книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу
.pdf114°. Нахождение приближения в виде многочлена.
Пусть функция y = f(x) задана таблицей. Приближающую функцию будем отыскивать в виде многочлена первой или второй степени.
1. Приближающая функция—линейная:
ф(х, а, Ь) = ах-{-Ь. |
( 10.20) |
В данном случае приближающая функция содержит два параметра а и Ь. Поэтому система (10.19) будет состоять
из |
двух |
уравнений. |
Найдем |
частные производные |
|
Фа' |
(х, |
а, Ь) —х, ф* = 1. |
Система |
(10.19) в данном случае |
|
будет |
иметь |
вид: |
|
|
|
'п
2 [Ук— ахк— Ь]хк = 0,
< |
*=' |
|
|
|
|
( 10.21) |
I |
2 |
[Ук— a*k— b] = 0 . |
|
|
||
ы |
|
|
|
|
|
|
Преобразуем эту |
систему: |
|
|
|
|
|
п |
|
|
п |
|
п |
|
2 |
хкУк— а 2 |
X2— :Ъ2 |
хк ==0, |
|
||
ft=l |
|
*=I |
k = \ |
|
|
( 10. 22) |
п |
|
п |
|
|
|
|
2 |
Уи— а 2 xh— n b = о. |
|
|
|
||
k=\ |
|
ь=\ |
|
|
|
|
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
*г=1 |
|
|
k=i |
(10.23) |
|
|
п |
|
It |
п |
|
М Ху — |
~ |
2 * ХкУк> |
М хх — |
|
21 Хк. |
|
|
|
k=l |
|
|
k=i |
|
Система (10.22) может быть теперь записана следующим образом:
Мхха + М хЬ^=Мху»
(10.24)
Мха + b = М у.
Решив систему (10.24) линейных алгебраических уравне
ний, |
найдем значения |
неизвестных а и Ь. Эмпирическая |
формула будет иметь вид: y = ax-\-b. |
||
2. |
Приближающая |
функция — квадратный трехчлен. |
|
Ф(х, a, |
b, c) — ax‘iJ^bx^-c, |
230
Вычислим значения частных производных:
Фа (х, а, Ь, с) = х2\ фДл:, а, Ь, с) = х\ ф'с(а, b, с )= 1.
Подставляя значения частных производных в систему (16.19), получим такую систему уравнений:
' |
п |
|
|
|
2 |
[Ун— ах\— Ьхк— с] 4 = 0, |
|
|
П |
|
|
* |
2 |
[Ук— ах1— Ьхк— с]хк = 0, |
(10.25) |
|
k=I |
|
|
|
П |
|
|
|
j |
[ук~ а х 1 — Ьхк— с]= 0. |
|
После простых преобразований, которые рекомендуется выполнить самостоятельно, система (10.25) запишется следующим образом:
( Мхм -|- МхзЬ-j- М ХХС— М хгу, |
|
|
|
J |
М х,а + МХХЬ-(- Мхс = Мху, |
|
(10.26) |
( |
Mxx(i-{-Mxb -с = М у, |
|
|
где |
|
|
|
п |
п |
|
п |
Mxi = — 21 х%\ Мхз = —- 21 х%\ Mxty = -*■21 |
x\yh. |
||
k—1 |
/г= 1 |
k~\ |
(10.27) |
|
|
|
|
Система (10.26) содержит три линейных уравнения с тремя неизвестными а, Ь, с. Решив систему, найдем значения параметров а, Ь, с. Эмпирическая формула будет иметь вид:
у—ах2 + Ьх + о.
