книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

точные действия (с каким числом десятичных знаков после запятой или значащих цифр). Определить точность проме­ жуточных вычислений необходимо на основании правил действия над приближенными числами.

В ходе вычислений следует осуществлять контроль вычислений. После выполнения всех вычислений следует провести заключительный контроль.

Итак, основные этапы вычислительной работы таковы. П е р в ы й э т а п : расписать формулу; произведя расписку формулы, заготовить расчетный бланк, на кото­ ром будут записываться результаты всех промежуточных

вычислений.

роль вычислений.

23°. Контроль вычислений. Разъясним здесь содержание четвертого и шестого этапов. Все результаты вычислений должны контролироваться. Различают контроль текущий и контроль заключительный.

Хорошим средством текущего контроля является вы­ числение «в две руки». Это значит, что все вычисления должны вестись параллельно и независимо друг от друга двумя вычислителями. Результаты вычислений время от времени должны сверяться, и нужно, чтобы они совпадали.

Весьма эффективной формой текущего контроля яв­ ляется использование контрольных соотношений. Напри­ мер, пусть в некоторой вычислительной задаче участвуют углы треугольника А , В, С. Контрольным соотношением

50

личными. Например, если требовалось найти корень урав­ нения, то для контроля следует подставить найденный корень в уравнение. Если производилось вычисление зна­ чений функции для нескольких значений аргумента, то формой контроля является построение графика функции по вычисленным значениям. При отсутствии аналити­ ческих особенностей построенные по результатам вычисле­ ний точки должны ложиться на плавную гладкую кривую.

24°. Определение точности вычислений. Произведя рас­ писку формулы, мы должны определить, с какой точностью следует выполнять все вычисления, и оценить погрешность полученных результатов. Рассмотрим это на примере вы­ числения по формуле:

т. е. совокупность всех действительных чисел, содержа­ щихся между числами а и Ь, включая сами эти числа. Под­ робное описание разных типов числовых промежутков дано ниже (см. гл. 4, п. 38°).

П е р в ы й с л у ч а й . Все числа, входящие в формулу, или некоторые из них — приближенные. В этом случае мы не можем вычислить и с любой степенью точности. Необ­ ходимо прежде всего выяснить, какой максимальной степени точности мы можем добиться при вычислении по данной формуле.

Пусть а = 3,72; 6=9,482; с=1,33 (приближенные числа), значения х будем считать точными.

Прежде всего, найдем грубую оценку значений функции. Из (2.3) видно, что наименьшее значение функция прини­ мает при х —1, наибольшее при х=2. Отсюда находим, что

1,8<ш<9,5.

Применяя правила оценки .погрешностей, получим:

51

ными значащими цифрами (с одним верным десятичным знаком после запятой). Если же следовать правилу академика А. И. Крылова, то можно в ответе записать три значащие цифры (последняя сомнительна с погреш­ ностью 1— 2 единицы).

Это тем более допустимо, что полученная оценка яв­ ляется максимальной , для различных х, для ряда значе­

Составив расчетную таблицу (см. таблицу IV), будем выполнять вычисления. Так как окончательный результат ожидается с -тремя значащими цифрами, то для промежу­ точных вычислений числителя и знаменателя будем брать по четыре значащие цифры, т. е. на одну цифру больше, чем требуется в окончательном ответе (будем оставлять «запасную цифру»). Эта лишняя цифра нужна потому, что в ходе вычислений производятся округления, которые дают дополнительную погрешность. Запасная цифра умень­ шает влияние этой погрешности. Чтобы знаменатель вы­ числить с четырьмя значащими цифрами, вычисляем под­ коренное выражение Ь—сх% с четырьмя значащими циф­ рами. Для этого достаточно вычислить сх2 с четырьмя значащими цифрами.

Итак, мы установили, что во всех столбцах таблицы, кроме последнего, будем вписывать результаты промежу­ точных вычислений с четырьмя значащими цифрами. В по­ следнем столбце, где записывается окончательный резуль­ тат, будем сохранять три значащие цифры.

Производя вычисления, получаем таблицу IV со всеми

52

только приближенным (так как в формулу входит извлечение корня), но этот результат можно получить с любой степенью точности. Чтобы получить результат с заранее заданной точностью, надо установить, с какой точностью следует выполнять промежуточные действия. В фор­

округления, будем находить значение корня с четырьмя верными значащими цифрами, (с одной лишней, запас­ ной цифрой). Итак, если ах2 и b—сх2 вычислить точно, значение корня найтц с четырьмя значащими цифрами, окончательный результат округлить до трех значащих цифр, то все цифры в этом окончательном результате будут верны.

Однако необязательно вычислять ах2 и Ь—сх2 точно. Если при точном вычислении промежуточные результаты получаются со слишком большим числом десятичных зна­ ков, то их можно округлить до четырех значащих цифр, что не окажет влияния на окончательный результат. Итак, если мы хотим получить результат с тремя значащими циф­ рами, то все промежуточные вычисления следует произво­ дить с четырьмя цифрами. Расчетный бланк и записи в нем такие же, как в таблице IV.

