Тема 16. Элементарная теория удара .

При действии обычных сил на материальные объекты скорости их изменяются плавно и непрерывно. Однако встречаются случаи, когда скорости за ничтожно малый промежуток времени получают конечные изменения.

Явление, при котором скорости точек тела за ничтожно малый промежуток времени изменяются на конечную величину, называется ударом.

Силы, при действии которых происходит удар, называют ударными силами (ударными нагрузками). Ударные силы могут быть очень велики. Их используют для получения заданной деформации тел (например, при забивке свай, при ковке металлов).

Результат действия ударной силы на материальную точку оценивается ударным импульсом:

(1)

Это уравнение называют основным уравнением теории удара; оно играет такую же роль, как и уравнение при изучении движения под действием неударных сил.

При ударе основные теоремы динамики претерпевают некоторые изменения, обусловленные особенностями действия ударных сил. В дальнейших рассуждениях будем полагать, что вследствие кратковременности действия ударной силы:

1) Действием неударных сил за время удара можно пренебречь.

2. Перемещение тел за время удара можно не учитывать.

§ 1. Общие теоремы теории удара.

а) Теорема об изменении количества движения.

Эту теорему для случая удара легко получить из основного уравнения (1) :

Для материальной точки:

Для механической системы:

()

Таким образом:

(2) или

(2а)

Получили: Изменение количества движения механической системы за время удара равно сумме внешних ударных импульсов.

Внутренние ударные импульсы взаимно уничтожаются и не могут изменить количество движения всей системы (например, при внутреннем взрыве).

б) Теорема об изменении момента количества движения.

Эту теорему для случая удара также получим из основного уравнения (1).

Для материальной точки:

Умножим это уравнение векторно на радиус-вектор точки, проведённый из заданного полюса О

или

Для механической системы:

()

Таким образом: (3)

Получили: Изменение момента количества движения механической системы за время удара равно сумме моментов ударных импульсов относительно заданного полюса О.

Как и в предыдущем случае, моменты внутренних ударных импульсов взаимно уничтожаются и не могут изменить момент количества движения всей системы.

в) Теорема об изменении кинетической энергии.

Эту теорему для случая удара записывают не в обычном виде , поскольку о допущении о неподвижности точек в момент удара невозможно вычислить работу ударных импульсов как произведение как произведение силы на перемещение. Однако в большинстве случаев при ударе происходит потеря кинетической энергииТ_уд и теорему об изменении кинетической энергии при ударе записывают в виде:

(4)

Рассмотрим примеры использования общих теорем теории удара .

§ 2. Удар шара о неподвижную поверхность.

Коэффициент восстановления при ударе.

Следует различать центральный и нецентральный удар.

При центральном ударе скорость шара нормальна

к поверхности. В момент удара кинетическая энергия шара переходит в потенциальную

энергию упругой силы и частично рассеивается

на взаимную деформацию шара и поверхности в

виде тепловой энергии. Затем потенциальная

энергия упругой силы превращается в

кинетическую и практически мгновенно

вектор скорости до удара изменяется

до после удара. Из-за остаточных

деформаций и нагрева V₂V₁. Величину k=V₂/ V₁

называют коэффициентом восстановления при ударе.

Его можно определить опытным путём, сравнивая

высоты бросания(h₁) и отскока(h₂).

Действительно:

k=

По величине k различают:

- абсолютно упругий удар ( k=1; V₂=V₁)

- абсолютно неупругий удар ( k=0; V₂=0)

- не вполне упругий удар (0 k  1; V₂V₁)

Вычислим потерю кинетической энергии при центральном ударе шара о неподвижную поверхность:

При нецентральном ударе шара о гладкую поверхность под углом  к централи (рис.88) происходит изменение лишь нормальной составляющей скорости.

На рис.88  - угол падения;  - угол отражения

tg= ; tg=

Следовательно:

То есть при абсолютно упругом

ударе (k=1)угол падения равен углу

отражения. При абсолютно неупругом

ударе (k=0) шарик, деформируясь,

рикошетирует по касательной к поверхности.

При не вполне упругом ударе угол отражения  больше угла падения  .

Вычислим потерю кинетической энергии при нецентральном ударе шара о неподвижную поверхность: