книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

При п — 4 (m = 2) будем иметь:

/4= 0,04 (1,00000+ 1,61607)+ 2 (1,27125 + + 4(1,12750 + 1,43333) - 0,6160756.

По формуле (9.7) находим, что погрешность не превы­ шает 0,000002.

§ 26. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

102°. Вычисление площади плоской фигуры. Пусть требуется вычислить площадь плоской фигуры (рис. 67). Примем некоторую прямую за ось абсцисс. Обозначим а наименьшую из абсцисс точек этой фигуры, b— наиболь­ шую. Возьмем произвольную прямую, перпендикулярную оси Ох, пересекающую фигуру по отрезку M N. Длину этого отрезка обозначим d. Величина d есть функция

210

точки деления проводим прямые, перпендикулярные оси Ох, и измеряем длины сечений d0, du d2, . . . , dn (рис. 68). Расстояние между двумя соседними прямыми обозначим h. По сути дела мы получаем таблицу функции D(x).

Применяя теперь для приближенного вычисления ин­ теграла (9.10), например, формулу трапеций, получим:

(9.11)

П р и м е р . Для вычисления площади земельного уча­ стка, форма которого близка к фигуре, изображенной на рисунке 68, произведены измерения. Результаты из­ мерений даются таблицей (значения даны в метрах):

При этом h —50 м. Площадь фигуры вычисляем по формуле (9.11), получаем: S = 56 450 мг.

103°. Вычисление объемов тел. Пусть требуется найти объем тела. Примем некоторую прямую за ось Ох. На­ именьшую и наибольшую абсциссы точек тела обозна­ чим а и Ь. Проведем произвольную плоскость, перпен­ дикулярную оси Ох, пересекающую тело по плоской фигуре, площадь которой 5 (рис. 69). Величина S есть функция абсциссы х. Обозначим эту функцию: S = P(x).

Из математического анализа известно, что объем тела выражается формулой

Если у нас нет удобного аналитического выражения функции Р(х), то интеграл (9.12) вычисляем прибли­ женно. В частности, если Р (х) вообще не выражена формулой, то производим измерения и находим прибли­

212

осевое сечение которого изображено на рисунке 70. Производим измерения диаметров dk круговых сечений плоскостями, перпендикулярными оси. Расстояние между двумя соседними плоскостями — 10 см, диаметры сечений даны в таблице (в дм). По этим значениям диаметров вычислены площади сечений.

Применяя формулу (9.13), получим;

V — 105 дм3.

Упражнения к главе 9

1. Вычислить приведенные ниже интегралы двумя способами: а) по одной из формул приближенного вычис­ ления интегралов; б) по формуле Ньютона—Лейбница. Сравнить результаты.2

2. Вычислить приведенные ниже интегралы но фор­ муле Симпсона, оценить погрешность результата. Число 2п частичных отрезков указано в скобках.

213

7 л

д ) | ^ ( 2« = 6); е) | ^ Л с ( 2я = 12).

1

2

3. Вычислить приближенное значение числа л, при­

(2rt= 16)-

У к а з а н и е , lg N = М - In N, где М = lge = 0,43429...

6. Вычислить по формуле Симпсона интеграл

ь

\j f{x)dx, пользуясь следующей таблицей значений функ-

а

ций f(x).

Оценить погрешность по правилу удвоения.

214

Вычислить с помощью формулы Симпсона площадь диа­ граммы, если лг0= 0, х10—90 мм.

215

V

21G

результат достаточно точным, найти абсолютную и отно­ сительную погрешности первого измерения.

13. Объем тела, вырезанного из цилиндра радиуса R цилиндром радиуса г (г < R), если оси цилиндров пере­ секаются под прямым углом, выражается интегралом

Т

V — 8 ^ У (R2— х%) (г2—х2) dx.

о

Вычислить объем такого тела, пользуясь формулой тра­

пользуясь малой формулой Симпсона. (Заметим, что результат будет точным.)

15. Длина s полуволны синусоиды выражается интег­

ралом

31

s = J Y 1 + cos2х dx.

о

Вычислить s, пользуясь формулой Симпсона (2п = 32).

217

Г л а в а ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕКОТОРЫХ ТЕОРЕМ

10И ВЫВОДЫ ФОРМУЛ

Внастоящей главе доказывается ряд теорем и вы­ водятся формулы из числа тех, которые при изложении предыдущих глав приводились без доказательства.

§ 27. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

104°. Погрешности значений функции. В главе 2 было показано, что истинную погрешность значения функции при малой погрешности аргумента можно принять рав­ ной дифференциалу функции, т. е. если y = f(x), то Ау « dy, или Ау ж /' (х) dx, или Ау « f (х) Ах (Ах и Ау соответственно погрешности аргумента и функции). На основании этого можно доказать справедливость формул таблицы VI, пользуясь формулами производных, извест­ ными из математического анализа (см. приложение).

Погрешность произведения. Пусть и и v —данные функции аргумента х и пусть у — uv. Зная формулу про­ изводной произведения двух функций, можем написать:

Ay « (uv)' dx ж (u’v + uv') dx = vur dx + uv' dx.

Ho u 'd x =^du, v’ dx = dv. Итак, Au m vdu-}-и dv. Ho du, dv

можно заменить через Aи, Av. Поэтому

| Amj < j v j • j Am| + 1и j • | Ay |.

Отсюда следует, что можно принять:

А« = М-А«-Н“|-А*-

Это и есть формула 10 таблицы VI.

Подобным образом в случае произведения трех фуню ций получаем формулу 11 таблицы VI.

218

Погрешность частного. Пусть у — ^ .

Отсюда

[ A# | < -l£jl !..4“. I.+ li± L M ..

Стало быть, можно принять

(формула 12 таблицы VII).

Погрешность показательной и логарифмической функ­

§ 28. О СХОДИМОСТИ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

105°. Постановка задачи. В главе 4 были рассмот­ рены методы приближенного решения (уточнения кор­ ней) уравнений с одним неизвестным. Были рассмотрены, в частности, метод хорд, метод касательных и метод

Будем предполагать, что уравнение имеет корень 1, ко­ торый отделен на отрезке [а; £>]. В результате примене-

219