§ 2. Прямая и обратная задача динамики материальной точки.
Запишем основное
уравнение динамики материальной точки
в виде:
.
Замечаем, что это
уравнение связывает кинематический
параметр точки её ускорение
с динамической характеристикой
равнодействующей сил
.
Следовательно, при решении этого
уравнения возможны две противоположные
задачи:
Прямая задача динамики: по кинематическому характеру движения материальной точки (вообще материального объекта) определить силу (силы), вызывающую это движение.
Обратная задача динамики: По заданной силе (силам), действующим на материальную точку (материальный объект) определить кинематические параметры её движения.
Заметим, что со времён Ньютона механики мало уделяли внимания прямой задаче. Их усилия вот уже 300 лет в основном сосредоточены на методах решения обратной задачи. Решение обратной задачи представляет содержание специального раздела математического анализа-теории дифференциальных уравнений.
Рассмотрим более подробно алгоритмы решения прямой и обратной задач динамики материальной точки.
Прямая задача: В
общем случае задана масса точки m и
кинематическое уравнение её движения
.
Алгоритм решения:
.
Замечаем, что решение прямой задачи динамики предполагает двойное дифференцирование исходного кинематического уравнения движения материальной точки.
Примечание: При решении конкретных задач динамики материальной точки целесообразно кинематическое уравнение её движения записывать не в векторной форме, а в координатной, либо в естественных осях.
В этом случае алгоритмы решения получат вид:
а) В координатной форме:
б) В естественных осях:
S=f(t)
Пример:
Точка с массой m движется в плоскости
XY согласно уравнениям:
X=A*cos
;
Y=Asin
.
Определить силу, вызывающую это движение.
Решение:
.
Обратная задача: В общем случае задана масса точки m и сила(силы), действующие на точку.
Алгоритм решения:
.
Замечаем, что решение обратной задачи динамики предполагает двойное интегрирование исходного динамического уравнения движения материальной точки.
Как и в прямой задаче, интегрирование основного уравнения динамики материальной точки удобнее производить, если оно записано в координатной форме или с использованием естественных осей. Основное уравнение динамики материальной точки, записанное в координатной форме или в естественных осях, называется дифференциальными уравнениями движения материальной точки.
§ 3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
а) В координатной форме:
m
В результате выполнения первого шага интегрирования определяются VX,VY,VZ. Далее записываются дифференциальные уравнения для второго шага интегрирования:
В процессе интегрирования дифференциальных уравнений появляются константы интегрирования (в общем случае их будет шесть), которые следует определять по начальным условиям каждой конкретной задачи.
Следует также иметь в виду, что дифференциальные уравнения движения материальной точки с конкретной правой частью описывают её движение до тех пор пока не изменились силы, определяющие правую часть уравнений. Если в какой-то момент времени или на каком-то участке траектории изменился характер действия сил, то для описания последующего движения точки следует составить новую системудифференциальных уравнений. При конечные параметры предыдущего участка движения являются начальными параметрами для последующего.
б) В естественных осях:
Основное уравнение
динамики в векторной форме ;
(3);
проекция равенства
(3) на касательную:
;
проекция равенства
(3) на нормаль:
,
где
Пример: Материальная точка с массой m подвешена к концу невесомой нити длиной l. Толчком точке придана начальная горизонтальная скорость V0.
Найти закон изменения скорости точки в зависимости от угла .
Определить силу натяжения нити N при угле .
Запишем динамические уравнения движения точки в естественных осях:
Для интегрирования 1-го уравнения выполним
замену переменной:
Таким образом:
VdV=-glsin
d
Интегрируем:
Находим С1;
при =0,
V=V0,
следовательно
,
таким образом:
или
Из уравнения 2:
N=
.