книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

Методами математического анализа доказывается, что

На рисунке 30 изображены графики четырех типов расположения дуги кривой. Если дуга кривой имеет вид (а) или (б), то следует пользоваться формулой (4.9), если кривая имеет вид (в) или (г), то формулой (4.10).

В первом случае последовательность | ь | 2, ... возрастаю­ щая (все приближенные значения с недостатком), во втором случае — убывающая (приближенные значения с избытком).

Это различие можно выразить аналитически. Если на отрезке [а\ Ь] производные f(x ) й f"(x) одинакового знака (будем говорить: «первый тип функции»), то следует поль-

100

зоваться формулой (4.9); если они разных знаков («второй тип функции»), то формулой (4.10). При этом мы предпо­ лагаем, что отрезок [а; b] столь мал, что как f'(x), так и f"{x) сохраняют постоянный знак.

J4 р и м е р. Найти приближенное значение корня урав­ нения x 3jr х 2—3=0, применяя метод хорд. Отделяя корень,

применить формулу (4.9). Все приближенные значения будут с недостатком, последовательность приближенных

ция f{x) непрерывна, /(а) и f(b) имеют разные знаки. Как было отмечено, возможны четыре случая расположения графика функции f{x) на отрезке [а; Ь] (рис. 30); Пусть, например, имеет место расположение кривой, как на ри­ сунке 30, г. Искомый корень I есть абсцисса точки пересе­

с осью Ох. Абсциссу этой точки 1ц и примем за приближен­ ное значение корня. Выведем формулу для вычисления h (рис. 31).

10!

получаются приближенные значения корня с избытком,

место первый тип функции. Надо положить | 0= 1 ,5 и применить формулы (4.13) и (4.14). Вычисляя, находим:

Si =-1,233; £а= 1,181; S ,= U 75 .

44°. Комбинированные методы численного решения уравнений. Рассмотренные методы численного решения уравнений удобно применять не в чистом виде,' а путем сочетания двух из них.

тип функции на этом отрезке. Будем вычислять прибли­ женные значения корня по методу хорд:

s; < s; < • • • < и < • ..

(это будет возрастающая последовательность). Одновре­ менно будем вычислять приближенные значения по ме­ тоду касательных:

(это будет убывающая последовательность). Для любого k справедливо неравенство:

можно получить хорошее приближение, причем неравен­ ство (4.15) позволяет очень просто оценить погрешность; абсолютная погрешность каждого из приближенных зна­ чений Щ и Q не превышает dh= Ц — Ц . Если же взять

103

ность не превысит ал .

В случае функции второго типа все сказанное оста­ ется в силе с той разницей, что последовательность, полученная по методу хорд, будет убывающей, все при­ ближенные значения будут с избытком:

Последовательность, полученная по методу касательных, будет возрастающей, все приближенные значения будут с недостатком:

К < К < К < • • •

И в этом случае искомый корень будет заключен между любыми двумя числами \ k’ и ££:

П р и м е р . Для уравнения хя—6х2+ 20 = 0 легко убе­ диться, что наименьший положительный корень нахо­ дится на отрезке [2, 3; 2, 4]. На этом отрезке

2-3—^ ^ 3 = 2,33640 . . . «*23364.

f (°)

(Значение Ц, как низшую границу корня, округляем по недостатку, а gj, как высшую границу,— по избытку.) Итак, имеем:

2,3364 < 6 < 2,3368.

Для выполнения вычислений рекомендуется подгото­ вить расчетный бланк.

Комбинированный метод проб и хорд. Метод состоит в следующем. Применяем в основном метод проб (десятичное деление), но при каждом шаге в качестве вспомогательного средства применяем метод хорд, причем вычисления по

104

методу хорд производим «грубо». Эти вычисления исполь­ зуем лишь для того, чтобы из девяти точек, подлежащих испытанию по методу проб, выбрать 2—3 (те, которые близки к значению, найденному по методу хорд) и тем самым сократить объем вычислений.

Прием осуществления метода проб, описанный в п. 41°, • есть в сущности комбинированный метод проб и хорд, только без применения формулы метода хорд.

§ 14. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ (МЕТОД ИТЕРАЦИЙ)

45°. Понятие о методе итераций. Пусть требуется найти корень уравнения / г(х)=0. Заменим данное уравне­ ние уравнением вида

равносильным данному. Это можно всегда сделать, и притом многими способами. Например, уравнение х 3—2л:—5 = 0 можно заменить следующими равносильными уравнениями,

Пусть мы отделили некоторый корень уравнения х*. Значит, мы можем указать грубо приближенное значение корня, обозначим его х0. Будем называть его начальным приближением. Подставим х0 в правую часть уравне­ ния (4.16) (т. е. найдем значение функции /(х) при х —х9. Найденное значение обозначим хи т. е. хг=f(x0). Число хх называется первым приближением. Подставим хх в правую часть уравнения (4.16), полученное значение обозначим дга, т. е. x ^ fiX i). Далее находим x3= f(x2), х4=/(х3), ... . Во многих случаях этот процесс можно продолжать неогра­ ниченно, мы получаем числовую последовательность

Хоу х%у . ., Хл, ... . (4.17)

В зависимости от свойств функции ?(х) может случиться, что числа лг0, хи х2, ... с возрастанием номера будут прибли­ жаться к истинному значению искомого корня х*. Точнее

105

говоря, последовательность (4.17) будет иметь предел,

равный значению корня **: Нш хп=х* (в этом случае

П~*00

говорят, что последовательность сходится). Это значит, что, найдя хп при достаточно большом п, мы получим при­ ближенное значение корня с требуемой степенью точности.

