книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

лительных машин. Важным вспомогательным средством вычислений являются таблицы: таблицы произведений целых чисел, квадратов и кубов целых чисел, степеней

Заметим, что действия сложения, вычитания, умножения всегда можно выполнить точно и получить результат, ко­ торый также выражается при помощи конечной десятичной записи. Частное же двух чисел не всегда можно предста­ вить целым числом или конечной десятичной дробью. Поэтому если при делении мы хотим записать точный ре­ зультат, а частное не выражается конечной десятичной записью, то нужно частное представить в виде обыкновенной

дроби. Например, пусть требуется вычислить z= у , где*—

= 6,8; г/=25,5. Частное представляется бесконечной десятич­ ной дробью: 0,2666.... Поэтому, если мы хотим записать точ­ ный результат в конечном виде, нужно частное представить

в виде обыкновенной дроби: 2= .

Пр и м е р 1. Вычислить 14,44. Достаточно найти 144V

азатем отделить запятой четыре цифры справа. Представим число так: 1444=(16-9)4= 2 16-38. По таблице степеней на­ ходим (см. БС): 21в=65536; 38= 6561. Выполняя умноже­ ние и отделяя запятой четыре цифры, получаем: 14,44= =42998,1696.

П р и м е р 2. Водитель автомашины должен объехать 20 продовольственных магазинов, причем он может это сделать в любом порядке следования от одного магазина к другому. Сколькими способами (сколькими маршрутами) он может это сделать?

На основании теории соединений число всевозможных маршрутов iV=20! Пользуясь таблицей факториалов, на­ ходим А/=2,43-1018. (Число округлено до трех верных значащих цифр, его точное значение 2432902008176640000.)

В некоторых задачах нам потребуется знать формулу числа сочетаний из т элементов по п элементов. Это число

П р и м е р 3. В урне находится 4 белых и 8 черных шаров. Из нее вынимают сразу 4 шара. Какова вероят­

20

ность того, что в числе вынутых будет один белый и три черных шара? Вероятность выражается формулой Р =

/■»1 лЗ

=-л— . Применяя формулу (1.1) и таблицу факториалов,

с12

л, К(\ 994

запись чисел в виде обыкновенных дробей, мы будем стре­ миться лишь упростить запись, т. е. сократить дроби. Воспользуемся таблицей разложений целых чисел на

2°. Замечание об использовании малой вычислительной техники. При выполнении арифметических действий на клавишных настольных машинах нужно учитывать, что возможности машины ограничены ее р а з р я д н о с т ь ю . Так, на арифмометре («Феликс» или ВК-1) можно набирать любое число, написанное при помощи не более 9 цифр, и выполнять действия, в результате которых получается число, написанное при помощи не более 13 цифр. В рас­ пространенных электромеханических машинах 9 разрядов на шкале для установки данных, 17 разрядов в ответной шкале. Надо знать разрядность машины, которая исполь­ зуется при расчетах, и учитывать ее при выполнении вы­ числений.

При выполнении вычислений на машине следует заранее определить, какое число десятичных знаков получится в результате арифметических действий. Укажем здесь правило определения числа значащих цифр произведения двух чисел. Пусть в записях чисел а и Ь соответственно т и п значащих цифр. В каждом из них заметим первую значащую цифру и обозначим ее соответственно а и р . Если а Р > 1 0 , то в записи ab число значащих цифр равно т + п. Если (a -f 1)(РЧ~ 1) <10, то в записи ab число зна­ чащих цифр равно т + п— 1. Если ни тот, ни другой слу­ чай не имеет места, то надо учесть вторые значащие цифры в записях а и Ь.

21

П р и м е р 1. Пусть а—834,74; 6=6,738. Здесь а = 8 ,

примерах, можно выполнить на 17-разрядных вычислитель­ ных машинах.

§ 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА. ПОГРЕШНОСТИ

3°. Приближенные числа. Абсолютная погрешность. На практике обычно числа, над которыми производятся вы­ числения, являются приближенными значениями тех или иных величин. Для краткости речи приближенное значение величины называют приближенным числом. Истинное зна­ чение величины называют точным числом.

Приближенное число имеет практическую ценность лишь тогда, когда мы можем определить, с какой степенью точности оно дано, т. е. оценить его погрешность (отличие от точного числа). Напомним основные понятия из общего ■* курса математики.

Будем обозначать: х — точное число (истинное значение величины), а — приближенное число (приближенное зна­ чение величины).

О п р е д е л е н и е 1. Погрешностью (или истинной погрешностью) приближенного числа называется разность между числом х и его приближенным значением а. Погреш­ ность приближенного числа а будем обозначать Аа. Итак,

ближенного числа а называется модуль разности между числом х и его приближенным значением а.

Абсолютную погрешность приближенного числа а будем обозначать А, т. е. )

А = \х — а\.

