книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

62

Глава УСТРОЙСТВО И УПОТРЕБЛЕНИЕ 3 МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТАБЛИЦ

§ 9. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ТАБЛИЦАХ

29°. Математические таблицы. В вычислительной прак­ тике широкое применение находят таблицы значений раз­ личных функций. Таблицы являются важным средством вычислений. Существуют различные сборники таблиц и спра­ вочники, в которых помещены таблицы значений разных функций (чаще всего приближенных значений). Наиболее часто применяются в практике вычислений таблицы таких

функций: а) алгебраических: х2, я3, У х , У х (квадратов,

кубов, корней квадратных, корней кубических), (обрат­

ных величин); б) трансцендентных: sin х, cos х, tg х, ctg х, логарифмической, показательной функции.

Простейшие таблицы устроены так. В первом столбце помещается ряд значений аргумента (х0, лч, хг, ...), во втором

(у нас табл. VIII).

Разность между двумя соседними значениями аргу­ мента в таблице называется, как известно, ш а г о м т а б ­ л и ц ы:

Лл=**+1— хк.

В большинстве таблиц шаг есть величина постоянная; будем его обозначать просто h. В таблице VIII Л=0,01.

Разность между двумя соседними значениями функции называется табличной разностью: 6.yk= y h+ l—y k.

Табличные разности обычно выражаются в единицах низшего разряда. В таблице VIII табличные разности за­ писаны в сотых долях, фактически они равны: 0,12; 0,12; 0,13; 0,12.

В таблицах обычно все цифры в записи значений функ­ ции верны, т. е. абсолютная погрешность не превышает половины единицы низшего разряда.

64

30°. Линейная интерполяция. Таблица функции y= f(x) дает непосредственно значения этой функции только для тех значений аргумента, которые содержатся в таблице. Между тем часто требуется определить значения функции для значений аргумента, не содержащихся в таблице, т. е. для промежуточных значений аргумента. Например, пусть требуется найти х 2 при х —6,134 по таблице VIII. Значения х=6,134 нет в таблице, это значение заключено между соседними табличными значениями 6,13 и 6,14.

Задача об отыскании значения функции для промежу­ точных значений аргумента решается при помощи интер­ поляции. Простейшим видом интерполяции является ли­ нейная интерполяция. Принцип линейной интерполяции разберем на только что приведенном примере. Итак, мы знаем из таблицы значения функции х2при таких значениях аргумента:

Табличная разность Ay0= l/i—р»=12 (в единицах низшего разряда, т. е. в сотых долях).

Мы видим, что когда аргумент увеличился на 10 единиц (в тысячных долях) по сравнению с начальным значе­ нием 6,130, то функция увеличилась на 12 единиц (в сотых долях). На сколько же увеличится функция, когда аргу­ мент увеличится на 4 единицы? Обозначим это искомое приращение функции Ау. При малых изменениях аргу­ мента можно допустить (и в этом заключается основная

идея метода линейкой интерполяции), что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Значит,

можно записать пропорцию:

Д^__4

12 10 ’

Отсюда Ау—4,8. Округляя, получим Дг/=5 (в сотых долях). Итак, искомое значение функции равно 37,58+0,05=37,63.

С геометрической точки зрения линейная интерполяция - означает, что на отрезке 1л0; x j дугу кривой, которая является графиком функции, заменяем хордой этой дуги, т. е. истинный криволинейный график функции прибли­ женно заменяем прямолинейным (рис. 11), Для прямоли­ нейного графика как раз и характерно то, что прираще­ ние у пропорционально приращению х.

Проведенные рассуждения можно в общем виде вы­ разить посредством формул. Пусть х0 и хх—два соседних табличных значения аргумента, им соответствуют значе­ ния функции у0 и ух, которые можно найти по таблице.

Обозначим: х —х0 = Дх; у —у0~ А у . Достаточно найти Ду (эта величина называется поправкой). Так как мы до­ пускаем, что приращение функции пропорционально приращению аргумента, то

Ду Ах

66

Пользуясь формулой (3.1), найдем поправку:

—7

Ay = jq • 66 = 46,2 (тысячных).

Отсюда у = 3,242 + 0,046 = 3,288. Итак, 1,487* = 3,288.

По формуле (3.1) получим:

дУ = - Ш * ( - 2 2 ) « - 7 .

Следовательно, у = 0,4717 — 0,0007 = 0,4710.

— 0

По формуле (3.1) находим Аг/ = ~ • 24 = 14,4 л* 14 (деся­

чение аргумента х заключено между 1,48 и 1,49, поэтому можем опять воспользоваться таблицей IX. Табличная разность равна 66. Таблица XI содержит часть таблицы РР

66По таблице РР (таблица XI) по­ правка на последний десятичный

£8

Условие допустимости линейной интерполяции. Приме­ нить линейную интерполяцию формально всегда можно, но получим ли мы в результате достаточно точное значение функции? Применение линейной интерполяции может удов­ летворить в том случае, если значение функции, полученное посредством интерполяции, будет иметь ту же точность, что и табличное значение функции. Если таблица (или некоторая ее часть) удовлетворяет этому требованию, то говорят, что линейная интерполяция для данной таблицы (или для соответствующей ее части) допустима.

Методами математического анализа доказывается, что

Таблица А допускает линейную интерполяцию. Таб­ лица В не допускает линейной интерполяции.

Обычно при составлении таблиц стараются удовлетво­ рить требованию допустимости линейной интерполяции.

§ 10= ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ТАБЛИЦ

3!°. О таблицах логарифмической функции. Основанием логарифмов может быть любое положительное число а, отличное от 1. Логарифмическая функция с основанием а записывается так: y —\ognx. Широко применяются десятич­ ные логарифмы, т. е. логарифмы по основанию 10. Во всех сборниках таблиц помещают таблицы десятичных лога­ рифмов.

69