Нормальный закон распределения и другие виды распределений

Нормальный закон распределения

Рис. 14. Кривая нормального распределения

Нормальный закон⁴распределения во всех естественных науках имеет фундаментальное значение. И в психологических дисциплинах его значение трудно переоценить. Достаточно сказать, что все психологические шкалы основываются на этом законе, поскольку ему следуют распределения большинства человеческих способностей и свойств.

Самой общей характеристикой нормального распределения является простое наблюдение того закономерного факта, что очень большие центральные отклонения (x_i–M) встречаются крайне редко, а маленькие часто, при этом одинаковые по модулю отклонения одинаково вероятны. Такая закономерность может иметь место в условиях, когда на случайную величину х_iдействует большое число разнообразных факторов и доля воздействия каждого из них одинаково мала по сравнению с их числом.

Свойства нормального распределения:

1. При всех значениях переменной х_iплотность положительна.

2. Плотность симметрична относительно математического ожидания, которое в этой связи нередко называют центром рассеивания (для симметричных распределений). Коэффициент асимметрии равен нулю.

3. При увеличении модуля аргумента кривая сколь угодно близко приближается к оси абсцисс, не достигая ее.

4. Численные значения среднего арифметического, моды и медианы совпадают.

5. Плотность нормального распределения быстро убывает по мере увеличения значений центрированной случайной величины, выраженных в единицах стандартного отклонения. Следует запомнить, что ± σ = 0,683;± 2σ = 0,954;± 3σ = 0,997.

6. При значениях – σ и + σ на кривой стандартной плотности на кривой дифференциального распределения) имеются точки смены кривизны (перегиба): на участке (– σ ≤ Х ≤ + σ) функция плотности вогнута вниз, а за его пределами, наоборот, вогнута вверх.

Несмотря на то, что теоретически нормальный закон распределения предполагает существование бесконечно малых и бесконечно больших значений любой, следующей ему величины, на практике (тем более в психологии) случайные переменные имеют конечные области существования. Поэтому на практике используются функции нормального распределения, ограниченные слева и справа основными отклонениями: ± 4.

Гамма-распределение

Если воздействие одного или нескольких факторов из большого их числа, влияющего на случайную величину Х, значительно превосходит по силе воздействия все остальные факторы, то распределение случайной величины Х приобретает положительную асимметрию.

Рис. 15. Гамма-распределение

Гамма-распределение находит в психологии все более широкое применение благодаря тому, что большинство случайных временных интервалов, так или иначе характеризующих психическую активность, подчиняется именно этому распределению. В частности, время многих реакций человека подчинено гамма-распределению. Ему следуют также общие (суммарные) затраты времени на последовательность рабочих действий, слабо зависящие (или не зависящие) друг от друга, причем величина этих затрат для разных действий может значительно варьировать, согласно условию, сформулированному выше.

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение обладает следующими свойствами: 1) крайняя асимметрия частостей; 2) равенство среднего арифметического и стандартного отклонения.

Наиболее широко экспоненциальный закон распределения используется в психологических приложениях теории надежности и теории массового обслуживания. В частности ему следует распределение времени между различными ошибочными действиями человека, выполняющего некоторую работу.

Биномиальное распределение

Пусть выполняется nнезависимых испытаний, в каждом из которых может появиться некоторое случайное событие А, безусловная вероятность появления которого постоянна и равна Р, а вероятность его непоявления 1 – Р. Последовательность событий, образованная таким образом, называется последовательностью Бернулли. Вероятность того, что в последовательности Бернулли длиной вnиспытаний некоторое событие А появится ровноmраз, и отражается биномиальным распределением.

В психологии биномиальное распределение используется всегда, когда требуется определить априорную вероятность появления изучаемого события в серии независимых испытаний известной длины. В частности, известные попытки доказать существование телепатической связи основываются на сравнении вероятности ответов перцепиента с априорной вероятностью случайного угадывания, вычисляемой по биномиальному распределению. Аналогичное сравнение проводится в исследованиях обнаружения пороговых стимулов и вообще там, где требуется установить зависимость (или независимость) возможности появления какого-либо события от определенных факторов.