книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

ным неограниченно. В результате получим ломаную с бес­ конечным множеством звеньев M oN xM ^^M ^... и беско­ нечным множеством вершин. Вершины М 0, М и М 2, ...

лежат на кривой, вершины N u N 2, Na, ...— на биссектрисе. Эту ломаную будем называть ломаной итерации. Абсциссы вершин этой ломаной х0, хг, х2, ... суть не что иное, как члены итерационной последовательности.

На рисунке 34 в окрестности корня \ кривая такова, что |/'(х )|< 1, причем f'{x) > 0 (функция возрастающая). Из рассмотрения чертежа ясно, что итерационная последо­ вательность возрастающая (если хй< \) или убывающая (если x0>-s). Ломаная итерации имеет вид лестницы с бес­ конечным множеством ступенек. В любом случае последо­ вательность сходится к корню | (одностороннее прибли­ жение) .

На рисунке 35 в окрестности корня 1 кривая такова, что |/(*)|<1, но f'{x)< 0 (функция убывающая). Из чертежа видно, что ломаная итерации имеет вид бесконечной спи­ рали, сжимающейся при приближении к точке пересечения кривой и биссектрисы. Итерационная последовательность

НО

немонотонна: чередуются члены последовательности, боль­ шие ^ и меньшие Е- Последовательность сходится к корню Е (двустороннее прибли­ жение).

раций. Решим задачу: найти методом итераций корень уравнения

2х3+ 4х— 1=0

ill

Решая уравнение графически, находим грубо прибли­ женное значение корня х0=0,25.

Представляем уравнение в виде

1

Н2

выполняем до пятого десятичного знака. Вычисления здесь надо делать по строкам, а не по столбцам, так как исходные

ложительное число. Эта задача равносильна отысканию

шем уравнение так: тхт —a ф- {т — 1)хт. Теперь разделим обе части на тхт~1, получим:

Вблизи искомого корня производная правой части этого уравнения близка к нулю, поэтому выгодно применить метод итераций. Пусть х0—некоторое грубое приближен­ ное значение искомого корня. Будем вычислять последо­ вательные приближения xit хг, . . . , xk, . . . по формуле:

+( * - = 0 ,1 ,2 ,...) . (4.23)

При достаточно большом k получим приближенное зна­ чение искомого корня с любой заданной точностью.

П р и м е р 1. Вычислить методом итераций |/ 2 с точ­ ностью до пятого десятичного знака.

Полагая х„— 1, вычисляем по формуле (4.23) (промежу­ точные значения находим с шестью десятичными знаками):

х±= 1,500000;

х%— 1,416666; ж,= 1,414215; * .= 1,414214.

Как видим, xs и л:4 совпадают до пятого десятичного знака. Значит, можно принять

К2»1,41421.

113

меняя формулу (4.23), получим последовательность:

X!— 1,595062;

х2= 1,585022;

х3= 1,584893; х4=1,584893.

Как видим,искомый корень будет у / 10» 1,58489 (все цифры верные).

Заметим, что изложенный метод извлечения корня удобен для вычисления на ЭВМ.

51°. Оценка погрешности метода итераций. Преиму­ щества метода итераций перед другими методами. Пусть искомый корень £ содержится в отрезке [а; Ы и для всех значений аргумента х этого отрезка абсолютная величина производной не превышает некоторого положительного числа <7, меньшего единицы, т. е.

Этой формулой целесообразно пользоваться, если последо­ вательность приближений монотонна. Если последователь­ ность немонотонна, то для оценки погрешности лучше поль­ зоваться тем свойством, что истинное значение корня содержится между любыми двумя соседними приближе­ ниями.

Метод итераций в ряде случаев имеет существенные преимущества перед другими методами.

Во-первых, вычисление по методу итераций представ­ ляет собой последовательность повторяющихся однотипных процессов. В силу этого вычислительная схема сравнительно проста. Описанное свойство метода итераций делает его очень удобным для программирования на ЭВМ.

Во-вторых, метод итераций обладает замечательным свойством с а м о и с п р а в л я е м о с т и . При приме­ нении любого иного метода ошибка в вычислениях оказы­ вает влияние на весь дальнейший вычислительный процесс

114

и приводит к ошибочному результату. Если же допущена ошибка в вычислениях при применении метода итераций, то эта ошибка не окажет влияния на окончательный ре­ зультат: ошибочное значение аргумента х окажется просто начальным приближением в новом итерационном процессе, осуществляемом с помощью той же формулы. В худшем случае ошибка приведет лишь к тому, что замедлит сходи­ мость итерационного процесса.

Упражнения к главе 4

1. Найти графически корень уравнения. Убедиться

в том , что данное уравнение имеет единственный действи­ тельны й корень:

г) 2 1 п х — - = 0; з) ха— 2 = 3 |/х " .

х’

2.Найти графически все корни данного уравнения:

х4—0,5х— 1 = 0.

6. Применяя метод проб, найти корень трансцендент­ ного уравнения с двумя верными десятичными знаками

115

(пользоваться таблицами соответствующих функций):

а) x = cosx; в) 2х = 1 -f-sinx;

б) е~х = Ух; г) ~ — ]gx.

