- •Санкт-Петербургский Государственный Институт Психологии и Социальной Работы
- •Математические методы в психологии Учебно-методическое пособие
- •Аннотация
- •Глава 1. Описательная статистика 18
- •Глава 2. Индуктивная статистика 84
- •Оглавление
- •Глава 1. Описательная статистика 12
- •Глава 2. Индуктивная статистика 78
- •Введение Цели и задачи изучения дисциплины «Математические методы в психологии» и сфера профессионального использования
- •Методические указания для студентов
- •Контрольные вопросы для самостоятельной подготовки и самопроверки
- •Глава 1. Описательная статистика
- •1. 1. Математическая статистика и психология. Измерения в психологии и виды шкал
- •Материалы лекции.
- •Типы измерений и измерительные шкалы
- •Генеральная совокупность и выборочное исследование. Статистическая достоверность
- •Этапы обработки результатов психологического исследования
- •1. 2. Описание результатов исследования
- •Материалы лекции.
- •Результаты исследования экстраверсии
- •Алгоритм построения сгруппированного (или табулированного) ряда
- •Общий обзор параметров распределений
- •1. 3. Параметры статистических совокупностей
- •Материалы лекции.
- •Результаты исследования экстраверсии
- •Исключение выскакивающих значений
- •Нормальный закон распределения и другие виды распределений
- •Проверка «нормальности» эмпирического распределения
- •Стандартизация данных и стандартизованные шкалы в психологии
- •Процентильные нормы для детей 5;5 – 11 лет
- •1. 4. Характеристики взаимосвязи признаков
- •Материалы лекции. Понятие статистической зависимости
- •Общий обзор мер связи
- •Коэффициент контингенции
- •Критерий «хи-квадрат» Пирсона
- •Ранжирование
- •Правила ранжирования
- •Бисериальные коэффициенты корреляции
- •Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова
- •Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона
- •Ранговой коэффициент корреляции Спирмена
- •Коэффициент линейной корреляции Пирсона
- •Глава 2. Индуктивная статистика
- •2. 1. Решение задачи сравнения выборок. Понятие статистических критериев и их виды
- •Материалы лекции. Статистические гипотезы
- •Уровень статистической значимости
- •Этапы принятия статистического решения
- •Классификация исследовательских задач, решаемых с помощью статистических методов
- •Решение задачи сравнения выборок
- •4. Каковы ограничения в применении критерия?
- •Обзор наиболее часто применяемых параметрических критериев
- •Общий обзор непараметрических критериев
- •2. 2. Выявление различий в уровне исследуемого признака
- •Материалы лекции. Параметрический критерий Стьюдента для сравнения независимых выборок
- •Поправка Снедекора
- •Правило принятия решения описано выше. Непараметрический критерий Розенбаума (критерий «хвостов»)
- •Непараметрический критерий Манна-Уитни
- •2. 3. Оценка достоверности сдвига в значениях исследуемого признака
- •Материалы лекции.
- •Параметрический критерий Стьюдента для сравнения зависимых выборок
- •Непараметрический критерий знаков
- •6. Правило принятия решения:
- •Непараметрический критерий Вилкоксона
- •2. 4. Выявление различий в распределении признака
- •Материалы лекции. Критерий «хи-квадрат» Пирсона
- •Критерий Колмогорова-Смирнова
- •2. 5. Многофункциональные статистические критерии
- •Материалы лекции.
- •Критерий φ* — «Угловое преобразование» Фишера
- •Алгоритм расчета критерия φ*
- •Критерий Макнамары
- •Алгоритм расчет критерия
- •2. 6. Дисперсионный анализ
- •Материалы лекции. Введение в дисперсионный анализ anova
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •2. 7. Многомерные методы обработки данных
- •Материалы лекции.
- •I. Классификация методов по назначению:
- •II. Классификация методов по исходным предположениям о структуре данных:
- •III. Классификация методов по виду исходных данных:
- •Множественный регрессионный анализ
- •Матрица корреляций пяти показателей интеллекта
- •Факторные нагрузки после варимакс-вращения
- •1. Эксплораторный-разведочный.
- •2. Конфирматорный.
- •1. Выбор исходных данных.
- •2. Предварительное решение проблемы числа факторов.
- •3. Факторизация матрицы интеркорреляций.
- •4. Вращение и предварительная интерпретация факторов (ротация факторов).
- •5. Принятие решения о качестве факторной структуры.
- •6. Вычисление факторных коэффициентов и оценок.
