книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

хи х2, х„, только вместо чисел, стоящих в столбце «Свободные члены», используем числа, стоящие в столбце «Суммы». Получив числа хи хг, х3, хи х2, х3 и сравнив их, мы осущест­ вим заключительный контроль.

При такой схеме вычислений мы можем осуществить и текущий контроль: в процессе вычислений число, стоящее в последнем столбце (столбец «Суммы»), должно быть равно сумме всех остальных чисел той же строки.

П р и м е р : Решить систему уравнений:

Вычисления будем выполнять по описанной схеме, с контролем вычислений. Результаты вычислений отра­ жены в таблице XVIII.

56°. Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений. Среди различных методов решения систем уравнений будем различать точные и приближенные методы. Метод называется точным, если при точном вы­ полнении всех требуемых действий мы получаем точное решение системы. При этом имеется в виду, что все коэффи­ циенты — точные числа. Метод называется приближенным, если при точном выполнении всех требуемых действий и при точных коэффициентах мы получаем, как правило, лишь приближенный результат.

В случае применения приближенного метода на окон­ чательный результат влияет всегда погрешность метода, да к тому же на практике обычно имеет место неустранимая погрешность в задании коэффициентов и погрешность округления в промежуточных действиях.

Метод решения систем уравнений, основанный на про­ цессе исключения неизвестных, является точным. К числу приближенных методов относится метод итераций, приме­ нимый к решению систем. Несмотря на то что он является приближенным, он обладает такими качествами, которые делают его выгодным с вычислительной точки зрения.

57°. Метод итераций. Дадим здесь краткое изложение метода итераций. Этот метод заслуживает внимания, так как он удобен для вычислений на ЭВМ. Сущность метода итераций изложим на примере системы трех уравнений

130

с тремя неизвестными. Итак, пусть дана система трех урав­ нений с тремя неизвестными. Для применения метода ите­ раций приведем систему к виду:

(такую систему будем называть системой нормального вида). Пусть (дг0, у о, 2о) есть некоторое грубо приближенное решение системы. Назовем эту совокупность чисел началь­ ным приближением. Если неизвестно какое-либо грубое приближение, то можно взять вообще любую произвольную совокупность значений неизвестных и принять ее за на­ чальное приближение. Часто за начальное приближение берут совокупность свободных членов.

Подставим числа х0, у0, 20в правые части системы, в ле­ вых частях получим некоторые значения х, у, г; обозначим их Xi, у1, гх. Совокупность чисел хи у,, zx называется первым приближением. Подставим хи г/,, zt в правые части, получим второе приближение: х2, уг, г2. Этот процесс можно осущест­ влять неограниченно. При известных условиях, налагаемых на коэффициенты, &-е приближение x k, y k, zk при возрас­ тании k будет становиться сколь угодно близким к ис­ тинному решению системы; это истинное решение обозначим (х*, у*, 2*). Мы говорим в этом случае, что итерационный процесс сходится. Значит, проведя процесс подстановки некоторое, достаточно большое число раз, мы получим приближенное решение системы. Для сходимости итера­ ционного процесса достаточно потребовать выполнения одного из следующих условий:

а) сумма модулей коэффициентов при неизвестных в пра­ вой части каждого уравнения системы (5.10) меньше еди­ ницы;

б) сумма квадратов всех коэффициентов при неизвест­ ных в правых частях системы (5.10) меньше единицы.

Поясним сказанное на примере. Пусть дана система нормального вида-:

{ х = 0,12х—0,18у + 0,08г— 0,64, | y = 0,15x + 0,06y—0,11г + 0,26, \ 2= 0,04х—0 ,Юг/—0,092+1,34.

Найдем сумму модулей коэффициентов при неизвестных

вкаждом уравнении.

Впервом уравнении:

0,12+0,18+0,08=0,38.

Во втором:

0,15+0,06+0,11=0,32.

В третьем:

0,04+0,10+0,09=0,23.

Для каждого уравнения эта сумма меньше единицы, значит, итерационный процесс сходится и мы можем получить приближенное решение системы методом итераций. За начальное приближение мо^кно всегда принять х0=.0; у 0~ 0; 20= 0. Подставив эти значения в правые части уравнений, получим первое приближение:

хх= —0,64; у !=+0,26; 2l= + l,3 4 .

132

матрицы.

Определителем ( или детерминантом) второго порядка, соответствующим матрице (5.11), называют число D,

равное а1Ь2—а2Ьх. Определитель обозначается символом

60°. Определители третьего порядка. Рассмотрим квад­ ратную таблицу (матрицу) из девяти чисел (элементов матрицы):

ах Ъх сх

Определителем третьего порядка, соответствующим мат­ рице (5.13), называется число D, равное следующей алгебраической сумме произведений элементов матрицы:

D 7 ахЬ2с3 bxc2a3■]■"сха2Ь3схЬ2а3 ахс2Ь3 Ьха2с3.

