книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

t

оси, то изучение чертежа, который мы мысленно можем представить неограниченно продолженным, поможет нам

Видим, что в пределах чертежа они не пересекаются. Мо­

хфО.

Итак, данное уравнение не имеет действительных кор­ ней.

90

П р и м е р 2. Решить графическое уравнение ~ =sin х.

Строим графики функций У- - ^ ; y=sin х (рис. 25). Оба

графика нам хорошо известны. На выполненном чертеже мы видим только три корня уравнения. Но если мысленно представим себе графики неограниченно продолженными вправо и влево и примем во внимание их свойства, то мы убеждаемся в том, что уравнение имеет бесконечное мно­ жество корней. Эти корни при удалении вдоль оси Ох

38°. Числовые промежутки. Уточним здесь понятия числового интервала, сегмента, полуинтервала.

1) Открытый интервал (или просто интервал) — сово­ купность всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству:

a<.x<Lb,

где а и b — данные числа. Обозначается так: (а; Ь).

91

2) Замкнутый интервал (или отрезок, или сегмент)

совокупность всех действительных чисел х, удовлетворяю­ щих неравенству:

[а; Ь), (а; Ь].

Все множества этих четырех типов будем обозначать

Кроме рассмотренных числовых множеств, которые являются конечными промежутками, введем также понятие о бесконечных промежутках.

Совокупность всех действительных чисел, удовлетворяю­ щих неравенству х> а, где а — данное число, будем также называть интервалом (ограниченным слева, неограничен­ ным справа). Вместо неравенства х > а часто пишут, по аналогии с конечным интервалом:

а < Х + о о .

Здесь неравенство х < + ° о подчеркивает то, что числовое множество не ограничено справа, оно содержит все числа, большие числа а. Интервал такого типа обозначают:

(а; + оо).

Подобно этому, устанавливаются понятия бесконечных промежутков других типов, определяемых соответствую­ щими неравенствами.

9 2

Функция у — f(x) называется непрерывной в точке х0, если предел функции при х —*х0 равен значению функции при

Хд, если бесконечно малому приращению аргумента соот­ ветствует бесконечно малое приращение функции. Функ­ ция называется непрерывной на данном промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Важно уметь узнавать, является ли данная функция непрерывной или нет. Для этого необходимо знать следую­ щие факты. Во-первых, каждая из основных элементарных функций непрерывна во всей области ее определения. Во-вторых, справедливы следующие теоремы о непрерыв­ ных функциях: сумма, разность, произведение непрерыв­ ных функций суть непрерывные функции; частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, за исклю­ чением тех точек, в которых знаменатель обращается в нуль.

Пользуясь этими фактами, можно всегда проверить, является ли данная функция непрерывной. В частности, всякая целая рациональная функция непрерывна на всей действительной оси (всюду). Дробная рациональная функ­ ция (частное двух целых рациональных функций) непре­ рывна всюду, кроме корней знаменателя.

П р и м е р ы . 1) Функция у = 5х4—7х2 + 4 х + 10 непре­ рывна всюду, так как это целая рациональная функция.

2x34-7

2) Функция у — з^ттру непрерывна всюду, так как это

она есть частное двух непрерывных функций, причем зна­ менатель не обращается в нуль ни при каких действитель­

93

в этом промежутке и других корней на том же промежутке нет.

пустимых значений на промежутки, в каждом из которых содержится только один корень или не содержится ни одного корня.

Для проверки существования корня уравнения на дан­ ном интервале применяют некоторые теоремы о свойствах непрерывных функций. Приведем здесь три основные теоремы, знание которых необходимо для решения вопросов этого рода. Эти теоремы рассматриваются и доказываются при изучении тем «Непрерывные функции» и «Производ­

крайней мере один корень уравнения f(x)=0.

Теорема наглядно иллюстрируется рисунками 26 и 27. Заметим, что при выполнении условий теоремы на отрезке существует или один, или несколько корней (рис. 26). Важно иметь признак, по которому можно судить о наличии только одного корня. Этот признак выражается следующей теоремой.