§32. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ
115°. Методами математического анализа выводится формула, дающая оценку погрешности при интерполи ровании с помощью формулы Ньютона. Обозначим Rn (х) погрешность, которую мы допускаем при интерполиро
вании,
M n+l = max | /"+1 (%) |, *0
231
Формула оценки такова:
|Я » ( * Ж 4^ ТА“+». |
(10.28) |
В случае линейного интерполирования надо положить здесь п — 1. Формула оценки будет
\ R 1( x ) \ ^ M 2hK |
(10.29) |
Если h достаточно мало, а вторые разности почти посто янны, то этой формуле можно придать такой вид:
\ R A x ) \ < ^ \ A 2y\. |
( Ю . З О ) |
Из формулы (10.30) можно получить тот признак при менимости линейного интерполирования, о котором гово рилось в главе 3. В случае квадратичного интерполи рования оценка будет:
Если разности третьего порядка почти постоянны, a h достаточно мало, то оценка может быть записана в та ком виде:
| / M x ) | < i | A ^ 0 |. |
( Ю . 3 1 ) |
Отсюда получается условие применимости квадратич |
|
ного интерполирования, о котором сказано |
в п. 74°. |
§ 33. СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНТЕРПОЛИРУЮЩЕГО МНОГОЧЛЕНА
116°. Рассмотрим основную задачу параболического интерполирования: на отрезке [а; Ь] даны значения ар гумента х0, хи ха, и даны числа у„, уг, уа, . . . , уп. Требуется найти многочлен /г-н степени, который при указанных значениях аргумента хп, хх, . . . , хп принимает соответственно значения yQ, уг, . . . . уп. Докажем, что такой многочлен всегда существует, и притом единствен ный. Заметим, что числа х0, хл, . . . , хп предполагаются попарно различными, можно даже всегда считать, что
232
они нумерованы в порядке возрастания: х0< хг < х, <
Напишем многочлен п-й степени:
Рп (х) = апхп-{-а1хп- 1- \ - - ^ - а п_1х + а„. (10.32)
Коэффициенты этого многочлена нам неизвестны. Нужно найти эти коэффициенты так, чтобы многочлен Рп (х) при данных значениях х принимал соответственно данные значения. Для этого требуется выполнение таких равенств:
а0< + ^ х Г 1+ • • • + а„_,х0+ а„ = у0;
а0хп1 + а1х?-1+ . . . + ап_1х1 + ав = у1;
.............................................................. |
|
|
|
|
|
|
(10.33) |
аохп+ fliJCJ- 1+ |
■• • + |
ап- 1хп+ ап= уп. |
|||||
Равенства (10.33) |
составляют |
систему |
« + 1 линейных |
||||
уравнений с я + 1 |
неизвестными а0, а,, |
. . . , ап. Докажем, |
|||||
что эта система имеет решение. |
|
|
|
|
|||
Рассмотрим определитель |
системы |
|
|
||||
|
А |
уП—1 |
|
• |
Jfo |
1 |
|
|
Ло |
|
|
||||
|
А |
х Г 1 |
. |
• |
Х\ |
1 |
(10.34) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
Л п |
« |
.. |
хп 1 |
|
|
|
|
Y r t — 3 |
|
|
|
|
|
Определитель такого вида называется определителем Вандермонда. В теории определителей доказывается, что он равен
А = |
] ] |
(Xi— Xj). |
(10.35) |
|
», 1=0. {>} |
|
|
Из формулы (10.35) ясно, что если числа х.0, хи |
х„ |
||
различны, то А^=0. |
У нас эти числа различны, |
поэтому |
|
А ^ 0 и, стало быть, |
система |
(10.33) имеет решение, и |
|
притом единственное. Значит, интерполирующий много член РА (х) всегда существует, и приГом единственный.
233
Формулы производных
1. (С)' = 0 (С— постоянная).
2. (*«)' = а х а~г. 3. (ах)' = ах In а.
4. (logax )'= - jlo g ee.
5. (sin х)’ —cos х.
6. (cosx)' = |
—-sin*. |
||
7. |
(tgx)' = |
l |
|
COS*5X |
|||
8. (ctg x)' — - |
smax |
||
9. |
(arcsin x )'= |
1 |
|
V T |
|||
3a. (ex) ' — ex .
4a. ( I n * ) '= 7 .
46. (lg * )' = ~
(M — lg e & 0,43429).
13.(mo)' = u 'v - \ - v 'u .
14.(мшу)' = мшу' +
+ uv'w + u 'v w .
