книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

резке [0,8; 0,9].

4. Находим /"(х) = 24х2. Видим, что /" (х) > 0 внутри отрезка [0; 1]. Значит, внутри отрезка /' (х) и f" (х) одного

ний корня по методу хорд и касательных будем пользо­ ваться формулами:

(4.27)

(4.28)

/'W ■

5. Составляем расчетную таблицу и производим вычис ления (см. табл. -XV).

120

Т а б л и ц а X V

to

Л А Б О Р А Т О Р Н А Я Р А Б О Т А № 3

Приближенное решение трансцендентного уравнения

Т и п з а д а н и я . Найти корень данного уравнения F(x) = 0 с заданной точностью одним из методов: 1) комби­ нированным методом проб и хорд; 2) комбинированным методом хорд и касательных; 3) методом итераций.

П о р я д о к п р о в е д е н и я р а б о т ы . Если ре­ шено применить метод (1) или (2), то порядок выполнения работы тот, который изложен в работе № 4. Заметим лишь, что при выполнении данной работы следует пользоваться таблицами тех трансцендентных функций, которые содер­ жатся в уравнении (логарифм, тригонометрические функ­ ции и др.).

Приведем план выполнения данной работы в случае применения метода итераций.

1. Графически или другим методом найти грубое при­

ближенное значение корня х0. Отделить корень — найти отрезок [а; й] достаточно малой длины, в котором содер­

жится корень (Хо также находится в этом отрезке).

2. Привести данное уравнение F (х )~ О к виду x — f (х). Из различных представлений уравнения в этом виде

где_<7— малое число, значительно меньшее единицы. (Если

/' (х0) очень мало и длина отрезка [а; й] также очень мала, то эту проверку можно не выполнять.)

4. Составить расчетный бланк для вычисления последо­ вательных приближений, приняв за начальное приближе­

ние Хо или (если окажется удобным) любое другое число из отрезка [а\ й]. (Обозначить начальное приближение х0.)

Провести вычисление последовательных приближений хи я2, ... с одним запасным знаком. Вычисления прекратить, когда совпадут два соседних приближения в пределах заданной точности.

5. Если окажется необходимым, произвести дополни­ тельную оценку точности найденного корня, пользуясь приемами и формулами, изложенными в п. 51°.

122

этого строим графики функций у —\g х и у = 2—5х. Убеж­ даемся в том, что между числами 0,4 и 0,6 содержится единственный корень. За грубое приближенное значение

Вычисления закончили, так как четвертое и пятое приближения совпадают в пределах четырех десятичных знаков. Можем принять, что искомый корень равен 0,4663.

5. Проводим дополнительную оценку точности. Последо­ вательность приближений у нас немонотонная (типа спира­ ли). Поэтому искомый корень \ содержится между двумя со­ седними приближениями, т. е. 0,46626<£<0,46630. Значит, число 0,46630 есть приближенное значение с погрешностью, меньшей* чем 0,00004, т. е. меньшей половины четвертого десятичного знака. В записи корня 0,4663 все цифры верны.

.123

Глава Решение систем линейных уравнений

§

§ 15. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

52°. О системах линейных уравнений. Многие задачи практики приводят к необходимости решать системы ли­ нейных уравнений. При конструировании инженерных сооружений, обработке результатов измерений, решении задач планирования производственного процесса и ряда других задач техники, экономики, научного эксперимента приходится решать системы линейных уравнений.

При решении конкретных жизненных задач составляются системы линейных уравнений с многозначными коэффициен­ тами. При этом встречаются системы с большим числом неизвестных (десятки, даже сотни неизвестных). Например, решение задачи на расчет напряжения в конической обо­ лочке привело к такой системе уравнений с неизвестными

С С '

( 0,18037^ —0 ,11489C2-0,011341j3,

\ 0,18931^ + 0,11672G, = 0,79906• 10~3р,

где Р — некоторое число, зависящее от физических характе­ ристик оболочки.