Метод, основанный на применении этого процесса,

называется методом последовательных приближений или методом итераций (от латинского слова iteratio — повто­ рение). Числа х 0, хи *а, ..., хп, ... называются последова­ тельными приближениями: *0— начальное приближение, хг — первое приближение, *2— второе приближение и т. д.

Однако не всегда последовательность (4.17) сходится к корню уравнения (4.16). Может даже случиться, что числа Xi, х.,, *3, ... удаляются от корня. Поэтому в каждом конкретном случае необходимо выяснить, применйм ли данный метод. Условия применимости мы рассмотрим ниже, а пока рассмотрим примеры.

46°. Примеры. П р и м е р 1. Пусть дано уравнение

Применяя известные приемы отделения корней, убеждаемся в том, что уравнение (4.18) имеет корень, заключенный между 0 и 1. Для уточнения корня применим метод ите­ раций. Примем *о= 0 . Находим последовательные прибли­ жения, вычисляя их с четырьмя десятичными знаками. Получаем:

Замечаем, что члены последовательности поочередно то возрастают, то убывают. При возрастании номера члены последовательности сближаются; это дает основание пред­ положить, что последовательность сходится и ее предел равен истинному значению корня (ниже это будет обосно­ вано теоретически). Члены с четными номерами меньше корня, члены с нечетными — больше. Значит, члены с чет­ ными номерами являются приближенными значениями корня с недостатком, члены с нечетными номерами — с из­ бытком. Истинное значение корня заключено между любыми двумя соседними последовательными прибл иже-

108

и применим метод итераций. Примем за~ начальное прибли­ жение х„=0,7. Находим последовательные приближения:

Как видим, члены последовательности быстро воз­ растают, а последовательность не сходится, члены последо­ вательности не приближаются к корню уравнения. Значит, к нашему уравнению в записК(4.20) метод итераций непри­ меним.

47°, Условия применимости метода итераций. Пусть дано уравнение x —f(x) и требуется найти корень g этого уравнения (предполагается, что существование корня уже доказано каким-нибудь способом). Будем предполагать, что в окрестности точки | функция f(x) непрерывна и имеет производную f'(x). Для решения вопроса о применимости метода итерации руководствуются следующим основным

довательность приближений не сходится к корню (метод итераций неприменим).

Важно отметить следующее. Если |/'(х)|<1, но !/'(х)| близко к 1, то метод итераций применить можно, но итера­ ционная последовательность сходится медленно, для полу­ чения достаточной точности нужно вычислить большое число членов последовательности. Если же |/'(х)| мало, существенно меньше единицы, то итерационная последова­ тельность сходится быстро, и в этом случае применение метода итераций выгодно.

Из сказанного следует такое практическое правило применения метода итераций. Пусть дано уравнение в про­ извольной форме и найден малый отрезок [а; Ы, в котором существует единственный корень. Для применения метода итераций представляем данное уравнение в виде х=[{х).

108

Из многих возможных представлений в таком виде нужно

тельно меньше единицы. Выполнив такое представление уравнения, составляем расчетную таблицу и производим вычисления последовательных приближений. Вычисления заканчиваем, когда два соседних приближения совпадут. За начальное приближение х0 можно принять любое число из отрезка [а; Ь), если только лу также принадлежит этому отрезку.

итерационная последовательность монотонна: или воз­ растающая, или убывающая (одностороннее приближение). Во втором случае последовательность немонотонна: воз­ растание и убывание членов чередуются (двустороннее приближение).

В справедливости всего изложенного в данном пункте можно убедиться, рассмотрев геометрическую иллюстра­ цию процесса итерации, что будет сделано в п. 48°. Анали­ тическое доказательство сходимости процесса итераций изложено в гл. 10, п. 108.

З а м е ч а н и е . На практике для проверки примени­ мости метода итераций иногда вычисляют значение произ­ водной f'(x) в точке Хо, которая является грубым прибли­ женным значением корня. Если |/'(д:)| значительно меньше единицы, то в силу непрерывности мы делаем вывод, что и в окрестности искомого корня это свойство сохраняется и, значит, метод итераций применйм.

48°. Геометрическая иллюстрация процесса итераций. Пусть дано уравнение x=f(x) и требуется найти корень £, содержащийся внутри отрезка [а; Ь]. Построим графики функций у = х и y=f(x) на этом отрезке (рис. 34). Заметим, что график функции у —х есть биссектриса координатного угла, будем для краткости говорить просто «биссектриса». График функции y=f(x) для краткости будем называть «кривая». Корень данного уравнения | есть абсцисса точки пересечения биссектрисы и кривой.

Возьмем на оси Ох произвольную точку с абсциссой х0,

109