книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

точки графика близки к ней и располагаются по обе сто­ роны от нее. В первом случае (рис. 56) это будет прямая линия, во втором случае (рис. 57) — кривая, напоминающая параболу. Полученная плавная линия и будет графиком функции, приближенно выражающей зависимость между величинами. Если удастся написать уравнение этой ли­ нии, то мы и получим искомую эмпирическую формулу.

Заметим, что при построении непрерыв­ ного графика мы не должны непременно стремиться к тому, что­ бы плавная линия про­ ходила через опытные точки. Ведь результаты измерений—приближен­ ные числа. Поэтому по своей природе опытные точки должны несколько отклоняться от истин­ ного графика. При этом, так как отклонения

180

имеют случайный характер, они могут быть и в сторону увеличения, и в сторону уменьшения — и выше, и ниже графика.

Рассматривая непрерывный график, мы должны сделать предположение (гипотезу) о том, каков вид функции, гра­ фиком которой он является. Дальнейший процесс состоит в том, чтобы установить значения параметров, входящих в формулу, выражающую эту функцию.

87°. Линейное приближение. Пусть расположение опыт­ ных точек таково, что они лежат вблизи прямой (как на рис. 54). В этом случае эмпирическую формулу будем искать

так как прямая есть график линейной функции. Нам ос­ тается лишь найти коэффициенты а и Ь. Для отыскания коэффициентов существует несколько способов. Рассмотрим некоторые из них.

Способ натянутой нити. Строим точечный график на миллиметровой бумаге в достаточно крупном масштабе. Проводим прямую, близкую к опытным точкам (приближаю­ щая прямая). Измеряем отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат, это будет Ь. Найдем тангенс угла между прямой и осью абсцисс, это будет а. Эмпирическая формула готова.

Способ выбранных точек. Строим точечный график и приближающую прямую на миллиметровой бумаге. На прямой выбираем две произвольные точки (значительно удаленные друг от друга) и определяем их координаты

(х, у), (х , у). Для определения коэффициентов а и b полу­ чаем систему уравнений:

/ ах + Ь = у,

(8. 2)

\ ах + Ь —у.

Решая систему, находим а и Ь.

З а м е ч а н и е . Способ выбранных точек иногда при­ меняют без построения приближающей прямой. Если есть предположение, что зависимость может быть выражена линейной функцией, т. е. в виде (8.1), то из таблицы берут две опытные точки (не близкие одна к другой), обозначим

их (х, у), (х, у), и составляют систему (8.2). Этот вариант способа выбранных точек проще, но менее точен.

18!

Способ средней. Прежде чем излагать способ, сделаем некоторые пояснения. Пусть опытные значения записаны в таблице:

Равенство (8.1) перепишем так:

Если вместо х и у подставить какие-нибудь опытные зна­ чения, то, так как они приближенны, получим не нуль,

а некоторое малое число б, называемое невязкой. Например;

уу—ах1—Ь=бх; у2—ахг—Ъ—62 и т. д. Все ошибки носят случайный характер, и невязки 8Ь 62, ... подчиняются зако­ нам случайных величин. При довольно большом числе измерений положительные и отрицательные невязки урав­ ниваются и сумма всех невязок равна нулю. Исходя из

этих соображений мы и укажем способ отыскания чисел а и Ь в уравнении (8.1).

Все опытные точки разделим на две группы, одинаковые или почти одинаковые по числу точек. Для всех уравнений первой группы найдем невязки и сумму их приравняем к нулю. То же проделаем для уравнений второй группы. При этом числа а и b остаются неизвестными. Мы получили два линейных уравнения с двумя неизвестными. Решая

У1,02 2,50 3,92 5,16 6,82 8,36 10,74 11,82 13,64 12,96

Построим эмпирическую формулу в виде линейной функции, т. е. будем искать функцию вида (8.1) или, что то же, вида

(8.3).

