книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

Найти приемлемый вид приближающей функции и найти эту функцию, применяя метод выбранных точек, метод натянутой нити и метод средней.

2. Дана таблица:

Найти приемлемый вид приближающей функции и найти эту функцию, применяя метод выбранных точек, метод натянутой нити и метод средней.

3. Дана таблица:

Найти приемлемый вид приближающей функции и найти эту функцию, применяя метод выбранных точек, метод натянутой нити и метод средней.

4. Дана таблица:

Найти приемлемый вид приближающей функции и найти эту функцию, применяя метод выбранных точек, метод натянутой нити и метод средней.

5. Дана таблица:

200

Найти приближающую функцию в виде многочлена вто­ рой степени у —ах2 -\-bx-\-c\ найти параметры по способу наименьших квадратов.

6. Дана таблица:

»

Найти приближающую функцию в виде у = Аха; найти параметры по способу наименьших квадратов.

8. Дана таблица:

Найти приближающую функцию в виде многочлена вто­ рой степени у = ах2 А-Ь\ найти параметры по способу наименьших квадратов.

9. Дана таблица:

Найти приближающую функцию в виде у = ах-\-h; найти параметры по способу наименьших квадратов.

201

Л А Б О Р А Т О Р Н А Я Р А Б О Т А № 5

Составление эмпирических формул способом наименьших квадратов.

З а д а н и е 1. Дана таблица значений функции f(x). Найти приближенное выражение функции в виде много­ члена данной степени (первой степени, второй степени) по способу наименьших квадратов.

П о р я д о к в ы п о л н е н и я з а д а н и я . 1. Со­ ставить точечный график функции по данным таблицы на миллиметровой бумаге. По расположению точек убедиться в том, что многочлен данной степени является подходящей функцией для приближенного выражения функции f(x).

2. Производя необходимые вычисления, составить си­ стему (8.21) или (8.23), решить ее и тем самым найти искомый приближающий многочлен.

3.Найти значения многочлена в данных точках и срав­ нить их с данными таблицы.

4.Построить график многочлена и убедиться в том, что

Найти приближенное выражение функции f(x) в виде сте­ пенной или показательной функции по способу наименьших квадратов.

П о р я д о к в ы п о л н е н и я з а д а н и я . 1. Со­ ставить точечный график функции по данным таблицы. По расположению точек убедиться в том, что степенная или показательная функция является подходящей для приближенного выражения функции f{x).

2. Взять лист логарифмической (если приближающая функция степенная) или полулогарифмической (если при­ ближающая функция показательная) бумаги. Построить точечный график функции по данным таблицы. Убедиться

втом, что точки графика близки к некоторой прямой.

3.Записать искомую функцию в виде у —Сх2 или у=

—Секх. Прологарифмировать, произвести замену перемен­ ных и привести к задаче о приближении функции посредством линейной функции г\—-а^+Ь.

4.Произвести необходимые вычисления, составить си­ стему (8.21). Решить систему и найти а и Ь.

5.Найти параметры С и а (или С и ^ )и записать в окон­ чательном виде искомую функцию.

202

Г л а в а ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 9 ИНТЕГРАЛОВ

§ 25. ФОРМУЛЫ ПРИБЛИЖЁННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

98°. Постановка вопроса. Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей чело­ веческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл.

ь

Пусть требуется вычислить интеграл ^ f(x )d x , где

а

/( х) —данная функция, непрерывная на отрезке [а; Ь]. Если функция f (х) задана формулой и мы умеем найти неопределенный интеграл F(x), то определенный интеграл вычисляется по формуле

(формула Ньютона — Лейбница).

Если же неопределенный интеграл данной функции мы найти не умеем, или по какой-либо причине не хотим вос­ пользоваться формулой (9.1), или если функция fix) задана графически или таблицей, то для вычисления определен­ ного интеграла применяют приближенные формулы.

При рассмотрении вопроса о вычислении интеграла сле­ дует помнить, каков геометрический смысл определенного

ь

интеграла. Если f( x ) ^ 0 на отрезке [а; Ь], то J (x)dx чис-

а

ленно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой х= а и пря­ мой х=Ь (рис. 63, а). Если /(х )< 0 на отрезке [а; b], то ин­ теграл равен площади только что описанной фигуры, взя­ той со знаком минус (рис. 63, б).

Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади некоторой фигуры (фигура опи­ санного типа называется криволинейной трапецией).

203

99°. Формулы приближенного вычисления интегралов.