В одной из научных лабораторий при расчете на изгиб лопастей гидротурбин пришлось решать системы до 40 ли­ нейных уравнений с таким же числом неизвестных. При составлении карт по данным геодезической съемки мест­ ности приходится решать системы нескольких сотен урав­ нений.

Для решения систем большого числа уравнений, да еще с многозначными коэффициентами, требуется выпол­ нение большой вычислительной работы. Так, для решения системы 10 уравнений с 10 неизвестными требуется произ­ вести от 430 до 396 000 000 умножений и делений в зависи­ мости от выбранного метода. Поэтому с точки зрения вы­ числителя важно выбрать метод решения системы, который требовал бы возможно меньшего числа арифметических операций. При этом метод должен быть таков, чтобы он

124

позволял достаточно эффективно использовать вычисли­ тельную технику.

Будем применять такие обозначения. Неизвестные будем обозначать х, у, z, ..., а также хх, х2, ..., хп; коэффициенты при неизвестных — одной буквой а с двумя индексами. Так, система трех уравнений с тремя неизвестными запи­ шется следующим образом:

или просто (х?, х\, xlj). Напомним, что решением системы уравнений называется совокупность значений неизвест­ ных, которая при подстановке в данную систему обра­ щает все уравнения в верные числовые равенства.

53°. Метод исключения. Схема единственного деления.

Основной метод решения системы уравнений — метод иск­ лючения неизвестных. Метод исключения известен из об­ щего курса математики. Он может быть реализован разными способами. Наиболее известные — способ сложения и вы­ читания, способ подстановки.

Способ подстановки может осуществляться по-разному. Мы рассмотрим способ, осуществляемый по некоторой определенной схеме, называемой схемой единственного деления.

Эта схема состоит в следующем. Пусть дана система трех

125

В ходе вычислений мы находим числовые коэффициенты a la, a i3> Pi, «22 и т. д. Они получаются из известных или ранее найденных коэффициентов. Можно было бы записать в общем виде формулы, определяющие эти за­ висимости. Например,

В результате этих пяти шагов получаем систему:

!xl = a isx2 + a 13x3 + ^1,

Эта система характерна тем, что первое уравнение содержит все три неизвестных, второе — два, третье — одно. Такая система называется треугольной.

Описанный процесс исключения неизвестных, который привел к треугольной системе (5.8), называется прямым ходом.

Из системы (5.8) последовательно получаем все неиз­ вестные. Это обратный ход.

Описанную схему можно применить к системе линейных уравнений с любым числом неизвестных.

Гаусс предложил ряд схем решения системы методом исключения неизвестных, в их числе — рассмотренная нами схема единственного деления.

54°. Вычислительная схема. Способ Гаусса является одним из удобных способов численного решения систем уравнений. Для того чтобы осуществить на практике вы­ числения по этому способу, нужно разработать хорошую

126

'вычислительную схему, обеспечивающую такой порядок вычислений, при котором эти вычисления выполняются

механически, без обдумывания существа каждого шага. Разработанная таким образом вычислительная схема поз­ воляет успешно решать систему ручным способом. Эта же схема служит основой составления программы для вычис­ лений на ЭВМ.

неизвестных и свободные члены. В последнем столбце (под­ писанном «Суммы») записываем сумму всех чисел данной строки, записанных левее этого последнего столбца (роль этой записи выяснится позлее, в следующем пункте). Ока­

коэффициенты уравнения (5.2) или, что то же, коэффи­ циенты первого из уравнений системы (5.8). Для этих коэффициентов есть формулы, но в процессе вычисления следует пользоваться таким механическим правилом (ко­ торое следует из формул): в каждой клетке четвертой строки записывается число, которое получается при делении соот­ ветствующего элемента первой строки на ее крайний ле­ вый элемент, взятый с противоположным знаком (т. е.

н а —ап). По тому же правилу заполняется последний стол­ бец четвертой строки (число yt).