7. Найти корень уравнения комбинированным методом проб и хорд с точностью до трех десятичных знаков:

8. Найти корень уравнения комбинированным мето­ дом хорд и касательных с точностью до трех десятичных знаков:

действию равномерно распределенной нагрузки, равной 0,25 кг/см2. Стрела прогиба г определяется из уравнения

1,05г3 + 0,702 = 96,4.

Найти г, решив данное уравнение. (Найти корень с тремя верными значащими цифрами.)

11. Шар радиуса R разделить на т частей, равных по объему, путем проведения плоскостей, параллельных между собой (m = 5; т = 1 0 ) . Отношение h:R найти с пятью верными десятичными знаками (ft— высота шаро­ вого слоя).

116

имеет бесконечное множество корней. Положив k ——0,6, найти наименьший положительный корень каждого из этих уравнений с тремя верными десятичными знаками. (Эти уравнения встречаются при изучении теплового режима

встенке.)

15.Найти методом итераций у^5 с точностью до чет­ вертого десятичного знака.

16.Найти методом итераций корень уравнения

ЗУ—0,9л:— 6 = 0

сточностью до третьего десятичного знака,

17.Найти методом итераций корень уравнения с точ­ ностью до четвертого десятичного знака:

а) Зх-{-ех = 2,4;

б) l g . v = 5 — 2л:;

в) tg л:—-7л:- f 2 = 0;

г) х — 1,2 cos у = 0.

Л А Б О Р А Т О Р Н А Я Р А Б О Т А № 2

Приближенное решение алгебраического уравнения комби» нированным методом

С о д е р ж а н и е р а б о т ы . Отыскание корня ал­ гебраического уравнения комбинированным методом (ме­ тодом проб и хорд или методом хорд и касательных).

117

Т и п з а д а н и я . Дано алгебраическое уравнение степени выше второй /(%)—0. Даются указания, какой именно корень требуется найти. Ставится задача отыскания при­ ближенного значения корня с заданной точностью.

П о р я д о к п р о в е д е н и я р а б о т ы . 1. Гра­ фически отделить корень данного уравнения: найти отре­ зок [а; Ь] достаточно малой длины, внутри которого содер­ жится искомый корень, и этот корень единственный.

2.Проверить аналитически, что: 1) /(а) и f(b) имеют разные знаки; 2) f'(x) сохраняет постоянный знак на [я; Ы.

3.Методом проб уточнить корень, добившись того, что

методов, составить расчетный бланк для записи вычислений. 5. Провести вычисления в соответствии с разработан­

ной схемой.

6. Проверить полученный результат путем подстановки

комбинированным методом проб и хорд с точностью до четвертого десятичного знака. (Расчетная таблица — табл. XIV.)

Р е ш е н и е 1. Запишем уравнение в виде 2х*=2—х, построим графики функций у=2х* и у = 2—х. Из чертежа заключаем, что искомый корень содержится внутри от­ резка [0; 1].

доказано, что уравнение имеет внутри отрезка [0; 1] корень, и притом единственный. Ясно, что это есть наименьший положительный корень, который требуется найти.

3. Составляем расчетную таблицу для применения ком­ бинированного метода проб и хорд (табл. XIV).

Проводим вычисления в следующем порядке (все проме­ жуточные результаты находим с одним запасным знаком).

П е р в ы й ш а г . Методом проб находим корень с точ­ ностью до 0,1. Для этого делим отрезок [0; 1] на 10 равных частей, испытываем точки деления 0,0; 0,1; 0,2; ... . Чтобы

118

не испытывать много точек, найдем грубое приближение методом хорд:

с‘ = а ~ т = т ’ f {а}= 0~ т = р = 2) ' (~ 2) “ т •

Итак, корень близок к числу 0,7. Испытываем точки деле­

с точностью до 0,01. Отрезок [0,8; 0,9], в котором заключен корень, делим на 10 частей, точки деления: 0,81; 0,82;

..., 0,89. Методом хорд находим, что корень близок к 0,86 (можно применять формулу метода хорд, а можно поступить проще, сделать прикидку в уме по правилу линейной интер­ поляции, см. п. 30°). Поэтому испытываем только точки деления [0,86; 0,87]. В этих точках f(x) имеет разные знаки (см. таблицу), поэтому заключаем, что корень содержится между 0,86 и 0,87.

Т р е т и й ш а г . Вычисляем корень с точностью до 0,001. Отрезок [0,86; 0,87] делим на 10 частей. Пользуясь грубой прикидкой по методу хорд (лучше опять проделать это в уме), находим, что нужно испытать точки деления, близкие к 0,867. Испытывая числа 0,867 и 0,868, приходим к выводу, что между ними содержится корень.

Ч е т в е р т ы й ш а г . Вычисляем корень с точностью до 0,001. Делим отрезок [0,867; 0,868] на 10 частей, испыты­ ваем точки 0,8674 и 0,8675. Искомый корень заключен между ними. Значит, каждое из этих чисел есть прибли­ женное значение корня с погрешностью, не превышаю­ щей 0,001. Следовательно, корень найден с требуемой точностью:

корень ближе к числу 0,8675, чем к 0,8674. Поэтому за приближенное значение корня лучше принять число 0,8675, погрешность будет меньше половины единицы низшего разряда, т. е. меньше 0,0005. Таким образом, в записи корня 0,8675 все цифры верны.

З а д а н и е 2. Вычислить наименьший положитель­ ный корень уравнения (4.26) комбинированным методом хорд и касательных. (Расчетная таблица — табл. XV.)

i 19