182

Р е ш е н и е с п о с о б о м н а т я н у т о й н и т и . Строим точечный график на миллиметровой бумаге (рис. 58). Проводим приближающую прямую. Из чертежа видно, что прямая отсекает на оси ординат отрезок, равный 0,98. Далее измеряем тангенс угла между прямой и осью абсцисс. Он равен 0,55. Эмпирическая формула будет

г/=0,55х+0,98.

Р е ш е н и е с п о с о б о м в ы б р а н н ы х т о ч е к . Строим точечный график и приближающую прямую. На прямой берем произвольные точки М и N и находим их коор­ динаты М (1,0; 1,5), N (20,0; 12,0). Подставляем их в ра­ венство у= ах+ Ь, получаем систему уравнений:

Iа + 5 =1,50,

\20а + 6 = 12,0.

Решая систему, находим а и Ь: а=0,55; 6=0,95. Итак, иско­ мая формула будет:

у —0,55х+0,95

Р е ш е н и е с п о с о б о м с р е д н е й . Разделим все опытные точки на две группы так: в первую группу войдут

183

первые пять точек, во вторую — остальные. Пользуясь записью (8.3), найдем невязки для точек первой группы и сумму невязок приравняем нулю:

(b— 1,02)+ (За+ Ь—2,50)+(5а+ Ъ—3,92)+ (8а + Ь—5,16)+ + (10а+6—6,82)=0.

То же проделаем для точек второй группы:

(14о+ Ъ—8,36)+ (17а+ 6— 10,74)+ (20а+ b—11,82)+ ' + (22а+ b—13,64)+ (24а+ b—12,96)=0.

Опуская скобки и приводя подобные члены, получим:‘

( 26а + 56 = 19,42,

\ 97а+ 56 = 57,52.

Это есть система двух уравнений с двумя неизвестными а и 6. Решая систему, получим:

<2=0,565; 6=0,940.

Итак, мы получили эмпирическую формулу:

г/=0,565л+0,940.

88°. Квадратичное приближение. Если точечный график таков, что приближающая линия похожа на параболу, ось которой параллельна оси ординат (см. рис. 55 и 57), то эмпирическую формулу ищем в виде квадратного трех­ члена:

у=ах*+сх+Ь. (8.4)

Нужно найти лишь коэффициенты. Предположим, что приближающая линия похожа на параболу, симметричную относительно оси ординат (т. е. ось параболы совпадает с осью ординат). Тогда формула (8.4) имеет более простой вид, так как с = 0:

симметрична относительно оси ординат, то передвинем ось ординат вправо или влево так, чтобы добиться симметрии (тогда все значения х в таблице уменьшатся или увеличатся на одно и то же число). Уравнение параболы будет иметь

184

графика располагаются приблизительно по прямой, то это подтверждает наше предположение, что зависимость у от х хорошо выражается функцией вида (8.5). Для отыскания коэффициентов а и b можно теперь применить способ вы­ бранных точек или способ средней.

С п о с о б н а т я н у т о й н и т и . Имея уже точечный график на полуквадратичной сетке, построим приближаю­ щую прямую. Зная такую прямую, можем найти ее урав­ нение и, значит, коэффициенты а и b в формуле (8.5) (см. гл. 7, п. 77°). С п о с о б в ы б р а н н ы х т о ч е к можем применить таким образом. На прямолинейном графике возьмем две точки (далекие друг от друга). Координаты

этих точек обозначим (х , у) и (л:, у) (имеются в виду коор­ динаты в смысле пометок на функциональной сетке). Тогда можем записать:

(8 . 6)

Мы получили систему двух уравнений с неизвестными а и Ь. Найдя a n b , напишем окончательно эмпирическую формулу вида (8.5).

Заметим, что можно и не строить прямолинейного Гра­

фика, а взять числа (х, у), (х , у) прямо из таблицы. Однако полученная при таком выборе точек формула будет менее точна. Процесс преобразования криволинейного графика в прямолинейный посредством функциональной сетки назы­ вается выравниванием.

С п о с о б с р е д н е й . Разбиваем опытные точки на две группы с одинаковым (или почти одинаковым) числом точек в каждой группе. Равенство (8.5) перепишем так:

Находим сумму невязок для точек первой группы и при­ равниванием к нулю. То же делаем для точек второй группы. Получаем два уравнения с неизвестными а и Ь. Решая систему уравнений, найдем а и Ь.