З а п о л н е н и е с т р о к 5 и 6. В эти строки за­ писываются коэффициенты системы (5.3). Механическое правило таково. Для заполнения клетки строки 5 берется соответствующий элемент строки 2 и прибавляется про­ изведение крайнего левого элемента строки 2 на стоящий над данной клеткой элемент строки 4. Подобным образом Заполняется и строка 6, только вместо строки 2 исполь­ зуются данные строки 3. Заметим, что крайние левые клетки строк второго этапа остаются пустыми.

Далее заполняются клетки строки 7, в которые вписы­ ваются коэффициенты уравнения (5.4). Механическое пра­ вило здесь таково. В каждую клетку строки 7 (кроме край-

127

ней левой) записывается число, полученное от деления соответствующего элемента строки 5 (т. е. первой строки данного этапа) на ее крайний левый элемент, взятый с про­ тивоположным знаком.

Наконец, заполняются строки 8 и 9 (этап А 3). Строка 8 заполняется с использованием строк 6 и 7, строка 9 — с ис­ пользованием строки 8. На этом заканчивается прямой ход.

Приступаем к осуществлению обратного хода (этап В). Здесь в клетку «Свободные члены» ставится единица. В клетки «лгг » , «х2», « Х з » последовательно вписываются зна­ чения неизвестных. Эти значения определяются форму­ лами (5.9), но они вычисляются по следующему механи­ ческому правилу. Строки, в которые вписаны греческие буквы, отметим каким-нибудь знаком, например, будем называть их красными. Для заполнения клеток строки 10 поступаем так. Сначала вписываем х3, затем х2, затем х{.

В ы ч и с л е н и е х3. Берем число, стоящее в сосед­ ней клетке справа (т. е. 1), и умножаем на стоящее над ним число красной строки предыдущего этапа (т. е. р*).

Вы ч и с л е н и е х2. Берем все числа, стоящие в со­ седних клетках той же строки справа (т. е. ха и 1), и исполь­ зуем красную строку этапа Л а. Каждое из чисел, стоящих справа, умножаем на число, стоящее над ним в указанной красной строке. Сумма найденных произведений и есть х2.

Вы ч и с л е н и е x t. Берем все числа, стоящие в со­ седних клетках той же строки справа (т. е. хг, х3, 1), и ис­ пользуем красную строку этапа A t. Каждое из чисел, стоя­ щих справа, умножаем на число, стоящее над ним в указан­

ной красной строке. Сумма найденных произведений и есть хи

На этом решение системы заканчивается. В ходе вы­ числений в каждом шаге и после выполнения всей работы следует проводить контроль. О методах контроля будет сказано в следующем пункте.

55°. Контроль вычислений. Наряду с данной системой рассмотрим вспомогательную систему с теми же коэффи­ циентами при неизвестных, но со свободными членами, рав­ ными си с2, с3 (таблица XVII, столбец «Суммы»). Оказы­ вается, если числа хи хи х 3удовлетворяют исходной системе, то числа х,—1, хг—1, xs—l удовлетворяют вспомогательной системе.

Отсюда получаем такой способ контроля: параллельно с решением данной системы решить вспомогательную си-

128

стему со свободными членами сх, с2, с3. Мы получим решение данной системы — тройку чисел хи х2, х3 — и решение

вспомогательной — х1у х2, х3. Если (быть может, с некоторой

незначительной погрешностью) числа хх, х2, х3 будут соот­ ветственно на единицу меньше чисел хх, х2, х3, то мы можем быть уверены, что решение верно. Чтобы параллельное решение вспомогательной системы выполнять без большой дополнительной работы и больших дополнительных запи­ сей, будем это решение осуществлять на той же расчетной таблице, пользуясь записями в столбце «Сумма». Этот столбец должен играть ту же роль, что и столбец «Свобод­ ные члены», для решения основной системы.

На заключительном этапе (этап В) мы по описанной схеме вычислим хх, х2, х3, и по той же схеме вычислим