Т е о р е м а 2. Пусть функция fix) непрерывна и моно­ тонна на отрезке [а; Ь], принимает на его концах значения

94

В общем случае вопрос решается методами математического анализа с помощью понятия производной. Именно, если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], имеет производ­ ную внутри отрезка, то при /'(д:)>0 функция возрастает, при /'(%)<0 убывает. Короче говоря, если производная сохраняет постоянный знак внутри отрезка [а; Ь], то функ­

няет постоянный знак, то внутри отрезка существует корень уравнения f(x)=0, и притом единственный.

Определение корней обычно начинают производить графически. Для этого строят графики так, как это делается при графическом решении данного уравнения. Построив график, даже и неточно, можно сделать предположение о том, в каких интервалах находятся корни уравнения. Это предположение затем следует проверить аналитически, применяя теоремы 1, 2, 3.

П р и м е р . Отделить корни уравнения х3—6x2-f 20=0. Построим график функции у = х 3—6х2+20 (см. рис. 22). Из чептежа можно сделать предположение о том, что в каж­ дом из интервалов (—3; 0), (1; 3), (4; 6) имеется по одному

95

корню данного уравнения. Проверим это предположение для интервала (1; 3). На отрезке [1; 3] функция f(x)~

—х3—6.v2+20 непрерывна. На концах отрезка функция принимает значения f( 1)= 15 и f(3)= —7, т. е. значения разных знаков. Производная f'(x)= 3x2—12х—3х(х—4). Оче­ видно, для любого х интервала (1; 3) /'(* )< 0, т. е. имеет постоянный знак. Следовательно, внутри отрезка [1; 3] имеется корень уравнения, и притом только один.

Подобными рассуждениями убеждаемся в том, что внутри каждого из отрезков [—3; 0], [4; 6] имеется по одному корню того же уравнения.

41°. Уточнение корня методом проб. Пусть дано урав­ нение f(x)— 0 и некоторый корень £ уравнения отделен на отрезке [а; Ь]. Обозначим b—a= d (это длина отрезка). Требуется найти приближенное значение этого корня с точностью до 0,001 (т. е. с погрешностью, не превышающей 0,001). Заметим, что а < |< Ф (рис. 28). Значит, число а можно считать приближенным значением по недостатку, число b — приближенным по избытку. При этом абсолют­ ная погрешность меньше, чем длина отрезка, т. е. меньше, чем d. Если d^0,001, то задача решена: числа а и b суть приближенные значения корня требуемой точности. Не только числа а и Ь, но и любое число х0отрезка [а; b1 можно принять за приближенное значение корня также с абсолют­ ной погрешностью, меньшей d. Удобно за приближенное значение принять середину отрезка [а\ Ь], т. е. чисто с—

=^Y~. Погрешность этого приближенного числа меньше

половины длины отрезка, т. е. |£—с | < у . Значит, за при­

ближенное значение корня выгоднее принять не концы отрезка а и Ь, а середину отрезка. В нашем примере, если длина отрезка [а\ Ь] меньше 0,001, число с есть приближенное значение корня с погрешностью, меньшей 0,0005.

Пусть теперь отрезок [а; Ь] таков, что его длина больше предельной погрешности искомого корня, т. е. больше 0,001. Тогда путем последовательного деления отрезок, на кото­ ром отделен корень, уменьшают до тех пор, пока его длина

Р и с . 28

96

не сделается меньше, чем заданная предельная погрешность корня. Как это делается, рассмотрим на примере.

отделения корней, убеждаемся в том, что уравнение имеет единственный положительный корень, он заключен в ин­ тервале (2; 3). Длина интервала больше, чем 0,001. Необ­ ходимо найти интервал длиной не более 0,001, на котором заведомо имеется корень.

Разделим отрезок [2; 3] на 10 равных частей, точки де­ ления будут:

2; 0; 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 2,7; 2,8; 2,9; 3,0. (4.7)

Вычислим значения функции f(x)—xs—4х— 1 в этих точках. Из всех точек деления найдутся две, в которых f(x) прини­ мает значения разных знаков. Именно: /(2, 1)= —-1,39<[0; /(2,2)=+0,850>0. Значит, искомый корень содержится внутри отрезка [2,1; 2,2], т. е. 2,1< | < 2,2.

