книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

Номограмма с тремя параллельными шкалами может быть также построена для уравнения

где функции fi(x), f2{y), f3(z) принимают положительные значения. Действительно, прологарифмируем уравне­ ние (7.17):

lg /3(2)= lg /iCyH-lg Ш ;

мы получим уравнение вида (7.15), к нему можно применить только что описанный прием.

83°. Номограммы из выравненных точек с одной криво­ линейной шкалой.

Как и в предыдущем пункте, построим оси координат, на прямых х= 0 и х= Н построим функциональные шкалы функций fx(x) и Ш ) (величину Я можно выбрать произ­ вольно). Если эти шкалы построены в одном масштабе т, то ответной шкалой будет линия, определяемая такими уравнениями:

— m f i ( z )

(7.19)

1+ /.<*) ‘

Здесь £ и г| обозначают координаты произвольной точки этой линии, имеющей пометку г. Давая z различные значе­ ния, строим ряд точек (£, ц). Соединяя эти точки плавной кривой, получим ответную шкалу. В главе 10 будет дока­ зано, что линия, определяемая уравнениями (7.19), дейст­ вительно является ответной шкалой.

П р и м е р. Построим номограмму для решения квад­ ратного уравнения:,

xz-\-px+q=0. (7.20)

Это есть уравнение типа (7.18), но вместо х, у и z здесь соответственно р, q и х . Уравнение криволинейной шкалы будет

170

нения. Для отыскания отрицательных корней применяем

Построим на плоскости прямоугольную систему координат. Придадим г определенное значение, тогда получим урав­ нение только с двумя переменными х и у. Такое уравнение определяет линию на плоскости — прямую или кривую. Придадим z другое значение — получим другую линию. Придавая г множество значений, получим множество ли­

172

ний, или, как говорят, семейство линий. Каждая линия характеризуется определенным значением г. Так, уравнение

х2—у + 2=0

представляет на плоскости семейство парабол: при г=О

85°. Сетчатые номограммы. Пусть дано уравнение с тремя неизвестными (7.25). Требуется построить номограмму для отыскания одного неизвестного по значениям двух других, например для отыскания г по данным х и у.

Возьмем опять прямоугольную систему координат, на осях нанесем равномерные шкалы величин х и у. В урав­ нении (7.25) будем давать z ряд значений, для каждого значения г построим соответствующую линию. Около каждой такой линии напишем значение г. Полученный чер­

173

В качестве примера приведем сетчатую номограмму для

Будем рассматривать р и <7как абсциссу и ординату в прямо­ угольной системе координат, построим на осях координат равномерные шкалы р и q. Через намеченные точки этих шкал проведем прямые, параллельные осям координат. Давая х различные значения, для каждого такого значения будем получать уравнения прямой (в координатах р и q). Получим семейство прямых, каждая прямая помечена зна­ чением х. Сетчатая номограмма для решения квадратного уравнения готова (см. рис. 52).

Подобным образом можно построить сетчатую номо­

уравнение х2—3,3х—5,4=0. Находим точку с координатами р = —3,3; q = —5,4 (на чертеже эта точка отмечена). Через нее проходят линии двух семейств. Линия первого семейства помечена числом +4,5. Значит, один из корней равен +4,5. Линия второго семейства не показана на чертеже. Найден-

174

■р

ная точка находится между линиями х = —1,0 и х = —1,5, немного ближе к первой из них. Поэтому второй корень приближенно равен — 1,2 (см. рис. 52). /

Упражнения к главе 7

у = ]/х 2+ 1; у = V Зх2—5; y = = | / ' l — —х2.

3. На полулогарифмической сетке построить графики функций:

175

Q

5. На каждой из сеток: полуквадратичной, квадра­ тичной, полулогарифмической, логарифмической— провес­ ти произвольную прямую линию. Установить, графиком какой функции является эта прямая.

6. Пользуясь логарифмической или полулогарифми­ ческой бумагой, вычислить:

мя параллельными шкалами для вычислений по формуле:

176

Г л а в а МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА 8 РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА

§ 22. СОСТАВЛЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ

86°. Постановка задачи о составлении эмпирических формул. Графическое решение. Пусть мы изучаем некоторое явление или некоторый процесс и при этом нужно устано­ вить зависимость между двумя величинами, например зависимость силы тока / от напряжения U (при заданном сопротивлении), зависимость скорости звука в дистилли­ рованной воде от температуры, зависимость скорости ко­ рабля от мощности и т. д. Может случиться, что зависимость между величинами выражается формулой, которая выведена теоретически, например: длина пути, пройденного свободно

падающим телом в пустоте ( s—-у- ] , период колебания ма­

нет, зависимость между двумя величинами устанавливается только путем измерений. В результате измерений получаем таблицу. Например, изучается растворимость 5 азотно­ натриевой соли в зависимости от температуры t. Производя измерения, получаем таблицу:.

Чтобы получить более ясное представление о законе зависимости, на основании результатов измерений будем стремиться получить формулу, приближенно выражающую эту зависимость. Полученная таким образом формула называется эмпирической формулой.

Идея построения эмпирической формулы (по опытным данным) состоит в следующем: подобрать такую функцию, выраженную формулой достаточно простого вида, чтобы

178

значения этой функции были близки к значениям, получен­ ным из опыта.

Для получения эмпирической формулы следует начать с построения точечного графика. Из двух измеряемых ве­ личин одну будем считать аргументом, другую — функцией. При проведении общих рассуждений будем обозначать их х и у. По результатам измерений на плоскости координат строим точки, абсциссы которых — значения аргумента х,

179