид:

системы логарифмов. Это есть иррациональное число, оно представляется дробью: М = 0,434294... .

П р им ер 1. Вычислить 1пЗ, пользуясь таблицей де­ сятичных логарифмов, с пятью десятичными знаками.

ln 3 = i - >*=3 = o S i " ооэве.

П р и м е р 2. Поршень вдвигается в цилиндр, сжимая находящийся в цилиндре газ при постоянной температуре. Работа сжатия выражается формулой: /

70.

ная функция есть функция вида у = ах, где а есть данное положительное число. В различных формулах чаще всего

вочниках помещаются таблицы значений именно этой функции, а также функции у = е~х. Если нужно произ­ водить вычисления для функции у —ах с произвольным основанием а, то эту функцию можно представить в виде:

е°’100 = 1,5683; е0,4в0 = 1,5841. Для отыскания значения функции при промежуточном значении аргумента приме­

Тело охлаждается по закону: Т = T^e~kt (Т —температура в момент времени t (t —в минутах); k —числовой коэф­ фициент, зависящий от физических условий. При неко­ торых конкретных условиях & = 0,02. Найти температуру Г

тригонометрических функций с аргументом, выраженным

71

в градусной мере (в градусах, минутах, секундах), поме­ щены во всех справочниках. Нередко приходится рассмат­ ривать тригонометрические функции числового аргумента. Числовой аргумент можно понимать как угол, выраженный в радианной мере. Нужно уметь переводить заданную меру угла в радианную и наоборот. Для облегчения перевода

таблицы тригонометрических функций числового аргу­ мента (т. е. значения функций от угла, выраженного в радианах).

П р и м е р 1. Найти sin 0,586. По записи видно, что аргумент числовой, его можно толковать как угол, выра­

таблицами перевода радианной меры угла в градусную, находим:

sin 0,586=sin 33°34'30" = 0,5530.

В т о р о й с п о с о б в ы ч и с л е н и я . Пользуясь таблицей функции с аргументом, данным в радианной мере

Мы пришли к задаче нахождения тангенса острого угла. Применяя один из способов, рассмотренных в предыдущем примере, получаем: tg 0,823= 1,078.

34°. Нахождение значения аргумента по заданному зна­ чению функции. Обратная интерполяция. В предыдущих пунктах решалась задача: дана таблица функции; по дан­ ному значению аргумента х найти значение функции у. Часто приходится решать обратную задачу: по данному значению функции у найти значение аргумента х. Иначе говоря, найти такое значение аргумента х, при котором значение функции равно данному числу у. Например: дана таблица синусов; найти угол, синус которого равен дан­ ному числу.

72

Поясним на примерах, как решается такая задача. Пусть требуется найти угол, синус которого равен 0,5972. Иначе говоря, дано: sin х=0,5972. Найти х. Просматривая таблицу синусов, видим, что число 0,5972 есть в таблице, в числе табличных значений синуса. Читаем в таблице соответствующий угол, он равен 36°40\ Итак, х=36°40\ Остальные значения угла найдем, используя известную

функции не содержится в таблице, является промежуточ­ ным значением. Для решения задачи используется метод

сов.

Из таблицы видно, что при увеличении угла х на 10' тангенс увеличивается на 46 (тысячных). У нас тангенс увеличился (по сравнению с начальным значением 3,821)

есть формула поправки на функцию).

Покажем, как изложенные правила применяются для вычисления обратных тригонометрических функций.

Таблицы обратных тригонометрических функций со­ держатся в немногих справочниках (они есть в XT). Если такого справочника у вычислителя нет, то для отыскания значений обратных тригонометрических функций положи­ тельного аргумента нужно пользоваться таблицей тригоно­ метрических функций, но при этом по значению функции отыскивать значение аргумента (с применением, если необходимо, обратной интерполяции).

П р и м е р 3. Вычислить arcsin 0,8361.

73

Требуется найти угол (в радианах), заключенный между

— Т и Т ' СИНУС котоРого равен 0,8361. Пользуясь таблицей

синусов, находим угол в градусной мере: 56°44'. Переводя градусную меру в радианную, получим: arcsin 0,8361 = ==0,9902.

П р и м е р 2. Вычислить arccos (—0,3837).

Требуется найти угол у , заключенный между 0 и я, косинус которого равен —0,3837. Так как косинус отри­ цателен, то угол тупой. По таблице найдем острый угол а, дополняющий у до я (т. е. а = я —у, cos а=0,3837). Этот угол в радианной мере равен 1,1770. Искомый угол у —я —

—1,1770=3,1416—1,1770= 1,9646. Итак, arccos (—0,3837)= = 1,9646.

Если в распоряжении вычислителя есть готовые таб­ лицы обратных тригонометрических функций, то из них непосредственно молено найти значение функции при по­ ложительном значении аргумента. Значения обратных тригонометрических функций для отрицательных значений

Упражнения к главам 2 и 3

1. По таблицам из книги БС, применяя линейное

в) arcsinx при х = 0,2; х — — ~ ; х = 0,2347;

4

г) arccosx при л:= 0,7; х — —у ; л;= 0,6481;

д) arctgx при х = 10; х = {/3; х = —0,8607.

74

4. Найти, пользуясь таблицей натуральных логариф­ мов из книги БС:

In 5; In 5,37; 1п6,284; In 35; In 63,21; In 275,2; In 1014; In 0,00075.

5. Найти по таблице десятичных логарифмов, исполь­ зуя. формулу (3.5), значения натуральных логарифмов чисел с четырьмя верными значащими цифрами:

In 2; In 7; In 65; In 6,182; In 0,8354.

6. Найти значение показательной функции, пользуясь таблицей из книги БС, с четырьмя верными десятичными знаками:

а) е* при л:— 0,234; х = 0,567; х = 1,238; х = 2,645; б) 5* при л;= 0,022; л:— 1,43; х = 0,427.

7. Найти значения показательной функции, пользуясь таблицей из книги БС, с четырьмя верными значащими цифрами:

а) е~х при х = 0,043; л; = 0,274; х = я; х = 0,867; х = 1,576; x = V~2\

б) 3~* при л:= 0,056; х — 0,748; х = 3,7.

8. Вычислить с точностью до четвертого десятичного знака: arcsine; arccosx; arctg </; arcctgy,

и углам Л и С по формуле:

asin С

Сsin А

Да н о : Л —46°(±10'); С = 72°40'(±КГ); а = 84,3 сл.

75

Оценить погрешность формулы, вычислить сторону с с возможной степенью точности (а есть приближенное число).

10. Дано приближенное значение тангенса: tg a — 1,72. По данному тангенсу вычисляется угол а. С какой точ­ ностью можно вычислить угол а , пользуясь четырехзнач­

С какой предельной погрешностью можно вычислить

Вычислить у при данных значениях, оценить погреш­ ность (числа А и х приближенные, коэффициенты 0,4

и3 —точные).

13.Радиус вписанной в треугольник окружности определяется формулой:

76

Значения S вычислять с тремя верными десятичными знаками. Числовые значения а и R считать точными.

18. Объем отрезка цилиндра («цилиндрическое ко-

результат получить с тремя верными значащими циф­

77

78

расстояния между двумя точками земной поверхности. Это есть дуга большого круга земного шара, проходяще­ го через данные точки. Длина дуги ортодромии есть кратчайшее расстояние между двумя пунктами.

Расстояние (кратчайшее, по ортодромии) от Москвы до пункта с широтой <р и долготой А определяется фор­ мулой:

79