Обратим внимание на то, что для сужения интервала нам пришлось испытать девять точек (4.7), т. е. понадоби­ лось вычислить значения функции f(x) в девяти точках. Это очень большая вычислительная работа. Объем работы можно резко сократить следующим образом. Рассмотрим первоначальный отрезок [2; 3], заметим: /(2 )= — 1; /(3)= 14.

Отрезок 12,1; 2,2] делим на 10 равных частей, точки деления будут: 2,10; 2,11; 2,12; 2,13; 2,14; 2,15; 2,16; 2,17; 2,18; 2,19; 2,20.

Заметим, что /(2,10)=—0,139; /(2,20)=+0,850. Отсюда заключаем, что корень близок к 2,10. Поэтому достаточно испытать лишь точки, близкие к 2,10. Вычисляем: /(2,11)= = —0,046; /(2,12)=+0,048. Значит, 2,11<£<2,12.

Теперь испытываем точки 2,111; 2,112; ...; 2,119; 2,120. Так как /(2,11)=—0,046; /(2,12)=+0,046, то надо полагать, что корень близок к середине отрезка. Испытываем

точки 2,114; 2,115; 2,116. Вычисляя, получим: (2,114)=—0,0085; (2,115)=+0,0009. (4.8)

Уже ясно, что 2,114<£<2,115. Остальные точки испы­ тывать не нужно. Мы пришли к отрезку длиной 0,001, содержащему корень уравнения. Задача решена: числа

2,П 4 и 2,115 суть приближенные значения корня с погреш­ ностью, не превышающей 0,001. Из (4.В) следует, что корень ближе к числу 2,115. Значит, лучше принять за приближен­ ное значение корня 2,115. Погрешность не превысит

0,0005.

При решении задач подобного типа следует составлять расчетный бланк. Для данного примера расчетный бланк выглядит так (промежуточные записи пропущены):

З а м е ч а н и е . Мы рассмотрели метод проб с деся­ тичным делением. Можно метод проб осуществлять иначе. Именно, пусть корень \ отделен на отрезке [а; Ь]. Возьмем на этом отрезке произвольную точку с, испытаем ее (т. е, най­

в нем содержится искомый корень. На отрезке [ай Ьг] возьмем какую-нибудь точку сг, испытаем ее и придем к но­ вому отрезку [ар Ь2\, в котором содержится корень. Про­ должаем этот процесс до тех пор, пока не дойдем до от­ резка [а„; &„], длина которого меньше заданной предельной погрешности. В качестве чисел с, си с2 и т. д. часто берут середину соответствующего отрезка (метод проб с поло­ винным делением). При ручном счете удобнее метод проб с десятичным делением, на ЭВМ — с половинным делением.

98

42°. Уточнение корня методом хорд. Пусть корень уравнения /(х) = 0 отделен на отрезке [а; Ь], причем f(x) непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков. График функции y —f(x) проходит через точки А(а, f(a)), B(b, f(b)) (рис. 29). Искомый корень есть абсцисса £ точки пересечения графика с осью Ох. Эту точку найти трудно, вместо нее будем искать близкую к ней точку пересечения хорды А В с осью Ох, обозначим через £ абсциссу этой точки. Число и примем за прибли­ женное значение корня. Рассматривая подобные треуголь­ ники, придем к пропорции:

Формула (4.9) называется формулой метода хорд. Она дает возможность вычислить приближенное значение корня. Значение £t может оказаться недостаточно точным, тогда. ту же формулу (4.9) применяют к отрезку [It; b], заме­ няя а на £(, £t на £2. Затем формулу (4.9) применяют

котрезку [§2; Ь], получают новое приближенное значе­ ние корня £3 и т. д. Продолжая этот процесс, придем

кприближенному значению корня требуемой точности.

99