, r ( |
и Y |
= |
u’v — uv’ |
|
16. |
\ |
V I |
■a |
|
|
|
V |
||
10. (arccosx)' |
у Т —$ |
|
|
11. ( a r c tg x j^ y q p |
|
12. (arcctg x)’ = — I - - X“ |
|
О Т В Е Т Ы К У П Р А Ж Н Е Н И Я М
Глава 1.
|
1. |
V = |
61,54593536 |
м 2. |
2. |
0,13947264. |
3. |
1,453125. |
4. |
|
3/13. |
||||
5. |
V = |
7,859744 |
м 3. |
7. |
в) |
15 890 700. |
8. |
в) Л? = 8 906 625. |
9. |
371. |
|||||
10. |
19380. |
11. |
0,28. |
12. |
а) |
0,93; б) |
0,42. |
13. |
5 Х = 0 ,6%; |
6y = |
l%; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
10~6; |
|
6г = 0,7%. 14. Истинные погрешности (соответственно): = = ; |
— |
||||||||||||||
|
55 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3000 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительные |
погрешности: |
0,1%; |
||||||
243То"°- ’ |
зоооо' Предельные |
||||||||||||||
0,0001%; 0,006%; 0,0005%. Предельные абсолютные погрешности: 0,0004; 0,0000005; 0,0000003; 0,00004. 17. Две верные значащие цифры.
21.У Т = 1,732; Д ^ - = 0,00006; 6 ^ = 0,003%; истинная погрешность
положительна. 23. 204. 24. |
3,1. 25. 1,65. 26. 50 м 3. |
27. 0,11. |
|||||
28. 0,57. |
32. 636 • 101 |
куб. |
ед. |
36. Абсолютная погрешность не пре |
|||
вышает 2 |
единиц (целых). |
37. |
Предельная |
абсолютная |
погрешность |
||
0,05 см. 38. С двумя |
верными |
значащими |
цифрами. |
39. |
(/= 0,771. |
||
40. г/= 0,435. 42. л10 |
к 0,938.10». |
|
|
|
|||
Глава 2.
1.17,99. 5. 1,25. 6. 8,27. 7. а) 4,8015; б) 4,80.
|
|
|
|
Глава |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
9. |
с= 112 |
см |
(последняя |
цифра |
сомнительна, |
абс. погрешность |
||||||||||||||||
меньше 1). |
|
10. |
Да < 5 ' . |
И. |
А к 93° ( ± 20'). |
12. |
у = 1 ,6 ( ± |
0,1). |
|||||||||||||||
13. |
г=10 (±0,5). |
14. |
16,5(±0,06). |
15. |
125. |
16. 12. |
17. При а=70° |
||||||||||||||||
S = |
0,141. |
|
|
18. |
ф= |
80°; |
V = |
256 |
куб. |
ед. |
20. |
р = 550 |
мм |
при |
|||||||||
/г = 2636 м . |
21. При а = 1 0 |
см , |
6= 6 см |
S |
~ 663,1 |
см 2. 22. Москва — |
|||||||||||||||||
Ташкент — 3268 км . |
23. При Jt= |
50°, ф= 50632'. 24. Линия Москва—• |
|||||||||||||||||||||
Ханой |
пересекает |
параллель |
|
ф= |
36° |
при |
Я = 80°37'. |
25. |
Линия |
||||||||||||||
Москва —Гавана |
пересекает |
Гринвичский |
меридиан |
( \ — 0) |
в точке |
||||||||||||||||||
с |
широтой |
ф= 63°12'. |
26. |
15,8 м . |
28. |
В |
2 ч |
ночи |
А = |
40с38'. |
|||||||||||||
29. |
В 3 ч |
дня А = |
38°42'. |
30. |
В 2 |
ч |
дня |
высота |
Солнца Л = |
62°37'. |
|||||||||||||
|
|
|
|
Глава 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1. |
а) |
0,7; |
б) |
— 1,2; |
в) |
0,85; |
г) |
1,4; |
д) 1,0; е) |
0,8; ж) |
0; |
з) 2,6? |
||||||||||
2. |
а) |
-2 ,0 ; |
0,6; |
б) |
0,2; |
1,2; |
в) - 0 ,6 ; |
1,4; |
г) -0 ,9 5 ; |
0,13; |
0,82. |
||||||||||||
3. |
а) 0,3; |
|
б) |
0,86. |
|
5. |
- 0 ,9 ; |
1,1. |
|
6. |
а) |
0,74; |
б) |
0,427{ |
в) |
0,89; |
|||||||
235
г) |
1,90. |
7. |
а) |
0,919; |
б) 0,984; |
в) |
—0,567; |
г) |
1,114. |
|
8. |
а) |
0,493; |
||||||||
б) |
2,160; |
в) |
8,546; |
г) |
2,035. |
9. |
а = |
121°04'. |
|
10. 4,46. |
|
11. |
т = 5: |
||||||||
= 0,31516/?, |
63 = |
0,458057?; |
/га = |
10: |
= 0,21893/?, |
|
|
= |
0,31516/?, |
||||||||||||
h3 ==0,45805/?, |
/г4= |
0,39160/?. |
12. |
а) |
91°2Г (± |
|
5'); |
б) |
64°14' (± 5'); |
||||||||||||
в) |
78°47'(±5'). |
14. |
2,216; |
2,940. |
15. |
1,1746. |
16. |
1,339. |
17. |
а) 0,3343; |
|||||||||||
б) 2,3175; |
в) 0,3356; г) 1,0411. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Глава 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1. *4 = 0,453, *2 = |