S3

Пусть теперь требуется вычислить и с пятью значащими цифрами. В этом случае, очевидно, промежуточные вычис­ ления следует выполнять с шестью значащими цифрами.

Рассмотрим еще пример. Пусть требуется вычислить

лений мы можем пользоваться только их приближен­ ными значениями, и эти приближенные значения можем найти с любой точностью. Значение у также можно получить с любой точностью. Грубое приближенное зна­

§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ОЦЕНКЕ ПОГРЕШНОСТИ

25°. Оценка погрешности с помощью производной. Математический анализ, именно его раздел «Дифферен­ циальное исчисление», дает возможность получить более

Пусть величина у есть функция величины х, y = f(x) и эта функция имеет производную на данном интервале. Требуется вычислить f{x), т. е. значение функции при некотором значении аргумента х. Пусть мы не знаем истинное значение х, берем его приближенное значение а и вычисляем f(a). Разность Ay = f(x) — /(а) есть погреш­

54

ность, допускаемая при вычислении значения функции. Оценим эту погрешность. На языке дифференциального исчисления / ( х) — f (а) есть приращение функции. Обозна­ чим х —а —Да, это есть погрешность аргумента, а на языке дифференциального исчисления это есть прираще­ ние аргумента. Если приращение аргумента мало, то приращение функции можно приближенно заменить дифференциалом функции dy, который равен /' (а) Да (произведение производной на приращение аргумента). Итак,

(равенство приближенное, оно тем точнее, чем меньше Да). Из равенства (2.6) получаем:

| Ау\ « |/ ' (а) | -1Да|.

Так как |Д а |< Д а, то

|Д у |< |Г ( а ) |. |Д а |.

Можно принять поэтому, что

Зная формулы производных различных функций, мы можем легко оценивать погрешность вычисления значений функций при приближенном значении аргумента.

сказали, что абсолютная погрешность не превышает 0,00005. Это «табличная погрешность», обозначим ее Ау. Но так как значение аргумента приближенное, Да = 0,05,

65

то надо принять во внимание погрешность, вызванную этим обстоятельством. Воспользуемся формулой произ­

Таким образом, в найденном значении логарифма лишь две цифры после запятой верны. Мы должны при­ нять ути 1,15.

П р и м е р 2. Вычислить ?/ = sin26°40', считая 26°40' приближенным числом с абсолютной погрешностью 6'.

Из таблицы синуса находим sin 26°40'= 0,4488. Абсо­ лютная погрешность А'у = 0,00005. Погрешность А"у най­ дем, воспользовавшись формулой производной синуса:

Переводя 6' в радианы, получим: Аа— 0,0018. Можно

иотносительной погрешностей мы имеем формулы (2.7)

и(2.8). Зная формулы производных основных функций, получаем формулы погрешностей для этих функций. Эти формулы представлены в таблице VI (см. стр. 62). Вы­ воды этих формул приведены в главе 10.

27°. Оценка погрешности формул, содержащих транс­ цендентные функции. Если дана формула, содержащая несколько алгебраических и трансцендентных операций, то для оценки погрешности такой формулы надо учесть все

имеющиеся правила действий над приближенными числа­ ми и формулы оценки погрешности основных функций, в том числе и трансцендентных. Рассмотрим примеры.

56

5 як 300 см2. Учитывая погрешность и это грубое прибли­ жение, видим, что значение 5 выражается целым трех­ значным числом, у которого две цифры верные, а одна сомнительная. Поэтому все числовые данные возьмем с тремя-четырьмя верными значащими цифрами, резуль­

67

ний мы получили двузначное целое число у = 12 (±0,6). Из этого следует, что табличные значения хг и lg at нет смысла брать с большим числом знаков. Достаточно эти значения взять с тремя верными значащими циф­ рами и промежуточные результаты округлять также до

трех значащих цифр.

§ 8. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ

28°. Приближенные формулы. Приближенная фор­ мула— это формула, которая дает лишь приближенное значение величины (даже если исходные данные точные и все вычисления производить точно). Приведем некото­ рые примеры.

ках таблиц БТ, XT и др.

Разность между истинным значением функции и тем значением, которое определяется по формуле, есть по­ грешность формулы. Для каждой приближенной формулы нужно знать оценку погрешности. Так, указанные фор­ мулы дают достаточно точное значение функции лишь при достаточно малых х.

В приведенной ниже таблице указано, при каких значениях х формула дает значение с двумя, тремя, четырьмя верными десятичными знаками.

Приведем еще несколько примеров приближенных формул.

1) Длина эллипса

где а и b— полуоси эллипса. При -^-> 0,6 погрешность

не превышает 0,5%.

58

ном эксперименте и в других прикладных областях, являются приближенными. Например:

69