- •Компьютерные пакеты прикладных статистических программ
- •Список литературы
- •Приложение 1. Статистические таблицы с критическими значениями
- •1.1. Критические значения отношения для исключения выскакивающих значений
- •1.2. Критические значения коэффициента ранговой корреляции Спирмена
- •1.3. Критические значения коэффициента линейной корреляции Пирсона
- •1.4. Критические значения критерия хи-квадрат Пирсона
- •1.5. Критические значения критерия Стьюдента
- •1.6. Критические значения критерия Фишера
- •1.7. Критические значения непараметрического критерия Манна-Уитни
- •1.8. Критические значения непараметрического критерия Вилкоксона
- •1.9. Таблицы для перевода процентных долей в величины центрального угла для расчета критерия «угловое преобразование» Фишера
- •Приложение 2. Глоссарий
- •Приложение 3. Англо-русский словарь статистических терминов
Проверка «нормальности» эмпирического распределения
В практике математико-статистического анализа результатов психологических исследований нередко встает задача проверки, является ли полученное в исследовании эмпирическое распределение нормальным (например, при выборе параметрического критерия Стьюдента для сравнения средних арифметических значения; или при решении использовать для анализа какой-либо из многомерных методов). Ответ на этот вопрос важен, потому что одним из условий адекватного применения данных методов и является нормальность эмпирических распределений.
Чтобы установить является ли эмпирическое распределение изучаемой случайной величины нормальным, необходимо сопоставить сведения о свойствах этой величины и условиях ее изучения, известные исследователю, со свойствами функции нормального распределения. Это сопоставление вначале является качественным, а затем осуществляется специальными количественными методами.
Основой качественного сопоставления служит основное "физическое" условие появления нормального распределения: действие на изучаемую величину большого числа факторов, тоже случайных, воздействия которых преимущественно независимы и примерно одинаковы.
Если такое условие имеет место, то можно ожидать, что изучаемая случайная величина распределена нормально. Например, на формирование способностей человека действует множество различных случайных факторов (биологических, физиологических, психических и социальных). Поэтому можно ожидать, что в массе людей степень выраженности той или иной способности распределена нормально. Это во многом подтверждается практикой тестирования способностей.
Количественное сопоставление включает два последовательных этапа.
Первый — сравнение отдельных свойств эмпирического распределения со свойствами нормального закона. Это касается, прежде всего:
симметричности (мода, медиана и среднее арифметическое примерно или точно одинаковы),
весьма информативным является факт наличия точек смены кривизны на сглаженном от руки полигоне распределения при значениях случайной величины, равных – σ и + σ и др.
Если имеется соответствие между некоторыми из перечисленных свойств эмпирического и нормального распределений, то можно перейти к следующему этапу.
Второй этап — количественный — может выполняться двумя способами: точная оценка с помощью критериев согласия распределений и приближенная оценка по параметрам изменчивости.
Точная количественная оценка нормальности распределения может быть выполнена с помощью критерия Колмогорова-Смирнова (см. тему критерии согласия распределений). Для применения этого критерия необходимо вычислить значения теоретической функции распределения по эмпирическому ряду в предположении, что он подчиняется нормальному закону. Именно это предположение и обосновывается при качественном и количественном (на первом этапе) сопоставлении свойств.
Вычисление теоретических значений вероятностей, соответствующих эмпирическим частостям, в общем случае вычисляется либо по таблицам функций распределения, либо через логарифмы, либо с использованием таблиц специальных функций. Нередки комбинации последних двух способов.
В предположении нормального закона обычно пользуются таблицами функций f(x) и F(x). Суть вычисления вероятностей здесь такова. Осуществляют преобразование значений xi случайной величины Х в основные (стандартные) отклонения
Для чего, разумеется, предварительно следует по эмпирическому ряду вычислить оценкии. Далее по таблице "Значение функции распределения F(x) плотности f(x) нормального закона" для всех zi эмпирического ряда определяют значения стандартной плотности f(x), которые затем умножают на отношение
чтобы от стандартного перейти к истинному (опытному) масштабу функций распределения, или значению функции распределения F(x):
и
Сопоставление заканчивается сравнением фактических (полученных в опыте) частостей и теоретических (вычисленных) вероятностей. Если различия малы или отсутствуют, то можно считать, что изучаемая случайная величина распределена нормально. Лишенная субъективных предпочтений оценка того, "малы" или "велики" получившиеся различия, осуществляется с помощью специальных критериев согласия (например, Колмогорова-Смирнова).
Приближенная количественная оценка нормальности распределения выполняется на основе расчета таких параметров изменчивости как коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса, а также вычисления ошибок этих параметров.
Ошибка коэффициента асимметриирассчитывается по следующим формулам:
А) приближенно при больших N
Б) точно
Ошибка коэффициента эксцесса вычисляется по формулам:
А) приближенно при больших N
Б) точно
Далее необходимо найти соотношение параметра и его ошибки:
и
Если tAsиtExбольше или равно 3, то распределение отличается от нормального.
Если tAsиtExменьше 3, то распределение можно считать нормальным.