Тема 3. Произвольная система сил.

§ 1.Теорема о параллельном переносе силы.

Теорема: Силу можно эквивалентно переносить параллельно самой себе в любую точку твёрдого тела, добавляя при этом пару сил с моментом, равным произведению этой силы на расстояние между линиями действия.

Пусть сила F приложена в точке А.(рис.18).

Рис.18

Для параллельного переноса этой силы в новой точке приложения В приложим две взаимно.

Полученная система, составленная из 3-х сил эквивалентна одной исходной силе. С другой стороны система из 3-х сил эквивалентна одной силе F, приложенной уже в точке В и паре сил, момент которой равен

М = F * h.

Теорема доказана.

§ 2.Теорема о приведении произвольной системы сил к заданному центру(основная теорема статики).

Теорема: произвольную систему сил можно привести к заданному центру в виде главного вектора сил и главного вектора моментов.

Пусть задана система сил F₁;F₂...F_n как угодно расположенных в пространстве, заданном координатами XYZ (рис.19).

Используя теорему о параллельном

переносе силы, перенесём все силы

системы в начало координат О.

Каждая переносимая сила F_i

изобразится равным вектором

с добавлением вектора момента,

перпендикулярного плоскости, в

которой лежит переносимая сила.

В результате в точке О получим

систему сходящихся сил и систему

сходящихся моментов.

Рис 19.

Складывая векторно силы и моменты, получим:

1.Один вектор сил, называемый главным вектором сил системы.

2.Один вектор моментов, называемый главным вектором моментов системы сил.

Теорема доказана.

Главный вектор сил _ и главный момет системы сил _ можно представить в виде проекций на оси координат:

,

где F_глX=F_1x+F_2x+...+F_nx;

так что

Главный вектор системы сил не зависит от выбора центра приведения (полюса), а главный момент- зависит.

Из приведённых рассуждений вытекают два важнейшие свойства:

1.Главный вектор сил системы не зависит от выбора местоположения точки приведения О.

2.Главный момент сил изменяется при изменении местоположения точки приведения О.

Интересно отметить, что при приведении некоторой системы сил к заданному центру могут встретиться четыре различных случая.

1 случай: Система сил в точке О приводится к главному вектору сил и главному моменту : (этот случай разобран выше).

2 случай: Система сил в точке О приводится только к главному вектору сил.

В этом случае говорят, что система сил приводится к равнодействующей. Заметим, что при выборе любого другого центра приведения 2-й случай переходит в 1-й случай (смотри ниже теорему Вариньона).

3 случай: Система сил в точке О приводится только к главному моменту системы сил:

В этом случае говорят, что система сил приводится к паре сил с главным моментом. Поскольку вектор пары сил является свободным, то 3-й случай будет справедлив для любого центра приведения.

4 случай: Система сил в точке О приводится к отсутствию главного вектора сил и главного момента системы сил

Из предыдущего следует, что это сочетание остаётся справедливым для любого центра приведения. 4-й случай соответствует условию равновесия заданной системы сил.