книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

рифмируем равенство (8. 11), получаем:

На приближающей прямой возьмем две произвольные точки (значительно удаленные друг от друга) и подста­ вим соответствующие значения и и t в равенство (8. 12). Обозначим b = \gA, a = klgl . Получим систему уравне­ ний с неизвестными а и Ь:

j ax + b = y, \a x -\-b = у.

(как и выше, a — k \ge, b = \gA). Разбиваем все опытные точки на две группы: в первую включаем первые шесть точек, во вторую— остальные пять точек. Найдем сумму невязок в точках первой группы и приравняем нулю. То же для точек второй группы. Получим систему урав­ нений:

формула будет:

и = \0 2 е -° 'зи .

90°. Приближение при помощи степенной функции. При изучении многих явлений эмпирическую формулу удобно представить в виде степенной функции

Признаком того, что именно такая функция хорошо вы­ ражает зависимость между данными величинами, яв­ ляется расположение опытных точек по прямой линии на логарифмической сетке (на логарифмической бумаге).

Для отыскания чисел Л и а применяем тот же прием, который был изложен в п. 89°. Логарифмируем равенство

(8.14):

190

Мы получили линейную функцию. Теперь можно при­ менить или метод натянутой нити, или метод выбранных точек, или метод средней.

91ь. Примеры эмпирических формул. Существует много эмпирических формул, которые применяются на практике. Приведем несколько примеров.

1. Формула линейного расширения тела при нагре­ вании:

/ = /0(1 ~Ьа Н-13^2-ЬY^3),

где а , р, у — коэффициенты, зависящие от вещества, t — температура тела.

2. Формула Ричардсона, определяющая величину тока насыщения в электронной лампе в зависимости от темпера­ туры катода:

Y k = AT*e~BT,

где Т — абсолютная температура, А и В — постоянные, зависящие от формы катода и от вещества.

3. Формула Вилларда— формула зависимости скорости звука в дистиллированной воде от температуры:

с= 1557—0,0245(74—О2.

§ 23. НАХОЖДЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ФОРМУЛ ПО ОПЫТНЫМ ДАННЫМ

92°. Постановка задачи и принцип решения.

' Для многих процессов и явлений известен вид формулы, выражающей связь между величинами, играющими роль в данном процессе. Так, при свободном охлаждении тела температура Т измеряется по закону: Т —Тйе~м. Соотноше­ ние между давлением и удельным объемом насыщенного

Некоторые формулы выведены теоретически, другие получены эмпирически. На практике несущественно их происхождение, важно то, что в каждой формуле содер-

191

жатся постоянные числа, параметры (коэффициенты, пока­ затели степени и т. п.), численное значение которых раз­ лично в различных конкретных условиях. Возникает за­ дача: вид формулы известен, требуется найти численные значения параметров в данных конкретных условиях.

Поставленная задача решается таким образом. Воспро­ изводится процесс, который выражается данной формулой, т. е. осуществляется эксперимент. Производятся измерения интересующих нас величин, составляется таблица. Затем по данным таблицы находят параметры, применяя те или иные методы, например методы предыдущего параграфа: ме­ тод натянутой нити, метод средней, метод выбранных точек. Существуют и другие методы. Решение задачи облегчается тем, что не нужно исследовать, каков вид формулы, выра­ жающей зависимость между величинами: вид формулы уже известен. Требуется лишь найти параметры. Поэтому здесь не нужно строить точечный график, вообще можно обойтись без графических приемов, сразу применять аналитические методы. Но можно избрать и чисто графический метод. При этом, зная вид формулы, мы заранее знаем, какую коорди­ натную сетку надо использовать: логарифмическую, полу­ логарифмическую, полуквадратичную или какую-либо иную. Сразу строим график на избранной сетке и по графику

Требуется найти параметры С и а. Можно применять раз­ личные способы.

С п о с о б н а т я н у т о й н и т и . Так как зависи­ мость выражается степенной функцией, то по данным таб­

192

есть искомый параметр С. Находим далее тангенс угла между прямой и осью абсцисс. Это есть а. Из чертежа видим:

+ (a lg 0,571 + p — lg 3,20) + (a lg 0,500 + p — lg 3,69) = 0.

Производя вычисления, получаем систему уравнений!

( 0,394a+ 5Р = 0,803,

\ —0,848a+ 4 р = 1,888.

Р= 1,76k - 1-071.

Пр и м е р 2. Зависимость скорости корабля от мощ­ ности выражается формулой

194

(р —мощность в л. с., у—скорость в узлах). Результаты измерений представлены таблицей:

Разделим все опытные точки на две группы так: к пер­ вой группе отнесем первые четыре точки, ко второй — остальные. Для каждой группы сумму невязок прирав­ няем нулю, получим систему уравнений:

Г,4а+ 59846 = 11600,

\ 3 а + 148416 = 36000.

Решая систему, получаем:

а = —1075; 6 = 2,65.

Формула (8.17) принимает вид:

Р= 2,65у3— 1075.

