Тема 18. Элементы аналитической механики.

Общие теоремы динамики и следствия из них, рассмотренные ранее, позволяют исследовать механическое движение в различных технических задачах. Однако в ряде случаев применение их связано с определёнными трудностями, а порой предполагаются громоздкие рассуждения.

Методы аналитической механики, основы которой заложены Лагранжем, позволяют исследовать механическое движение без использования общих теорем динамики и иногда более эффективно. Рассмотрим некоторые из них, допуская при этом несколько упрощённые рассуждения и ограничиваясь изучением механических систем с одной степенью свободы. Предварительно введём некоторые понятия аналитической механики.

§ 1. Понятие об идеальных связях и обобщённых координатах механической системы.

Как правило, на материальные точки, составляющие данную механическую систему, наложены связи, ограничивающие свободу перемещения этих точек. Наиболее характерные виды связей рассмотрены в статике. В результате взаимодействия материальных точек со своими связями возникают силы реакции.

Связь называют идеальной, если работа силы реакции R на любом перемещении, допускаемом связью, равна нулю.

Для идеальной связи dA=

Примерами идеальных связей могут служить: гладкая поверхность, гибкая нить, идеальный шарнир, абсолютно твёрдый каток и др.

При изучении движения изолированных материальных точек их положение в пространстве относительно некоторого полюса принято определять радиус-вектором или соответствующими координатами, например декартовыми X _i ,Y_i, Z _i .

Механическая система - определённая совокупность взаимосвязанных материальных точек. Для описания её движения иногда целесообразно отказаться от векторного или координатного метода описания движения каждой её точки, так как при этом может получиться сложная и громоздкая система уравнений, включающая и кинематические уравнения связей.

Поэтому для описания движения механических систем удобнее пользоваться так называемыми обобщёнными координатами.

Обобщёнными координатами механической системы называются независимые величины, однозначно определяющие положение её точек.

Обобщённые координаты будем обозначать: q₁,q₂...

Приведём примеры обобщённых координат:

а) При поступательном движении твёрдого тела достаточно задать три координаты его центра масс, чтобы знать

координаты любой другой точки.

Следовательно: q₁=X _c(t); q₂=Y_c(t); q₃=Z _c(t).

б) При вращательном движении твёрдого

тела достаточно задать угол поворота, чтобы

вычислить координаты точки, удалённой на

радиус r _i от оси вращения.

X _i=r_i cos(t)

Y_i=r_i sin(t)

Следовательно, q=(t).

в) При плоском движении твёрдого тела обобщёнными координатами могут быть:

q₁=X _c(t)

q₂=Y_c(t)

q₃=(t)

В наиболее распространённых задачах

механики в качестве обобщённых координат

обычно назначают линейные либо угловые

величины. Наименьшее число независимых

обобщённых координат, которыми можно задать

движение механической системы, называют числом степеней свободы.

Так поступательно движущееся в пространстве твёрдое тело имеет три степени свободы, при вращении- одну степень свободы.

Поскольку обобщённые координаты являются функциями времени, то производные по времени от обобщённых координат называются обобщёнными скоростями.

Так, если q₁=X, то - обобщённая скорость по координате q₁;

q₂=, то - обобщённая скорость по координате q₂.