Заметим, что при применении этого способа не требуется строить приближающую прямую. Точечный график на полуквадратичной сетке нужен только для проверки того, что функция вида (8.4) или (8.5) подходит для эмпирической формулы.

185

Рис. 59

П р и м е р . При исследовании влияния температуры на ход хронометра ш получены следующие результаты, помещенные в таблице XXIV. При этом нас интересует не сама температура, а ее отклонение от + 25QС. Поэтому за

Нанеся на чертеж соответствующие точки (рис. 59), заме­ чаем, что за приближающую кривую можно принять пара­ болу с осью, параллельной оси ординат. Возьмем полуквад-

186

ратичную сетку и нане­ сем на нее опытные точки (рис. 60). Видим, что эти точки доста­ точно хорошо уклады­ ваются на прямой. Зна­ чит, эмпирическую фор­ мулу можно искать в виде (8.5).

Определим коэффи­ циенты а и 6 по методу средней. Разобьем опыт­ ные точки на две груп­ пы: в первой — первые три точки таблицы XXIV, во второй — остальные четыре точки. Записав равенство (8.5) в виде (8.7), находим суммы невязок по каж­ дой группе в отдель­ ности, приравниваем каждую сумму к нулю

иполучаем систему

718,20а+ 36 = 5,95,

140,92а+ 46 = 4,33.

Решая систему, получаем (округляя до двух значащих цифр):

а=0,0044; 6=0,93.

Итак, эмпирическая формула такова:

со=0,0044 (7—25)г+0,93.

Она установлена для отрезка 5°+;б+34,4э.

8'9 . Приближение при помощи показательной функции. Если расположение опытных точек похоже на расположе­ ние точек графика показательной функции, то ищем эмпи­ рическую формулу в виде

Нанесем опытные точки на полулогарифмическую бу­ магу (рис. 61,111). Если эти точки располагаются прибли­ зительно на прямой линии, то мы окончательно убеждаемся в том, что зависимость между у и х выражается именно показательной функцией. Построим на полулогарифмиче­ ской бумаге приближающую прямую и по правилам, из­ ложенным в гл. 7, п. 79°, найдем А и к.

Для нахождения А и k можно применить метод выбран­ ных точек. Для этого прологарифмируем равенство (8.8), получим: lg y= \g A-\-xk\g е. Полагая здесь %=х, rj== 1g у, обозначая lg A = b, k lg e—a, придем к уравнению:

ц=а£,А-Ь. (8.9)

188

Это есть линейная функция. Для отыскания а и Ъ можно применить метод выбранных точек, так, как это было пока­ зано в п. 87°.

Метод средней применяется так. Уравнение (8.9) запи­

Делим все опытные точки на две группы и для каждой группы сумму невязок уравнения (8.10) приравниваем нулю. Получаем систему двух уравнений с неизвестны­ ми а и Ь. Найдя а и Ь, вычислим A u k .

П р и м е р . Конденсатор заряжен до некоторого на­ пряжения «о, после чего он разряжается. Результаты изме­ рений приведены в таблице XXV. На основании опытных данных требуется найти формулу зависимости напряже­ ния и от времени t.

Построив опытные точки на полулогарифмической бумаге (рис. 61,111), видим, что они располагаются приблизи­ тельно по прямой. Значит, зависимость и от t выра­ жается формулой типа (8.8). В наших обозначениях это будет формула

ческой бумаге, где уже нанесены опытные точки, прово­ дим приближающую прямую. Следуя правилам, изложен­ ным в п. 79°, находим: 1) пометку точки пересечения прямой с осью ординат, это будет А =102; 2) угловой коэффициент прямой, он равен —0,14. Теперь найдем

Итак, u = 102e-°.s«.

М е т о д в ы б р а н н ы х т о ч е к . На полулогарифми­ ческой бумаге проводим приближающую прямую. Лога­

189