- •Теоретическая механика
- •§ 2 Аксиомы статики
- •5. Аксиома равенства действия и противодействия:
- •§ 3 Связи. Силы реакции связей. Аксиома связей
- •Тема 2. Момент силы пара сил.
- •§ 1. Момент силы относительно точки и оси.
- •§ 2.Пара сил и её свойства.
- •Тема 3. Произвольная система сил.
- •§ 1.Теорема о параллельном переносе силы.
- •§ 2.Теорема о приведении произвольной системы сил к заданному центру(основная теорема статики).
- •§ 3. Уравнения равновесия произвольной системы сил.
- •§ 4. Теорема Вариньона.
- •§ 5.Уравнения равновесия системы сил в некоторых частных случаях.
- •§ 6. Решение задач на равновесие тела под действием пространственной системы сил.
- •Тема 4. Параллельные силы. Центр тяжести. Силы трения.
- •§ 1. Система параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести твёрдого тела.
- •§ 3. Равновесие при наличии трения.
- •Раздел 2. Кинематика.
- •Тема 5. Кинематика точки.
- •§ 1. Векторный способ задания движения точки.
- •§ 2. Координатный способ задания движения точки.
- •§ 3 Естественный метод задания движения точки.
- •Тема 6. Простейшие движения тела.
- •§1. Поступательное движение твёрдого тела.
- •§ 2. Вращательное движение твёрдого тела.
- •Тема 7. Плоскопараллельное (плоское) движение тела.
- •Тема 8. Сложное движение точки.
- •§ 1. Понятия и определения.
- •§ 2. Теорема о скоростях точки при сложном движении.
- •§ 3. Теорема об ускорениях точки тела при сложном движении (теорема Кориолиса).
- •§ 4. Ускорение Кориолиса, его величина и направление; кинематический смысл.
- •Раздел 3. Динамика.
- •Тема 10. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 1. Основные аксиомы динамики точки.
- •§ 2. Прямая и обратная задача динамики материальной точки.
- •§ 3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •Тема 11. Колебания материальной точки.
- •§ 1. Введение
- •§ 2. Свободные колебания материальной точки (без учёта сил вязкости).
- •§ 3. Вынужденные колебания материальной точки.
- •Тема 12. Динамика относительного движения материальной точки.
- •Тема 13. Введение в динамику системы материальных точек.
- •§ 1. Основные свойства механической системы.
- •§ 2. Дифференциальное уравнение движения точек механической системы
- •§ 3. Теорема о движении центра масс механической системы.
- •§ 4. Понятие о моментах инерции твёрдого тела.
- •Тема 14. Общие теоремы динамики материальной точки и механической системы.
- •§ 1. Теорема об изменении количества движения.
- •§ 2. Теоремы об изменении момента количества движения.
- •§ 3. Теоремы об изменении кинетической энергии.
- •Тема 16. Элементарная теория удара .
- •§ 1. Общие теоремы теории удара.
- •§ 2. Удар шара о неподвижную поверхность.
- •§ 3. Прямой центральный удар двух тел( двух шаров).
- •§ 4. Удар по вращающемуся телу. Центр удара.
- •Тема 17. Метод кинетостатики.
- •§ 1. Метод кинетостатики для материальной точки.
- •§ 2. Метод кинетостатики для твёрдых тел и механической системы.
- •Тема 18. Элементы аналитической механики.
- •§ 1. Понятие об идеальных связях и обобщённых координатах механической системы.
- •§ 2. Принцип возможных (виртуальных) перемещений.
- •§ 3. Общее уравнение динамики.
- •§ 4. Уравнение Лагранжа II рода.
- •§ 5. Применение методов аналитической механики для анализа поведения механических систем в некоторых частных случаях.
§ 3. Теоремы об изменении кинетической энергии.
Кинетическая энергия - некоторая мера механического движения, характеризующая способность материального объекта совершать работу за счёт этого механического движения.
Как правило, работу совершают силы. Исходя из этого, иногда кинетическую энергию называют живой силой.
Рассмотрим более подробно понятия работы и кинетической энергии и установим связь между ними.
а) Работа силы и мощность.
Пусть на некоторый движущийся материальный объект действует сила , приложенная в точке А (рис.68).
Элементарной работой силы
на элементарном перемещении d
называют скалярное произведение:
dА=[Hм]
Из определения следует, что в зависимости
от угла между векторами силы и
перемещения элементарная работа
может быть положительной, отрицательной и равной нулю.