—0,931, Жз = |
0,913. 2. ^ |
= 0,418, |
*2 = — 0,107, |
||||||||||||||||
*з = 0,0967. |
3. *,. = 0,261, *2 = |
— 0,199, |
*3 = |
0,097, |
*4 = |
0,170. |
|
||||||||||||||
|
|
|
Глава 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. а) |
2,280; |
б) |
1,687; |
в) 7,364; |
г) |
0,258; |
д) |
189,6; |
е) —0,398, |
|||||||||||
4. |
2,303. |
5. 0,477. |
6. 67,3. |
7. |
74 500 |
ж2. |
8. |
1829 |
м м 2. |
9. |
120 км- |
||||||||||
10. |
9,49. |
11. |
96,9. 12. |
По эмпирич. формуле V = |
37,0 |
м 3, |
по формуле |
||||||||||||||
трапеций |
К= 33,0 м3, |
Л = |
4,0 |
м 3, 6 = 1 2 %. |
13. |
123 д м 3. |
14. |
2S00 |
|||||||||||||
—g—. |
|||||||||||||||||||||
15. |
3,82. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............................................................. |
|
|
|
|
................................ |
|
3 |
||
Введение...................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
Г л а в а |
1. |
Приближенные числа и действия над ними |
|
||||||
§ 1. |
Точные вычисления................................................................. |
|
|
|
13 |
||||
§ 2. |
Приближенные |
числа. |
Погрешности............................. |
|
22 |
||||
§ 3. |
Десятичная запись приближенных чисел . |
. . . . . . |
26 |
||||||
§ 4. |
Источники погрешностей....................................................... |
|
32 |
||||||
§ 5. |
Действия |
над приближенными числами......................... |
|
34 |
|||||
У праж нения к |
главе |
1 ..................................................................... |
|
|
|
41 |
|||
Г л а в а |
2. |
Основные приемы вычислительной работы |
|
||||||
§ 6. |
Вычисления |
по |
готовой |
формуле..................................... |
|
47 |
|||
§ 7. |
Применение |
Методов |
дифференциального |
исчисления |
|
||||
|
к оценке погреш ности.......................................................... |
|
64 |
||||||
§ 8. |
Приближенные |
формулы...................................................... |
|
58 |
|||||
У праж нения к |
главе |
2 ..................................................................... |
|
|
|
61 |
|||
Г л а в а |
3. |
Устройство |
и употребление математических таблиц |
|
|||||
§ 9. Общие сведения о таблицах................................................ |
|
64 |
|||||||
§ 10. Обзор некоторых таблиц.................................................... |
|
69 |
|||||||
У праж нения к главам 2 и 3 ............................................................ |
Составление таблицы значений |
74 |
|||||||
Л аборат орн ая |
работ а № |
1. |
|
||||||
|
данной |
функции.................................................................. |
|
|
|
82 |
|||
Г л а в а |
4. |
Решение алгебраических и трансцендентных -урав |
|
||||||
|
|
нений |
|
|
|
|
|
|
|
§ 11. Общие понятия...................................................................... |
|
|
|
84 |
|||||
§ 12. Графические методы решения уравнений |
.................... |
88 |
|||||||
§ 13. Численные методы решения уравнений........................ |
|
91 |
|||||||
§ 14. Метод последовательных приближений (метод итера |
|
||||||||
|
ций)...................................................................... |
|
|
|
|
|
. . . . . . |
105 |
|
237
У праж нения |
к |
главе |
4 |
, |
, |
.............................................. . . ; |
115 |
||||||
Л а б о р а т о р н а я р а бот а № 2, Приближенное решение алгебраи |
|
||||||||||||
ческого |
уравнения комбинированным |
