книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

Глава Функциональные шкалы и их 7 применения

§ 19. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ШКАЛЫ

75°. Понятие о функциональной шкале. Рассмотрим функцию y = f (х), непрерывную и монотонную на отрезке [а; Ь]. На данной прямой (называемой носителем шкалы) выберем начальную точку О и положительное направление. Выберем единицу масштаба т, выразив ее в единицах длины (мм, см).

Разобьем отрезок [а; Ь] на части, точки деления обо­ значим х0, xlt х2, х3, . . ., х„_1, хп (х0=а, хп=Ь). Вычислим значение функции в точках деления и отложим на оси отрезки mf (xk). Получающаяся при этом точка (конец отложенного отрезка) снабжается отметкой x tl, т. е. откла­ дывается в выбранном масштабе значение функции, а над­ писывается значение аргумента (рис. 41). Такая прямая с нанесенными на ней пометками называется функциональ­ ной шкалой функции f (х) с масштабом т. Соотношение s~ m f (х) называется уравнением шкалы (через s мы обо­ значили длину отрезка в соответствующих единицах).

Иногда точку с пометкой а совмещают с точкой О. То­ гда .уравнение шкалы будет s—m [/ (х) — / (а)].

Заметим, что шкала линейной функции у —kx является равномерной, т. е. пометки этой шкалы пропорциональны длинам соответствующих отрезков. Шкалы всех остальных функций неравномерные.

mfixj

Г

160

опять же суть значения аргумента, а значение функции может определяться и длиной дуги кривой в избранном

m=150riM

Рис. 43

Хорошо известна основная шкала логарифмической линейки. Это есть функциональная шкала функции у ~ = lg х на отрезке 1< jc< 40. Масштаб т совпадает с длиной

установим прямоугольную систему координат (рис. 44). Положение каждой точки М на плоскости определяется двумя координатами: абсциссой х и ординатой у. Коорди­ наты х и у можно определить так. Найдем проекции М х и М 2 точки М соответственно на оси абсцисс и ординат. Величина отрезка OML (с учетом знака) есть абсцисса х точки М , величина отрезка 0М 2— ордината у.

Можно было бы это определение высказать иначе. Пусть даны оси координат. На каждой оси построим равномер­ ную шкалу в одном и том же масштабе. Найдем проекции М и М 2 точки М . Пометка, соответствующая точке М г, есть абсцисса точки М , пометка, соответствующая /VI2,— ордината у.

Координаты х, у точки М , определенные описанным способом, называются декартовыми координатами.

Напомним, что при определении положения точки с по­ мощью декартовых координат уравнение прямой линии есть уравнение первой

степени:

Ах By -(- С — 0. (7.1)

Если прямая не па­ раллельна оси ординат,

Здесь k — угловой коэф­

рис. 44), b — начальная

162

ордината, т. е. величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат.

Иногда удобно строить функциональные шкалы на осях координат в разных масштабах. Тогда уравнение прямой тоже будет первой степени. В записи (7.2) свободный член b также будет начальной ординатой, но коэффициент к не будет равен тангенсу угла между прямой и осью абсцисс.

Вообразим на плоскости линии, на каждой из которых абсцисса постоянна, равна данному числу. Это будут пря­ мые, параллельные оси ординат. Линии с постоянной ор­ динатой — прямые, параллельные оси абсцисс. Совокуп­ ность всех таких линий образует координатную сетку. Эти линии бывает полезно не только воображать, но и на­ чертить на бумаге. На известной миллиметровой бумаге вычерчена именно такая координатная сетка.

Декартова координатная сетка является равномерной. 77°. Квадратичная и полуквадратичная функциональ­ ные сетки. Пусть установлены взаимно перпендикулярные оси. На первой оси нанесем функциональную шкалу квад­ ратов (шкалу функции у = х 2), а на второй оси — равномер­ ную шкалу. Проекции точки М на первую и на вторую оси опять обозначим М х, М 2. Пометку точки М х обозначим х, пометку точки М 2 обозначим у. Числа х и у определяют положение точки на плоскости и поэтому также называют­ ся координатами. В отличие от декартовых они называются полуквадратичными координатами. Соответствующая коор­

График той же функции в полуквадратичной сетке есть прямая линия. В самом деле, напишем уравнения шкал на обеих осях.

Здесь т — масштабв каких-нибудь единицах длины, на­ пример в сантиметрах; £ — величина отрезка ОМх на пер­ вой оси, также в сантиметрах.

На второй оси уравнение шкалы таково:

Р и с . 45

где 1-) — длина отрезка 0М 2 в сантиметрах; \ и г] — декар­ товы координаты точки М . Найдем х2 из (7.4) и у из (7.5) и подставим в (7.3), получим:

квадратичных координатах график функции (7.3) есть прямая (рис. 45, б) ..

Если на каждую из осей нанести квадратичную шкалу, то получим квадратичную координатную сетку (рис. 46).

Вообще, если на оси координат наносить ту или иную функциональную шкалу, то получим координатную сетку,

которую будем называть функциональной координатной сеткой.

