2. 4. Выявление различий в распределении признака

Методические рекомендации к изучению темы

При изучении данной темы необходимо учесть то, что оба критерия непараметрические, они оперируют частотами. Обратите особое внимание на правила принятия решения для рассмотренных критериев: эти правила могут быть противоположны. Внимательно изучите ограничения в применении критериев.

После изучения материала лекции ответьте на контрольные вопросы, ответы занесите в конспект.

Материалы лекции. Критерий «хи-квадрат» Пирсона

Критерий «хи-квадрат» Пирсона рассматривался в теме № 4. Напоминаем, что он может решать несколько задач, в том числе и сравнение распределений. Напомним его назначение.

Назначения критерия

Критерий χ² применяется в двух целях;

1)для сопоставленияэмпирическогораспределения признака стеоре­тическим -равномерным, нормальным или каким-то иным;

2)для сопоставлениядвух, трех или более эмпирическихраспределе­ний одного и того же признака, то есть для проверки их однородности;

3) для оценки стохастической (вероятностной) независимости в системе случайных событий;

и т.д.

Алгоритм расчета критерия и правило вывода не изменяются. Поэтому подробно на этом критерии в данной теме мы останавливаться не будем.

Критерий Колмогорова-Смирнова

Назначение критерия

Критерий предназначен для сопоставления двух распределений:

а) эмпирического с теоретическим, например, равномерным или нормальным;

б) одного эмпирического распределения с другими эмпирическим распределением.

Критерий позволяет найти точку, в которой сумма накопленных расхождений между двумя распределениями является наибольшей, и оценить достоверность этого расхождения.

Если различия между двумя распределениями существенны, то в какой-то момент разность накопленных частот достигнет критического значения, и мы сможем признать различия статистически достоверными. В формулу критерия включается эта разность. Чем больше эмпирическое значение, тем более существенны различия.

Ограничения критерия:

1. Критерий требует, чтобы выборка была достаточно большой. При сопоставлении двух эмпирических распределений необходимо, что бы N_1,2 ≥50. Сопоставление эмпирического распределения с теоретическим иногда допускается приN_1,2 ≥5.

2. Разряды должны быть упорядочены по нарастанию или убыванию какого-либо признака. Они обязательно должны отражать какое-то однонаправленное его изменение.

3. Критерий применяется для сравнения признаков, измеренных по шкалам порядка, интервальной или пропорциональной. Мы не можем накапливать частоты по разрядам, которые отличаются лишь качественно и не представляют собой шкалы порядка. Во всех тех случаях, когда разряды представляют собой не упорядоченные по возрастанию или убыванию какого-либо признака категории, нам следует применять метод хи-квадрат.

Алгоритм расчета критерия

Расчет критерия при сопоставлении двух эмпирических распределений⁷

1. Расчеты целесообразно провести, пользуясь следующей таблицей.

Таблица 32

№ п/п	xi	f1i	f2i	p1i	p2i	P1i	P2i	|di|
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1
2
3
…..
N

Занести в таблицу значения признака (наименования разрядов для сгруппированного распределения) — второй столбец, соответствующие им эмпирические частоты, полученные в распределении 1 (третий столбец) и в распределении 2 (четвертый столбец).

2. Подсчитать эмпирические частости (относительные частоты) по каждому разряду для распределения 1 по формуле:

,

где f_1i - эмпирическая частота для данного значения (интервала);

N₁- количество наблюдений в выборке.

Занести эмпирические частости распределения 1 в пятый столбец.

3. Подсчитать эмпирические частости по каждому разряду для распределения 2 по формуле:

,

где f_2i - эмпирическая частота для данного значения (интервала);

N₂- количество наблюдений в выборке.

Занести эмпирические частости распределения 2 в шестой столбец таблицы.

4. Подсчитать накопленные эмпирические частости для распределения 1 по формуле:

где Р_i-1 – относительная частота, накопленная для предыдущего значения (интервала);

i- порядковый номер значения (интервала);

р_i – абсолютная частота данного значения (интервала).

Полученные результаты записать в седьмой столбец.

5. Подсчитать накопленные эмпирические частости для распределения 2 по той же формуле и записать результат в восьмой столбец.

6. Подсчитать разности между накопленными частостями по каждому разряду d_i= Р_1i– Р_2i. Записать в девятый столбец абсолютные величины разностей (без их знака). Обозначить их как |d_i|.

7. Определить по седьмому столбцу наибольшую абсолютную величину разности |d_max|.

8. Подсчитать значение критерия по формуле:

,

где |d_max|- наибольшая абсолютная величина разности накопленных частот;

N₁- количество наблюдений в первой выборке;

N₂– количество наблюдений во второй выборке.

5. Правило вывода:

Критические значения критерия Колмогорова-Смирнова постоянны:

λ_крит.= 1,36 для уровня значимости р=0,95

λ_крит.= 1,63 для уровня значимости р=0,99

Если λ_эмп.≥ λ_крит., то различия между распределениями статистически достоверны.

Если λ_эмп.< λ_крит., то различия между распределениями статистически не достоверны.

Контрольные вопросы:

1. Какие задачи решает критерий хи-квадрат Пирсона?

2. Можно ли использовать критерий хи-квадрат Пирсона для сравнения распределений признаков, измеренных по номинативной шкале?

3. Каково правило принятия решения в критерии хи-квадрат Пирсона?

4. Какие задачи решает критерий Колмогорова-Смирнова?

5. Какова область применения данного критерия?

6. Можно ли использовать критерий Колмогорова-Смирнова для сравнения распределений признаков, измеренных по шкале наименований?

7. Как найти теоретические частоты при сравнении эмпирического распределения и равномерного распределения?

8. Как найти теоретические частоты при сравнении эмпирического распределения и нормального распределения?

9. Каково правило принятия решения в критерии Колмогорова-Смирнова?

Материалы для изучения темы:

а) основная литература:

1. Ермолаев О. Ю. Математическая статистика для психологов [Текст]: учебник / О. Ю. Ермолаев. - 5-е изд. - М.: МПСИ: Флинта, 2011. - 336 с. - С. 159-164.

2. Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии [Текст] / Е. В. Сидоренко. - СПб.: Речь, 2010. - 350 с.: ил. - С. 110-156.

б) дополнительная литература:

1. Кутейников А.Н. Математические методы в психологии [Текст]: учебно-методический комплекс / А. Н. Кутейников. - СПб.: Речь, 2008. - 172 с.: табл. - С. 85-103.

2. Суходольский Г. В. Математические методы в психологии [Текст] / Г. В. Суходольский. - 3-е изд., испр. - Харьков: Гуманитарный центр, 2008. - 284 с. – С. 294-305.