книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

П р и м е р 2. Дана таблица значений длины эллипса I

69°. Обратная интерполяция. Мы рассматривали задачу нахождения значения функции по данному значению аргу­ мента, отсутствующему в таблице. Но нередко приходится решать и обратную задачу: по таблице отыскать значение аргумента х, которому соответствует данное значение функции, отсутствующее в таблице. Это есть задача обрат­ ной интерполяции. В главе 3 об этом уже говорилось. Напомним здесь, что такая задача может быть решена так же, как и прямая задача интерполирования, только значения аргумента и функции меняются ролями: значения функции рассматриваются как значения аргумента, и наобо­ рот. При решении задачи об обратной интерполяции простей­ шим приемом является также линейное интерполирование.

Если линейное интерполирование не дает достаточно точного результата, то можно применить квадратичное интерполирование по способу Эйткина.

Обратим внимание на то, что, как уже говорилось, при обратной интерполяции значения данной функции играют роль значений аргумента, а разности между соседними таб­ личными значениями функции обычно не равны между со­ бой, поэтому процесс обратной интерполяции есть процесс интерполяции по таблице с п е р е м е н н ы м ш а г о м .

§ 18. Табличные разности и их применения

70°. Конечные разности различных порядков. Пусть дана таблица значений функции y = f{x) для значений аргумента х0, xlt х.2, . . . , хп с постоянным шагом h.

150

Значения х0, хи . . . , хп будем называть, как и раньше, узлами.

Разностью первого порядка называется приращение функции при переходе от одного узла к следующему. Вводим обозначения разностей первого порядка:

^Уо = У1 У0, &У1 = Уг Ун • • • > А Уп-1~Уп Уп-V

Заметим, что Ау{ означает разность yi+i—yit т. е. ин­ декс i есть номер начального значения функции.

Разностью второго порядка называется приращение разности первого порядка при переходе от одного узла к следующему. Разности второго порядка (вторые раз­ ности) обозначаются так:

Ьъу0 = Ау1 — Ау0, A2yt — Ay2— Ayit . . . . A2yk = Ayk+i— Ayk

(обратите внимание на смысл индекса разности второго порядка).

Подобным образом вводятся разности третьего, чет­ вертого и т. д. порядков:

A3yk = A2yk+i — A3yk (разность третьего порядка), A*yk — A3yk+1— A3yk (разность четвертого порядка).

Вообще,

Д" = Д ?"1 — Д™-1 (разность порядка т).

Для иллюстрации составим таблицу значений функ­ ции у = х3 с шагом h — \ и найдем разности различных порядков. Получим таблицу разностей. Запишем ее так:

151

Заметим, что в этой таблице расположение записей разностей таково: в одну строчку пишем значения аргу­ мента, функции и всех разностей с одним и тем же ин­ дексом. Например, в первой строке записано х0, у0, ду0,

вается горизонтальной.

Таблицу разностей записывают и иначе: разность пишут в промежутке между теми значениями функции или раз­ ностями низшего порядка, из которых получена данная разность. Таблица, записанная по такому правилу, назы­ вается диагональной таблицей разностей:

Обратим внимание, что в рассмотренной таблице раз­ ностей функции х3 разность третьего порядка есть величина постоянная, а разности четвертого порядка равны нулю.

71°. Применение табличных разностей для контроля вычислений. При составлении таблицы функции у = х 3 с табличными разностями высших порядков мы заметили, что разности третьего порядка постоянны и, стало быть, разности четвертого порядка равны нулю. Ясно, что все разности еще более высоких порядков также равны нулю. Отмеченное свойство присуще, оказывается, любому це­ лому многочлену. Если дан многочлен п-й степени

152

и составлена таблица с постоянным шагом, то все раз­ ности п-го порядка постоянны, а разности (n + 1) -го по­ рядка равны нулю.

Пусть теперь данная функция f(x) не является много­ членом. Для такой функции изложенное свойство разностей не выполняется, никакие разности того или иного порядка не будут постоянными. Однако если на данном промежутке функция является д о с т а т о ч н о г л а д к о й , т. е. ее изменение плавно, нет резких колебаний, то таблица раз­ ностей имеет некоторое сходство с таблицей разностей для многочлена. Разности некоторого порядка становятся почти постоянными, и вообще изменение разностей является плавным. Плавное изменение разностей является призна­ ком того, что табличные значения функции вычислены верно.

