книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

вить, каковы должны быть допустимые погрешности при­ ближенных чисел, чтобы полученный результат имел наперед заданную предельную погрешность.

21°. О вычислениях без строгого учета погрешностей. Приведенные теоремы позволяют проводить строгий учет погрешности. Применяя, например, теорему о сложении приближенных чисел, мы можем гарантировать, что при вычислении суммы 10 слагаемых, каждое из которых имеет абсолютную погрешность, не превышающую 0,005, погреш­ ность суммы не превзойдет 0,05. Однако найденная таким образом граница погрешности обычно бывает значительно завышенной, она получается с большим «запасом». В дейст­ вительности при сложении 10 слагаемых погрешность возрастает (в большинстве случаев) не в 10 раз, а лишь немного превышает погрешность слагаемых. Поэтому при выполнении арифметических действий над приближенными числами в тех случаях, когда не требуется строгого учета точности, установлены правила, позволяющие быстро, без громоздких исследований определить, как нужно проводить вычисления, чтобы получить результат нужной точности. Эти правила не столь точны, как правила вычислений со строгим учетом погрешностей, но во многих вычислениях вполне достаточны. Они называются правилами верных цифр. При формулировке этих правил будем считать, что число данных чисел невелико.

Правила верных цифр. 1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате младший сохраненный

40

6. Если какое-нибудь данное имеет больше десятичны знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при умножении делении, возведении в степень, извлечении корня), чем другие, то его предварительно следует округлить, сохраняя одну лишнюю цифру.

Упражнения к г л а в е 1

При выполнении упражнений 1—5 все вычисления про­ изводить точно, окончательный результат записать точно (все числовые данные считать точными).

1. Объем усеченной пирамиды, нижнее основание кото­ рой есть прямоугольник со сторонами а и Ь, а высота h, выражается формулой (рис. 6):

к длине соответствующей стороны нижнего («коэффициент

_5 ,2л:2 -j- 0,21

*2 ,4л:2 4-3,83424

при х = 0,38.

5. Объем клина (рис. 7) выражается формулой:

V — -g- (2а -f- аг) bh.

41

знаков у результата вы­ числений по формуле

8. Имеется п абонентов телефонной сети. Решается задача: сколькими способами можно одновременно соеди­

нить три пары? Ответ дается формулой ^ ==-щ~~§

выбрать k человек так, чтобы в их число не попали

никакие два соседа. Это можно сделать - ~ ^ C kn_.k спосо­

бами. Вычислить при п — 25, k — Ъ.

11. Из колоды в 36 карт наугад выбирают 3 карты. Вероятность того, что среди них окажется один туз,

выражается формулой: Р = —К 32.

Сзв

Вычислить Р с двумя верными десятичными знаками. 12. В лотерее п билетов, из которых m выигрышные.

Вероятность выигрыша для того, кто имеет k билетов,

42

13. В результате измерения получены приближенные значения величин: хж 34,8 ± 0 ,2 ; ути 0, 00464 + 0,00004; 4327 (± 3 0 ). Найти предельную относительную погреш­ ность каждого из данных чисел.

14. Рациональные числа-g-, Y ’ I F 'l b пРиближенно

выражаются десятичными дробями (соответственно): 0,333; 0,428571; 0,004115; 7,8333. Найти: 1) истинную погрешность, 2) предельную абсолютную погрешность, 3) предельную относительную погрешность каждого из этих приближенных значений.

15. Приближенное значение величины записано в виде десятичной дроби, причем все цифры верны. Найти пре­ дельную абсолютную и предельную относительную по­ грешности каждого из этих приближенных чисел:

16.В записи приближенного числа три значащие цифры. Найти предельную относительную погрешность, если первая значащая цифра есть 1; 2; 6; 9.

17.Число 7,62 найдено с относительной погреш­ ностью 0,3%. Найти абсолютную погрешность, опреде­ лить число верных значащих цифр.

18.В десятичной записи приближенного числа перед запятой стоит одна значащая цифра а. Предельная относительная погрешность этого приближенного числа равна 0,5%. Найти предельную абсолютную погреш­

ность и число верных знаков в случаях: а = 1; а —3;

а= 6; а = 9.

19.Даны некоторые физические и астрономические постоянные:

43

Оценить абсолютную и относительную погрешности этих приближенных чисел. Записать числа в естественной форме. Записать их в нормализованной форме.

20. Записать в виде десятичной дроби с «плавающе запятой» в нормальной форме с тремя верными знача­ щими цифрами:

У к а з а н и е . Значения этих величин, точные и при­ ближенные, можно найти в справочниках БС, XT и других.