Используя свойства скалярного произведения векторов, можно записать:
Работа силы на конечном перемещении определится интегралом:
Используя полученные выражения, рассмотрим примеры вычисления работы силы в частных случаях:
1. Работа постоянной силы на прямолинейном участке перемещения:
2. Работа силы тяжести на любой форме траектории.
Из рис.71 следует, что FX=FY=0; FZ= -P.
AP=PH (2)
Замечаем, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории и определяется только перепадом высот Н. Силы, работа которых не зависит от формы пути, называют потенциальными.
3. Работа упругой силы линейной пружины.
FY=FZ=0; dY=dZ=0
Aпр=(3)
4. Работа силы, приложенной к вращающемуся телу.
dA=FdS=F r d, но Fr=M0, следовательно:
A=(4 )
Работоспособность силы определяется не
только величиной перемещения её точки
приложения, но и скоростью изменения
работы в единицу времени - мощностью
силы. N=
Таким образом: Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости.
Для силы, приложенной к вращающемуся телу
N=
Мощность измеряется:
в СИ - в Ваттах= 1Дж/с=Нм/с (1000Вт=1кВт)
в технической системе единиц - в кГм/с; 75кГм/с=1 лошадиная сила; (1л.с.=736Ватт).
б) Кинетическая энергия материальной точки и механической системы.
Кинетической энергией материальной точки называют скалярную величину, определяемую выражением:
Т=m[кГм2/с2 Джоуль]
Кинетическая энергия механической системы определяется суммой кинетических энергий материальных точек системы:
Т=
Рассмотрим примеры вычисления кинетической энергии твёрдого тела при различных случаях его движения:
1. При поступательном движении:
При поступательном движении скорости всех точек тела одинаковы, следовательно:
Тпост.=(5)
2. При вращательном движении:
При вращательном движении скорость любой точки тела равна V= r i
Следовательно,
Tвращ. =(6)
3. При плоском движении:
Плоское движение можно представить как совокупность поступательного движения вместе с
полюсом- центром масс и вращательного-
относительно центра масс.
Следовательно:
Тпл=(7)
в) Теорема об изменении кинетической
энергии материальной точки.
Запишем основное уравнение динамики точки:
mи умножим его обе части скалярно на вектор скорости:
m
Преобразуем: mVdилиили
Таким образом: dТ=dA.
В результате интегрирования будем иметь:
Т=А+С1
(при t=0 Т=Т0, А=0, так что С1=Т0)
Таким образом: Т-Т0=А или
(8)
Получили выражение, характеризующее Теорему об изменении кинетической энергии материальной точки, которая формулируется следующим образом:
“Изменение кинетической энергии материальной точки при её перемещении на некотором участке пути равно работе силы(равнодействующей сил), приложенной к точке, на этом участке пути.”
г) Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.
Кинетическая энергия механической системы определяется выражением:
Т=, где Т i - кинетическая энергия произвольной материальной точки системы.
Для этой точки можно записать:
Т i -Т0i=A i
Просуммировав кинетические энергии для всех точек системы, получим:
Т-Т0 = А (9)
Получили выражение, характеризующее Теорему об изменении кинетической энергии механической системы:
“ Изменение кинетической энергии механической системы равно сумме работ сил, приложенных к точкам системы.”
Примечание: Как указывалось ранее, силы, действующие на точки системы, делятся на внешние и внутренние. Поэтому и сумму работ в выражении (9) можно представить как суммы работ внешних и внутренних сил:
А=
Для механических систем с неизменяемой конфигурацией(твёрдых тел) сумма работ внутренних сил при любом перемещении равна нулю. Поэтому для твёрдых тел выражение (9) запишется в виде:
Т-Т0=(9 a)
д) Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии.
Работа, которую может совершить потенциальная сила при перемещении из одной точки пространства в другую, называется потенциальной энергией.
Так материальная точка с массой m, поднятая на высотуН, может совершить работу:
Н
Заметим, что в процессе реализации работы силы тяжести её потенциальная энергия убывает, т.е. dA=- dП.
Ранее было получено дифференциальное уравнение dТ=dA, которое для потенциальных сил можно переписать:
dТ=- dП
или после интегрирования: Т= - П+С (10)
Полученное выражение можно записать словами:
Для механических систем, движение которых происходит под действием только потенциальных сил, сумма кинетической и потенциальной энергий есть величина постоянная.
Постоянная С в уравнении (10), равная сумме кинетической и потенциальной энергий, называется механической энергией(Е). Таким образом:
Т+П=Е=const (10а)