Тема 14. Общие теоремы динамики материальной точки и механической системы.

§ 1. Теорема об изменении количества движения.

В ряде случаев механическое движение материального объекта удобно оценивать количеством движения.

m

Рис.61(а)

Количеством движения материальной точки называют вектор, равный произведению массы Р точки на вектор её скорости

Количеством движения материальной системы называют вектор _, равный геометрической сумме количеств движения точек системы

_=_n

Для вычисления количества

движения механической системы

можно предложить более удобный

способ:

Количество движения механической

системы равно количеству движения

её центра масс: _=

Действительно, дифференцируя

известное выражение

, получим:

или _

Действие силы на материальный объект можно оценивать импульсом силы. Элементарным импульсом силы называют вектор , равный произведению вектора силы на элементарный интервал времени её действия:

Импульсом силы за конечный интервал времени называют интегральную величину:

По основному закону динамики, под действием силы материальная точка получает ускорение. Чтобы эта точка получила некоторую скорость необходимо действие этой силы в течение некоторого интервала времени.

Другими словами, материальная точка изменяет свою скорость(количество движения) под действием импульса силы.

Докажем это с помощью теорем об изменении количества движения:

а) Теорема об изменении количества движения для материальной точки.

Теорема 1: Производная по времени от количества движения материальной точки равна силе(равнодействующей сил), приложенной к точке.

Доказательство этой теоремы основано на интерпретации основного уравнения динамики точки:

или . Интегрируя, получим:

или или

Из полученного векторного выражения, в частности, следует:

1. Для того, чтобы изменить только модуль скорости, импульс силы должен совпадать с направлением начальной скорости.

Рис.62.

2. Для изменения направления вектора скорости импульс силы должен быть направлен под углом к начальной скорости.

Рис.63.

3. Если сила (равнодействующая сил), действующая на материальную точку в течение некоторого промежутка времени равна нулю, то количество движения в этот промежуток времени сохраняется неизменным.

Это утверждение в механике получило название “ Закон сохранения количества движения материальной точки”, “Инерция прямолинейного движения материальной точки”.

б) Теорема об изменении количества движения для механической системы.

Теорема 1: Производная по времени от количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему.

Доказательство этой теоремы основано на интерпретации теоремы о движении центра масс механической системы:

или _/ dt=

Теорема 2: Изменение количества движения механической системы за конечный промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил системы за этот же промежуток времени.

Действительно, имеем:

_/dt=или_=. Интегрируя, получим:

_или _2-_1=

Используя полученные соотношения, можно сформулировать закон количества движения и для механической системы:

Если главный вектор внешних сил механической системы в течение некоторого промежутка времени равен нулю, то количество движения в этот промежуток времени сохраняется постоянным.