21. Даны приближенные записи некоторых чисе посредством десятичных дробей. Для каждого из при­ ближенных значений найти предельные абсолютную и относительную погрешности. Округлить каждое из при­ ближенных чисел до трех десятичных знаков после запя­ той. Для каждого из приближенных чисел, полученных после округления, найти также предельные абсолютную и относительную погрешности и указать знак истинной погрешности:

22. Даны величины, вычисленные с большой точ­ ностью:

средний радиус Земли /? = 6371117,673 м\ площадь поверхности Земли 5 = 510083059,347 км2.

Округлить эти числа: первое до четырех, второе—до трех значащих цифр. Записать числа в нормализованной форме. Оценить относительную погрешность чисел после округления.

числить u=ab+cd. Найти предельную абсолютную по­ грешность результата.

44

В упражнениях 25, 26, 27 выполнить указанные дейст­ вия, в ответе сохранить верные цифры и одну сомнитель­ ную, указать предельную абсолютную погрешность.

и высота ее соответственно равны: 5,32+0,02 м\ 3,24+0,02 м;

2,92+0,02 м.

27.Найти частное от деления приближенных чисел

2,8+0,3 на 25,8+0,05.

28.Вычислить частное от деления числа 4 на число 7

сотносительной погрешностью не более 0,3%.

29. Определить относительную погрешность частного от деления 8 на 13, если его взять с тремя верными знача­ щими цифрами.

В следующих упражнениях все цифры в записях при­ ближенных чисел предполагаются верными. В записи ре­ зультата сохранять только верные цифры.

30.Найти сумму приближенных чисел: 2,64+3,72+0,234+0,04+10,46+124,28+0,0118.

31.Найти произведение приближенных чисел: а=3,84; 6=0,0143. Оценить относительную погрешность произве­ дения.

32.В результате измерения получено приближенное значение радиуса основания и высоты конуса: #=16,4;

Найти предельную относительную, предельную абсолют­ ную погрешность и число верных цифр произведения этих чисел. Вычислить произведение.

ность результата, число верных цифр.

45

Глава ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ 2 РАБОТЫ

§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО ГОТОВОЙ ФОРМУЛЕ

22°. Расписка формулы. Основным видом ручных вы­ числительных работ является вычисление по готовой

сложение, вычитание, умножение, деление; 2) извлечение корня; 3) неалгебраические операции: отыскание значе­ ний показательной функции ах, логарифмической функ­

arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx. Эти функции отно­ сятся к классу трансцендентных (неалгебраических) функций.

Например, пусть требуется вычислить значение много­

сложная задача: составить таблицу значений многочлена

для ряда значений аргумента х.

Чаще всего исходные данные являются приближенными числами, и в результате вычислений мы получаем прибли­ женное число. В отдельных случаях требуются точные вычисления.

Для выполнения вычислений нужно прежде всего продумать, какими средствами будем производить простей­ шие операции. Например, арифметические операции можно

47

выполнять на клавишных машинах. Для извлечения корня, для отыскания значений трансцендентных функций можно пользоваться готовыми таблицами, в которых приведены (обычно приближенные) значения функций. Выбор средств вычислений зависит от характера вычислительного мате­ риала, от требуемой точности.

До начала вычислений следует продумать последова­ тельность всех промежуточных операций и установить удобное расположение записей. Для этого следует произ­ вести расписку формулы.

Расписка формулы делается так. Рассматриваем данную

вии с порядком действий составляем таблицу, в которой каждый столбец предназначен для записи результата определенной операции. Так, для вычислений значения многочлена (2.1) порядок вычислений должен быть таков:

1) записать значение х;

2)х возвести в квадрат;

3)х возвести в куб (или, что то же, результат опе­

7,36;

8) из результата операции (7) вычесть результат опе­ рации (5). Это и будет окончательный результат.

В соответствии с этим составляем расчетную таблицу (таблица III). Такую таблицу следует начертить на листе бумаги (расчетный бланк) и выполнять последовательно вычисления, записывая немедленно каждый полученный результат в соответствующее место таблицы. Вычисления следует производить по столбцам, а не по строкам. Арифме­ тические действия можно выполнять письменно на отдель­ ных листах бумаги или при помощи вспомогательных средств вычислений (вычислительных машин, таблиц).

Выполняя вычисления в соответствии с таблицей III, получаем результат (в таблице III приведены результаты точных вычислений).

Если по характеру задачи требуется произвести прибли­ женные вычисления (что бывает чаще всего), то следует установить, с какой точностью нужно выполнять промежу-

48