методом..................... |
|
117 |
|||||||||
Л абор а т о р н а я раб о т а |
№ |
3 . Приближенное решение транс |
|
||||||||||
цендентного |
уравнения...................................... |
|
|
|
|
|
|
122 |
|||||
Г л а в а |
5. Решение систем линейных уравнений................. |
|
|
||||||||||
§ 15. |
Системы |
линейных |
уравнений . . . . . . . . . . . |
124 |
|||||||||
§ 16. Решение |
систем |
линейных |
уравнений |
методом опре |
|
||||||||
|
делителей |
................................................................................... |
|
|
|
|
Решение |
системы |
линейных |
133 |
|||
Л абор а т о р н а я |
раб о т а |
М 4. |
|
||||||||||
уравнений по методу Гаусса..................................................... |
|
|
|
|
138 |
||||||||
Г л а в а |
6. |
Интерполяция |
|
|
|
|
|
|
|
||||
§ 17. |
Параболическая |
|
интерполяция........................................ |
|
|
140 |
|||||||
§ 18. Табличные разности и их применения |
|
150 |
|||||||||||
У праж нения |
к главе |
6 |
...................................................................... |
|
|
|
|
|
|
156 |
|||
Г л а в а 7. |
Функциональные шкалы и их применения |
|
|
||||||||||
§ 19. |
Функциональные шкалы...................................................... |
|
|
|
160 |
||||||||
§ 20. |
Функциональные сетки......................................................... |
|
|
|
|
162 |
|||||||
§ 21. |
Номограммы .............................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
167 |
|||
У праж нения |
к |
главе |
7 |
................... |
|
|
|
|
|
|
175 |
||
Г л а в а |
8. |
Математическая |
обработка |
результатов |
опыта |
|
|||||||
§ 22. |
Составление эмпирических |
ф орм ул................................. |
|
178 |
|||||||||
§ 23. |
Нахождение параметров формул по опытным данным |
191 |
|||||||||||
§ 24. |
Способ |
наименьших квадратов......................................... |
|
|
195 |
||||||||
У праж нения |
к |
главе |
8 |
...................................................................... |
|
|
|
Составление |
эмпирических |
199 |
|||
Л абор а т о р н а я |
работ а |
№ |
5 . |
|
|
||||||||
формул |
способом наименьших |
квадратов............................. |
. |
202 |
|||||||||
Г л а в а |
9. |
Приближенное вычисление интегралов |
|
|
|||||||||
§ 25. |
Формулы |
приближенного |
вычисления |
интегралов |
203 |
||||||||
§ 26. |
Приближенное |
вычисление геометрических |
величин |
210 |
|||||||||
У праж нения |
к |
главе |
9 |
...................................................................... |
|
|
|
|
|
|
213 |
||
Г л а в а |
10. Доказательства некоторых |
теорем |
выводы |
|
|||||||||
|
|
формул |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 27. |
Оценка |
погрешности |
методами |
дифференциального |
|
||||||||
|
исчисления................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
218 |
|||
238
§ 28. |
О сходимости методов приближенного решения ал |
|
|
гебраических уравнений . . ............................................. |
219 |
§ 29. |
Квадратичное интерполирование по способу Эйткина |
224 |
§ 30. |
Номограммы из выравненных точек . . . . . . . . |
225 |
§ 31. |
Обоснование метода наименьших квадратов................ |
227 |
§ 32. Оценка погрешности при интерполировании................ |
231 |
|
§ 33. |
Существование интерполирующего многочлена . . . |
232 |
Формулы производных..................................................................... |
234 |
|
Ответы к упражнениям ................................................. |
235 |
|