Обозначим определитель третьего порядка символом

ах сх

а2 Ь2 с2 h с3 •

Таким образом, по определению

Числа ax, bx, cx, a2, b2, c2, a3, b3, c3 называются элемен­ тами определителя. В записи определителя мы разли­ чаем три строки и три столбца, а также две диагонали. Именно, элементы ах, Ь2, с3 образуют главную диагональ, элементы а3, Ь2, сх— побочную диагональ.

134

Несмотря на то что выражение определителя третьего порядка через его элементы кажется довольно громоздким, в действительности закон его составления весьма прост. В самом деле, в выражение (5.14) со знаком плюс входят произведения элементов, принадлежащих главной диаго­ нали, а также произведения элементов, образующих парал­ лели к этой диагонали, и третьего множителя — элемента из противоположного угла матрицы (рис. 38, а). Со знаком минус входят произведение элементов, образующих по­ бочную диагональ, а также произведения элементов, образующих параллели к побочной диагонали, и третьего множителя — элемента из противоположного угла мат­ рицы (рис. 38,6). Это правило, называемое правилом тре­ угольников, позволяет очень просто вычислять определители третьего порядка.

П р и м е р .

2 1 - 1

5 -- 2 3 = 2 .( —2).1 + 1-3-(—1)+5-4-(—!) — (—Г) X

—1 4 1

Х(—2)-(—1)—4-3-2—5-1-1 = — 54.

61°. Решение систем линейных уравнений при помо­ щи определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

( atx + Ьгу —сь

(5.15)

I azx + b2y = c2.

135

Составим определители из коэффициентов при неизвест ных и правых частей:

Определитель Д называется главным определителем системы, определители Ль Д2— вспомогательными определителями.

Как известно из основного курса школы, справедливы сле­

равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных опреде­ лителей отличен от нуля, то система не имеет решений

(система несовместна).

Составим определитель третьего порядка из коэффициентов при неизвестных:

ах bx сх

Д= а.2 Ь2 с2 @з Ь3 с3

Этот определитель называется главным определителем системы. Составим вспомогательные определители Дц Д2, Д3, которые получаются из главного заменой того или иного столбца правыми частями уравнений:

Для системы трех уравнений с тремя неизвестными справедливы теоремы, аналогичные только что сформу-

136

лированным. В случае А Ф 0 единственное решение си­ стемы определяется формулами (формулы Крамера):

неизвестных). Пусть дана система п линейных уравне­ ний с п неизвестными хъ хг, хп.

Вводится понятие определителя п-го порядка, и для системы устанавливается главный определитель А, со­ ставленный из коэффициентов при неизвестных, а также вспомогательные определители Alf А2, . . . , А„. Опреде­ литель любого порядка есть многочлен, составленный из элементов определителя по определенному закону. Для системы п уравнений оказываются справедливыми теоремы, аналогичные приведенным выше. В случае А ф О единственное решение системы определяется фор­ мулами (формулы Крамера)-.

Метод определителей является очень удобным в теорети­ ческом отношении. Применяя определители, оказывается возможным четко выделить случаи, когда система уравне­ ний совместна, когда несовместна, когда имеет бесконечное множество решений. В случае единственного решения (Д=£0) значения неизвестных определяются по готовым формулам (формулам Крамера).

Казалось бы, формулы Крамера дают возможность легко вычислить значения неизвестных и получить решение системы. В принципе это так, но на практике дело ослож­ няется тем, что для отыскания решения системы по форму­ лам Крамера требуется выполнить чрезмерно много вы­ числений. Установлено, что для отыскания решения си­ стемы п уравнений по формулам Крамера требуется про­ извести

одних только умножений и делений. Применяя эту формулу, можем подсчитать число арифметических действий при различных значениях п. Приведем таблицу, указывающую

137

число арифметических дейст­ вий при решении систем по формулам Крамера и ' спо­ собом Гаусса (табл. XIX).

Из этой таблицы видно, что в вычислительной прак­ тике применение формул Кра­ мера невыгодно, поэтому сле­ дует пользоваться другими методами, в том числе методом Гаусса.

Метод исключений по схе­ ме Гаусса удобен еще и тем, что он может быть применен для вычислений на ЭВМ.

Упражнения.

1. Решить систему по методу Гаусса (схема един­ ственного деления).

( 0,625*1— 1,27х, + 6,02*„ —6,96 = 0,

<1,43*!+0,65х2 —2,15*,+ 1,92 = 0,

{2,25*!— 1,76*2 —0,316*3 —2,37 = 0.

2.Решить систему по методу итераций:

{1,76*1 —3,12*2 + 9,38*3= 1,93.

3.Решить систему по методу итераций:

*i = 0,1*2—0,2*з+0,3,

+ = — 0,1*1 + 0,1*з + 0,1*4 —0,2,

*3 = 0,1*2+ 0,1*4 + 0,1,

*4= 0,1*2--0,1*3+ 0,2.

Л А Б О Р А Т О Р Н А Я Р А Б О Т А № 4

Решение системы линейных уравнений по методу Гаусса.,

З а д а н и е . Решить систему трех. уравнений с тремя неизвестными по схеме единственного деления.

138