78°. Логарифмическая сетка. Особенно широкое приме­ нение имеют логарифмическая и полулогарифмическая сетки.

Координатная сетка называется логарифмической, если

164

ская сетка, за единицу масштаба принят 1 дм. На такой бума­ ге можно решать графически многие вычислительные задачи.

имеют пометки х и у. Это логарифмические координаты

точки М . Числа ^ и г] — декартовы координаты точки М . Рассмотрим функцию:

г/=Сх* (С>0). (7.9)

Логарифмируя, получим: lgj/=algAH-lgC.

Значит,

T]=aM-lgC. (7.10)

Уравнение (7.10) есть уравнение графика функции в де­ картовых координатах. Это есть уравнение прямой.

165

Итак, график степенной функции на логарифмической сетке есть прямая линия.

Заме ча ние . Из уравнения (7.10) видно, что у гра­ фика степенной функции на логарифмической сетке угловой коэффициент равен показателю степени в записи функции,

Каждая точка плоскости характеризуется числами х, у> которые называются полулогарифмическими координатами (это пометки на шкалах).

Рассмотрим функцию

(показательная функция). Пусть С > 0. Логарифмируя, получим:

\gy = kx\g a + \gC.

Обозначая k \g a — kx, lgC = b1( учитывая (7.11) и (7.12),

приходим к уравнению:

Это есть уравнение прямой. Итак, график показательной функции на полулогарифмической сетке есть прямая линия.

З а м е ч а н и е 1. Если а = 1 0 , то k1 = k.

Часто приходится рассматривать натуральную показа­ тельную функцию, т. е. y = Cekx (е— неперово число). Тогда

kx— k\g e = 0,43436.

З а м е ч а н и е 2. При построении графика показа­ тельной функции на полулогарифмической бумаге не

1G6

под углом к оси абсцисс, тангенс которого равен —0,79. Это и есть искомый график (см. рис. 61,1).

На полулогарифмической бумаге строим прямолиней­ ный график функции у = 2 х. Так к ак С = 1,то на оси ординат находим точку с пометкой 1. Через эту точку проводим прямую, угловой коэффициент которой &! = lg 2 = 0,30. Это и будет графиком функции (см. рис. 61,11). Пользуясь

ке не совпадают с вычисленными.

§ 21. НОМОГРАММЫ

80°. Общие Понятия. Номограмма — это чертеж, состав­ ленный из функциональных шкал и, возможно, из других, вспомогательных линий, позволяющий при помощи простой схемы найти ту или другую величину, определяемую форму­ лой или иным математическим законом. Каждая номограмма составляется для определенной формулы или для опреде­ ленного уравнения. Номограммы применяются для бы­ строго выполнения расчетов, не требующих большой точ­ ности (2—3 значащих цифры). Часто номограммы приме­ няются для контроля при точных вычислениях.

Существует много различных типов номограмм: номо­ граммы из выравненных точек, сетчатые, трансйарантные и ряд других.

81°. Номограммы из выравненных точек. Номограмма из выравненных точек — это номограмма, устроенная по следующему принципу. Пусть дано уравнение, связываю­

значения х, у, г. Найдем на шкале Si пометку х0, на шкале S2— пометку у 0, на S3 — пометку 20. Номограмма назы­

167

номограммой следующим образом. Пусть по дан­ ным х и у нужно найти 2. Находят на соответст­ вующих шкалах пометки х н у . Через точки с этими пометками про­ водят прямую. В точке пересечения с третьей шкалой читаем пометку,

это и будет соответствующее значение г.

Эта третья шкала называется ответной шкалой.

На рисунке 48 изображена номограмма для решения квадратного уравнения z2+pz-j-q= 0. Здесь р играет роль х, q — роль у. По данным значениям коэффициентов быстро находим корень уравнения.

Рассмотрим два типа номограмм из выравненных точек: 1) номограммы с параллельными шкалами, 2) номограммы с двумя прямолинейными и одной криволинейной шка­ лой.

82°. Номограммы с параллельными шкалами. Номо­ граммы этого типа служат для выражения зависимости, определяемой уравнением вида

Номограмма строится так. Строим две параллельные пря­ мые /х и h (рис. 47), расстояние Я между ними можно взять произвольно. На прямой 1г построим шкалу функции Д (х)

Строим далее третью прямую /3, параллельную первым двум, но не произвольно, а по определенному закону, который будет указан ниже. Расстояние между прямыми /х и /3 обо­ значим а. На прямой /3 строим шкалу функции fs (г) с мас­ штабом р (пометки на ней — значения г).

Для того чтобы соблюдался закон выравненных точек,

168

нужно подобрать определенным образом а и р , . Проведем прямую, перпендикулярную прямым llt l2, h, примем ее за ось абсцисс. Прямую 1г примем за ось ординат. Будем считать, что начало каждой шкалы лежит на оси абсцисс. Закон выравненных точек будет выполняться, если а и р определить по формулам:

тН ' ___ тп

(7.16)

т-\-п ’ ^ m-j-n

Доказательство приведено в гл. 10, п. 110.

169