Точное число х чаще всего бывает неизвестно, поэтому найти истинную и абсолютную погрешности не представ-

22

ляется возможным. С другой стороны, бывает необходимо оценить абсолютную погрешность, т. е. указать число, которого не может превысить абсолютная погрешность. Например, измеряя длину предмета данным инструментом, мы должны быть уверены в том, что погрешность получен­ ного числового значения не "превысит некоторого числа,

грешностью приближенного числа а называется положитель­

недостатку, а 4-Да — по избытку. Применяют также такую

Ясно, что предельная абсолютная погрешность опреде­ ляется неоднозначно: если некоторое число есть предельная абсолютная погрешность, то любое большее число тоже есть предельная абсолютная погрешность. На практике стараются выбирать возможно меньшее и простое по за­ писи (с 1—2 значащими цифрами) число Да, удовлетворяю­

и предельную абсолютную погрешности числа а=0,17,

Вдесятичной записи будем иметь:

=0,00333...

23

Заменяя это число большим и возможно более простым по записи, примем:

Да=0,004.

З а м е ч а н и е . Если а есть приближенное значение числа х, причем предельная абсолютная погрешность Аа равна h, то говорят, что а есть приближенное значение числа х с точностью до h.

П р и м е р 2. Определить предельную абсолютную по­ грешность числа а=3,16, взятого в качестве приближенного

значения числа }/10.

Известно, что 3,16 CV710<3,17. Значит, (|/Т 0—3,16 | < < 0 ,0 1 . Можно принять за абсолютную погрешность Аа=

=0,01. Если же учесть, что 3,16 < | / 10 <3,16228 ,то получим лучшую оценку: Аа= 0 ,00228. Заменяем это число большим,

щественно предельной абсолютной погрешностью. Для краткости речи в тех случаях, когда это не вызывает недо­ разумений, вместо «предельная абсолютная погрешность»

об измерениях, вместо слова «погрешность» употребляют слово «ошибка». Обращаем внимание на то, что в обыденной речи под ошибкой понимают неверный результат. В прак­ тике вычислений неверный результат выражают словом «просчет».

4°. Относительная погрешность. Знания абсолютной погрешности недостаточно для характеристики качества

зультатов одинаковы, однако существенное значение имеет то, что в первом случае абсолютная погрешность в 1 км

6 приближенного значения а числа х называется отношение

24

абсолютной погрешности А числа а к модулю числа х :

Так как точное число обычно бывает неизвестно, его заменяют приближенным числом:

О п р е д е л е н и е 5. Предельной относительной по­ грешностью приближенного числа а называется положитель­ ное число ба такое, что б-<;ба.

Для краткости речи в тех случаях, когда это не вызывает недоразумении, вместо «предельная относительная погреш­ ность» говорят просто «относительная погрешность».

Предельную относительную погрешность часто выражают

(обязательно в сторону увеличения), получим 6Й=0,0008—

-0,08% .

Пр и м е р 2. При взвешивании тела получен резуль-

тат: р —23,4±0,2 г. Имеем Др==0,2. 0 2 Производя

деление и округляя, получим бр=0,9% .

5°. О связи между абсолютной и относительной погреш­ ностями. Формула (1.8) определяет зависимость между абсолютной и относительной погрешностями. Из фор­

Пользуясь формулами (1.8) и (1.9), мы можем, если известно число а, по данной абсолютной погрешности находить от­ носительную, и наоборот.

Заметам, что формулы (1.8) и (1.9) часто приходится применять и тогда, когда мы еще не знаем приближенного числа а с требуемой точностью, а знаем грубое приближен­

25

ное значение а. Часто приходится решать задачи примерно такого типа. Требуется измерить длину предмета с относи­ тельной погрешностью не выше 0,1%. Спрашивается: возможно ли измерить длину с нужной точностью при по­ мощи штангенциркуля, позволяющего измерить длину с абсолютной погрешностью до 0,1 мм? Пусть мы еще не измеряли предмет точным инструментом, но знаем, что грубое приближенное значение длины — около 12 см. По формуле (1.9) находим абсолютную погрешность:

Да—120-0,001=0,12 мм.

Отсюда видно, что при помощи штангенциркуля возможно выполнить измерение с требуемой точностью. Измеряя, получаем результат с нужной точностью, например 122,6 мм.

В процессе вычислительной работы часто приходится

число может быть целым или записываться в виде конечной десятичной дроби. При этом устанавливается такой способ записи приближенного числа, при котором по записи числа можно узнавать его погрешность.

Прежде всего, напомним известное из арифметики понятие з н а ч а щ е й ц и ф р ы в записи числа. Зна­ чащими цифрами числа называются все цифры его десятич­ ной записи, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой, отличной от нуля.

Теперь дадим определение в е р н о й цифры в записи

если абсолютная погрешность приближенного числа не пре­ восходит половины единицы того разряда, в котором за­ писана цифра а.

Принимается за правило при десятичной записи прибли­ женного числа писать только верные цифры. Если известно,

что данное приближенное число записано правильно, то по записи сразу можно определить предельную абсолютную погрешность. Именно, при правильной записи абсолютная

2S

погрешность не превышает половины единицы низшего разряда.