интеграла \j f(x)dx. Разделим отрезок [а; b] на п равных

а

частей, т. е. на п равных частичных отрезков. Длина

графика функции, соответствующих абсциссам х0, х 1 . . . , х„

(рис. 64).

В математическом анализе выводятся следующие фор­

204

Каждая из этих формул, как правило, дает результат тем точнее, чем больше п. Из всех приведенных формул наиболее точной является формула Симпсона, наименее точны фор­ мулы прямоугольников.

Для получения точности в две-три значащие цифры (в обычно встречающихся задачах) при применении формулы Симпсона бывает достаточно 4— 6 ординат, при применении формулы трапеции — 8— 12 ординат, при применении фор­ мулы прямоугольников — до 24 ординат.

Формулы приближенного вычисления интегралов на­ зываются также формулами механических квадратур.

Смысл формул (9.2), (9.3), (9.4) легко уяснить, исходя из геометрической иллюстрации: в случае, когда f( x ) ^ О, фэрмула (9.2) или (9.3) означает, что площадь криволи­ нейной трапеции приближенно заменяется площадью много­ угольника, составленного из п прямоугольников (рис. 64),

205 .

Уи

формула (9.4) означает, что площадь криволинейной тра­ пеции заменяется площадью многоугольника, составлен­ ного из п трапеций (рис. 65); при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной. Основываясь на геометрической иллюстрации, нетрудно обосновать формулы прямоуголь­ ников и трапеций.

Геометрическая иллюстрация формулы Симпсона состоит в том, что на каждом из с д в о е н н ы х частичных от­ резков заменяем дугу данной кривой дугой графика квад­ ратного трехчлена (т. е. дугой параболы) *. Вся криволи­ нейная трапеция подразделяется на т частичных криволи­ нейных трапеций (рис. 66), каждая из которых ограничена сверху параболой, уравнение которой имеет вид:

y = A x iJrB x+ C .

Интеграл от этой функции вычислить нетрудно. Вычис­ лив интеграл, получим площадь любой из частичных криво­ линейных трапеций. Далее путем алгебраических преобра­ зований доказывается, что площадь k-н частичной криволи­ нейной трапеции равна

(9.6)

Складывая площадь всех частичных криволинейных трапе­ ций (£=1, 2, 3...), получим формулу (9.5).

* П оэтому ф ормулу Симпсона назы ваю т такж е ф о р м у л о й п а р а б о л .

206

100°. Оценка точности формул механических квадратур.

Если функция f(x) задана аналитически, то погрешность формул приближенного вычисления интегралов можно оценить по формулам, которые выводятся методами матема­ тического анализа. Если функция задана графиком или таблицей (что на практике и бывает чаще всего), то эти формулы применять нельзя. Да и в случае аналитического задания функции формулы оценки погрешности обычно бывает трудно применить на практике. Поэтому для оценки точности формул применяются другие приемы.

Для оценки точности формулы Симпсона применяется правило удвоения, которое состоит в следующем.

Вычисляется интеграл по формуле Симпсона при де­ лении отрезка на 4т частей и на 2т пастей. Результаты вычислений обозначим I im и 12т. Совпадение первых знаков у двух полученных результатов дает основание судить о точности найденных значений. Именно, число верных знаков —значения 1Ш на единиц^1 больше числа общих знаков у 1Ш и 12т. Погрешность Iim не превзой­ дет числа

Формулы погрешности, о которых шла речь, таковы. Обозначим M k — max \ fk (х) | на отрезке [а; Ь]. Если ^ — истинная погрешность формулы, т. е. разность между точным значением интеграла и его приближенным зна­ чением, то:

207

1) оценка погрешности формулы трапеций:

трапеций может обеспечить два верных десятичных зна­ ка после запятой. Оценка формулы Симпсона будет

формулу оценки (9.9), устанавливаем, что погрешность формулы не превышает 0,000014. Так как промежуточные результаты будем вычислять приближенно, то надо учесть их погрешности. Если вычислительная погрешность не превысит 0,000036 (чего можно добиться), то окончательный результат получим с четырьмя верными десятичными зна­ ками после запятой. Учтем, что в формуле девять слагаемых. Будем вычислять каждое слагаемое с пятью верными деся­ тичными знаками. Вычисления расположим в таблице

(табл. XXVII).

208

Т а б л и ц а X X V I I

У 1,00000 1,06184 1,12750 1,19722 1,27125 1,34989 1,43333 1,52196 1,61607

’=0,6160774.