Пусть мы вычисляем ряд значений некоторой функции,

врезультате получаем таблицу значений функции. Нам нужно проверить правильность вычислений, или у нас возникло сомнение в правильности готовой таблицы. Свойства разностей высших порядков используются для контроля вычислений, для проверки таблиц. При этом используется следующее свойство разностей высших по­ рядков. Если какое-нибудь значение функции ошибочно, то эта ошибка оказывает большое влияние на разности высших порядков, в какой-то части таблицы разностей резко нарушается плавность их изменений, обнаруживаются неожиданные скачки. Нарушение плавности таблицы раз­ ностей служит признаком того, что в вычислении значений данной функции допущена ошибка, выходящая за пределы заданной точности вычислений. Если это единичная ошибка,

то можно даже установить, в каком именно месте таблицы она допущена.

Вглаве 2 мы рассматривали правила организации вычис­ лений для составления таблицы значений функции. Было рекомендовано составлять вычислительную схему, чертить расчетный бланк. Теперь мы можем сделать к сказанному

вглаве 2 важное добавление. В расчетном бланке следует

приписать еще несколько столбцов, в которых записывать разности нескольких порядков: Ау, А2у, А3//. Эти разности будут служить для контроля правильности вычислений. Плавность изменения разностей служит подтверждением того, что вычисления выполнены верно, нарушение плав­ ности укажет на наличие ошибок в вычислениях.

153

72°. Применение табличных разностей для отыскания производных функций. Пусть функция задана таблицей. Предполагается, что функция имеет производную, тре­ буется найти ее. значение в некоторой точке.

Вспомним определение производной в точке х:

Значит, если Дж мало, то будем иметь приближенное равенство:

{6ЛЗ)

Пусть теперь точка х есть один из узлов xk. Если шаг h мал, то можно в формуле (6.13) положить b x —h, тогда Ду будет совпадать с byk. Получим приближенную фор­ мулу производной:

Приближенная формула производной второго порядка:

(6.15)

Приведенные здесь формулы необладают хорошей точностью, особенно формулы производных второго и высших порядков. Существуют более точные формулы, дающие выражение производных через конечные разности.

П р и м е р . Дана таблица значений функции f{x). Со­ ставив таблицу разностей, найти /' (х0), Г ( х 0).

154

При лго = 0,50 получим:

73°. Интерполяционная формула Ньютона. Пусть дана таблица функции с постоянным шагом h и с разностями до п-го порядка. Требуется найти значения функции при некотором промежуточном значении х. Имеет место сле­ дующая формула, которая называется интерполяционной

формулой Ньютона. Обозначим

Формулу эту выгодно применять для значений х, близ­ ких к х0, например х0 < х < хи 0 < t < 1. Чем больше л, тем точнее может быть получено значение функции. Если положить / г = 1, получим формулу

/ (*) « у0+ tAy0.

Это есть известная формула линейного интерполирования.

Если положить п = 2, получим формулу

Это есть формула квадратичного интерполирования. Фор­ мула (6.17) одна из наиболее удобных на практике фор­ мул квадратичного интерполирования.

П р и м е р . Дана таблица некоторой функции с шагом /1= 0,01. Вычислены разности до второго порядка:

155

Требуется найти значение функции при х = 0,604, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона при

п — 2.

тодами математического анализа выводится формула, даю­ щая оценку погрешности при интерполировании с помощью формулы Ньютона (6.16). Эта формула приведена в главе 10. На основании формулы оценки погрешности выводятся практические правила, позволяющие судить, допустимо ли интерполирование. Именно, доказывается признак допу­ стимости линейного интерполирования, приведенный в гла­ ве 3. Выводится также признак допустимости квадратич­ ного интерполирования:

если разности третьего порядка не более 7 (единиц низшего разряда), то квадратичное интерполирование допустимо.

Упражнения к главе 6

1. Функция у = f (х) задана таблицей:

156

Уз .

7.Дана таблица значений четырехзначных десятичных логарифмов с большим шагом:

Применяя квадратичную интерполяцию по схеме Эйткина, вычислить логарифмы чисел: 61; 62; 70; 71.

8. Дана таблица значений пятизначных натуральных логарифмов с большим шагом:

157

С помощью квадратичной интерполяции по схеме

ставить таблицу разностей от первого до четвертого

Найти, применяя квадратичное интерполирование по

Найти, применяя квадратичное интерполирование по Ньютону, /(1,52); /(1,54); /(1,63).

14. Составить таблицу функции у — ^ J L ==- на отре

ке 2 с шагом / i = 0,l с четырьмя десятичными знаками. Провести контроль вычислений при помощи табличных разностей.

158