П р и м е р . Даны приближенные числа, записанные правильно: а—3,8; й = 0,0283; с=4260. Предельные абсо­ лютные погрешности этих чисел: Аа—0,05; Аь= 0 ,00005;

Дс=0,5.

З а м е ч а н и е 1. Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными. Иногда при вычислениях целесообразно в записи приближенных чисел сохранять, кроме верных значащих цифр, еще одну сомнительную. Академик А. Н. Крылов предложил следующий принцип записи приближенных чисел: приближенное число следует писать так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме послед­ ней, были верными и лишь последняя была сомнительной,

ипритом не более как на одну-две единицы.

За м е ч а н и е 2. Если приближенное число записано

снекоторым числом десятичных знаков после запятой, причем последние десятичные знаки суть нули, являю­ щиеся верными цифрами, то их не следует отбрасывать: все нули в конце записи, которые являются верными циф­ рами, нужно писать. Например, если Да^0,0005, то вместо

а = 3,2 следует писать а=3,200. Если А,^0,005, то вместо о=26 следует писать а=26,00 (в случае точного числа

предъявляют менее жесткие требования, чем те, которые высказаны в определении 6. Именно, считают цифру а верной, если абсолютная погрешность приближенного числа не превосходит единицы того разряда, в котором записана цифра а. Верную цифру в таком понимании часто называют

верной цифрой в широком смысле. Верную цифру в том смысле, какой дается в определении 6, называют верной цифрой в строгом смысле. Например, пусть х ~ 2 , 71828...—

точное число. Округляя до двух десятичных знаков после запятой по известному вам правилу округления, получим х«2,72. Погрешность будет менее половины единицы низ­ шего разряда, все цифры верны в строгом смысле. Если же округлим, просто отбрасывая все цифры, начиная с третьей, получим хж 2,7\. Погрешность менее единицы, но более половины единицы низшего разряда. В записи приближен­ ного числа все цифры верны в широком смысле, но послед­ няя цифра неверна в строгом смысле.

27

7°. Округление чисел. Очень часто число, точное или приближенное, содержит в своей записи цифр больше, чем это необходимо. В таких случаях производят округление. Напомним правило округления.

Чтобы округлить число до п значащих цифр, отбрасы­ вают все цифры, стоящие справа от п-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом, если первая из отброшенных цифр больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру уве­ личивают на единицу.

Очевидно, что при применении правила округления, погрешность, вызванная округлением, не превышает по­ ловины единицы десятичного разряда, определяемого по­ следней оставленной значащей цифрой. Поэтому если данное число точное, то после округления в записи числа все цифры будут верными.

Пр и м е р 1. Округляя число я = 3 ,1415926... до пяти, четырех, трех значащих цифр, получим приближенные числа: 3,1416; 3,142; 3,14 с абсолютными погрешностями, меньшими 0,00005; 0,0005; 0,005. Все цифры после округ­ ления верные.

Пр и м е р 2. Округляя точное число 8674 до дву^. верных значащих цифр, получим число 8700 с абсолютной погрешностью, меньшей 50.

8°. Плавающая форма записи приближенного числа. Всякое число а, записанное в десятичной системе, можно

положительное, отрицательное или нуль). Например, 273=

эти числа записаны в плавающей форме («с плавающей запятой»). Обычную же запись называют естественной или .фиксированной («с фиксированной запятой»).

Предельная абсолютная погрешность числа, записанного в плавающей форме, равна произведению предельной абсо­ лютной погрешности числа аа на \Qp. Например, если «=

= 0,3410~3, то Ла= у -0,01-10-*=0,000005.

9°. Нормальная форма записи приближенного числа. Нормальная форма записи числа есть такая форма записи

28

в виде (1.10), при которой !й0|< 1 . В этом случае число я0 называется мантиссой, а показатель степени р — порядком числа а. Заметим, что запись числа в нормальной форме также не является однозначной.

от нуля, то такая запись числа называется нормализованной. Представление числа в нормализованной форме является единственным. Например, нормализованная запись числа

23,7 есть 0,237-102.

3) Следующие физические и астрофизические постоянные записать в естественной форме:

В п. 6° было указано правило записи приближенных чйсел, в силу которого писать следует только верные цифры. Если приближенное число дробное, то применение этого правила не вызывает сомнений. Если приближенное число целое, а предельная абсолютная погрешность больше 0,5, то за­ пись по данному правилу возможна лишь при записи числа в плавающей форме.

11°. Связь между числом значащих цифр и относитель­ ной погрешностью. Как мы видели, по числу верных деся­ тичных знаков в записи числа можно судить об абсолютной погрешности. Оказывается, по числу значащих цифр можно судить об относительной погрешности.

Возьмем число я=634, пусть все цифры верны, Аа=0,5; 8а= 27§з4 • Можно принять 6о=0,08% . Нетрудно сообра­

29