§24. СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

94°. Общая характеристика способа наименьших квад­ ратов. Пусть нам известно, что связь между величинами х и у выражается формулой определенного вида, но фор­ мула содержит несколько параметров а, 6, с, . .. . За­ пишем зависимость у от х так: y = f(x). Будем помнить, что / (х) содержит параметры. Для определения парамет­ ров произведем измерения, составим таблицу (табл. XXVI). Соответствующие значения у, вычисленные по формуле,

обозначим у1У~уг, . . . , уп. Эти значения мы еще не можем вычислить, так как неизвестны параметры, значения у1У Уг, • • Уп зависят от этих параметров. Мы должны найти

такие значения параметров, при которых совокупность

Числа ух—уи . . . , уп—уп называются уклонениями. Число

(8.19) есть сумма квадратов уклонений. Корень квадрат­ ный из этого числа называют квадратическим уклонением

совокупности чисел (yL, у2, . . . , уп) от совокупности чи­

сел (уг, у2, . . . , уп). Если квадратическое уклонение мало, то считают, что совокупность чисел (ylt . . . , уп) близка

к совокупности чисел (г/1( у2, . . . , уп). Это равносильно тому, что если сумма квадратов уклонений (8.19) мала, то совокупность чисел (уг, у2, . . . , уп) близка к сово­

купности чисел (уи у2, . . . , уп).

Сущность способа наименьших квадратов состоит в следующем. В формуле / (х) параметры а, Ь, с, . . . нужно выбрать так, чтобы сумма квадратов уклонений (8.19)

была наименьшей (или, что то же, квадратическое укло­ нение было наименьшее).

95°. Линейное приближение по способу наименьших квадратов. Пусть мы предполагаем выразить зависимость у от х посредством линейной функции: у — ах^-Ь. Функ­ ция f(x), о которой шла речь в п. 94°, есть ах-\-Ь, она содержит два параметра: а и Ь. Вычислим значение этой функции при табличных значениях аргумента, получим:

У г^ахг + Ъ-, у2 = ах2-\-Ь\ у„ = ахп-(-Ь.

Сумма квадратов уклонений будет

S = (ax1-f b—У-iY-\-(ах2~\~Ь—y2)2-jr • • • -\-(ахп-\-Ь—t/„)a.

(8.20)

196

(Обоснование будет дано в гл. 10.) Уравнения (8.21) на­ зываются нормальными уравнениями.

П р и м е р . Решим пример, изложенный в п. 87°, спо­ собом наименьших квадратов. Значения xk и yk берем из таблицы XXIII, вычисляем (заметим, что п =10) коэф­ фициенты при а и Ь:

М* = Го(° + 3 + 5 + 8 + 10+ 14+ 17 + 20 + 22 + 24) = 12’3;

Му = 1 (1,02 + 2,50 + 3,92 + 5,16 + 6,82 + 8,36 + 10,74 +

+ 11,82 + 13,64 + 12,96) = 7,694;

Мхх = щ (О2+ З2+ 52+ 82+ Ю2; + 142+ 172 + 202+ 222+

+ 242) = 214,3;

Мяу = 1(0 -1,02 + 3-2,50 + 5-3,92 + 8-5,16+ 10-6,82 +

+ 14-8,36+ 17-10,74 + 20-11,82 + 22-13,64 + 24-12,96) = = 128,372.

Параметры а и b найдем из системы:

214,За + 12,36 = 128,4,

Решая систему, получим: а = 0,54; 6 = 1,05. Искомая ли­ нейная функция у = 0,54л: + 1,05.

197

96°. Квадратичное приближение по способу наимень­ ших квадратов. Пусть мы предполагаем выразить зави­ симость у от х посредством квадратичной функции: у => = ахг-\-bx~\-c, используя результаты измерений (табл. XXVI). Требуется найти параметры а, Ь, с по способу наименьших квадратов, т. е. найти а, Ь, с исходя из ус­ ловия, чтобы сумма квадратов уклонений (8.19) была наименьшей. Сумма квадратов уклонений будет такова:

2 = (ах1 + Ьх1 + с — у1)2 + {ах1-}-Ьхг + с — у.гУ + . . .

. . . + (а х * п + Ьх„ + с — у п) \

Значения а, Ь, с, удовлетворяющие этому требованию, найдем из системы уравнений:

(8.22). Обоснование описанного способа изложено в гл. 10,

п. 114°.

198

Будем искать приближающую функцию в виде много­ члена второй степени у = ах2 -\- bx-\-c. Для нахождения параметров а, Ь, с составляем систему вида (8.23). Вы­ полняя вычисления по формулам (8.22) и (8.24), получим:

Решая систему, получим: а = 0,175; b — —3,618; с = 29,276.

Итак, функция приближенно выражается на отрезке 0 ^ л :+ Д 5 многочленом

0, 175л:2 —3,618л: +29,276.

97°. Приближение по способу наименьших квадратов в виде показательной или степенной функции. Пусть мы предполагаем выразить зависимость между у и х при помощи показательной функции, у = Аем , или степенной функции, у — Аха. В любом случае логарифмируем ра­ венство, производим замену переменных, как это было сделано в гл. 7, п. 78°, 79°. Приближающая функция будет линейной функцией вида г) = ^ + &.

Применим метод наименьших квадратов к этой ли­ нейной функции, найдем а и Ь. Затем возвратимся к прежним переменным и найдем первоначальные пара­

199