Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике
.pdf
Решебник по физике
кинетической энергии пули пошла на пробивание бруска и превратилась в его внутреннюю энергию, да и пуля тоже могла нагреться. А вот закон сохранения импульса применить можно. Согласно этому закону импульс пули перед попаданием в брусок mv равен сумме импульса пули m
2v после того, как она вылетела из него, и импульса бруска
Мv0, полученного вследствие пробивания:
mv = mv + Mv , |
|
||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
v |
= mv . |
|
(3) |
0 |
2M |
|
|
Подставим правую часть равенства (3) в формулу (2) вместо v0. Так мы выразим нужное нам для формулы (1) ускорение а через известные величины:
a = |
|
(mv)2 |
= |
1 |
|
mv |
2 |
|
|
|
|
. |
|||
|
4M2S |
|
|||||
2 |
|
2S |
2M |
|
|||
Нам осталось подставить правую часть этого равенства в формулу (1), и задача будет решена:
= |
1 |
|
mv |
2 |
|
|
. |
||
|
||||
|
2gS |
2M |
|
|
Задача решена. |
|
|
||
Ответ: = |
1 |
|
mv |
2 |
|
|
. |
||
|
||||
|
2gS |
2M |
|
|
Задача37.Вагон движется равномерно по закруглению с радиусом кривизны 98 м. К его потолку подвешена легкая веревка с прикрепленным к ее свободному концу шаром массой 10 кг. При этом веревка отклоняется от вертикали на угол 45°. Определить, с какой силой веревка действует на шар и какова скорость вагона.
Обозначим R радиус закругления, α — угол отклонения веревки от вертикали, m — массу шара, g — ускорение сво-
70
1. Механика
бодного падения, a — ускорение вагона на закруглении, v — модуль скорости вагона, F — силу, действующую на шар.
Решение
На шар при движении вагона по закруглению действуют направленные под углом друг к другу силы тяжести
mg и натяжения веревки FH. Их равнодействующая, модуль которой равен ma, направлена по радиусу к центру закругления и является катетом в прямо-
угольном треугольнике, образованном ею и этими силами (рис. 25). Из этого треугольника следует, что
tg α = |
ma |
= |
a |
. |
(1) |
|
|
||||
|
mg g |
|
|||
Ускорение поезда связано с его скоростью и радиусом закругления формулой
а = |
v2 |
. |
(2) |
|
R |
||||
|
|
|
Подставим (2) в (1):
tg α = v2 , gR
откуда |
|
|
|
v = |
gR tgα. |
|
Рис. 25 |
|
|||
Произведем вычисления: |
|
||
|
|
||
v = |
10 98 tg45° м/с = 31 м/с. |
|
|
Из этого же треугольника следует, что |
|
|
|
|
соs α = mg , |
|
|
F
откуда
F = cosmgα.
71
Решебник по физике
Произведем вычисления:
F = 10 10 Н = 143 Н. cos45°
Ответ: v = 31 м/с, F = 143 Н.
Задача 38. Два груза массами 2 кг и 4 кг, связанные нерастяжимой нитью,поднимаютсявертикальновверхпод действием силы 84 Н, приложенной к грузу массой 2 кг. Определить ускорение, с которым движутся грузы, и силу натяжения нити.
Обозначим m1 массу первого груза, m2 — массу второго, F — силу, приложенную к первому грузу, g — ускорение свободного падения, a — ускорение грузов, Fн — силу натяжения нити.
Решение
Рассмотрим силы, приложенные к каждому грузу (рис. 26). На верхний груз действуют три силы: сила F, направленная вверх, сила натяжения нити Fн и сила тяжести m1g, направленные вниз. Поскольку груз движется вверх с ускорением, сила F по модулю
больше суммы этих сил. Тогда равнодействующая этих трех сил согласно второму закону Ньютона равна
ma = F – m1g – Fн. |
(1) |
На второй груз действуют сила натяжения нити Fн, такая же по модулю,что и на первый,но направленнаявверх, и направленная вниз сила тяжести m2g. Их равнодействующая по второму закону Ньютона равна
m2a = Fн – m2 g. |
(2) |
Сложим почленно левые и правые части равенств (1) и (2). При этом сила натяжения «уйдет» и мы сумеем определить искомое ускорение.
m1a + m2a = F – m1g – Fн + Fн – m2g,
а(m1 + m2) = F – g(m1 + m2),
72
1. Механика
откуда
a = F −g(m1 +m2 ). m1 +m2
Произведем вычисления:
а = 84−10(2+4) м/с2 = 4 м/с2. 2+4
Силу натяжения нити найдем из равенс-
тва (2):
Fн = m2a + m2g = m2(a + g),
Fн = 4(4 + 10) Н = 56 Н. Ответ: а = 4 м/с2, F = 56 Н.
Задача39.Нарис.27изображенанаклонная |
|
плоскость высотой h = 60 см с невесомым бло- |
|
ком на ее вершине. Через блок перекинута неве- |
|
сомая и нерастяжимая нить, к концам которой |
Рис. 26 |
Рис. 27
73
Решебник по физике
прикреплены грузы с массами m1 = 0,5 кг и m2 = 0,6 кг. Найти ускорение грузов, если длина наклонной плоскости l = 1 м и коэффициент трения груза массой m1 о плоскость μ = 0,25. Ответ округлить до десятых долей м/с2.
Обозначим g ускорение свободного падения, α — угол при основании наклонной плоскости, Fнат — силу натяжения нити, Fтр — силу трения, а — ускорение грузов.
Решение
Разложим силу тяжести m1 g на составляющую m1g cos α, прижимающую груз к наклонной плоскости, и составляющую m1g sin α, скатывающую его с нее. На груз массой m1 вдоль траектории его движения к блоку действует сила натяжения Fнат, а ей противодей ствуют сила трения Fтр и m1g sin α.
По второму закону Ньютона
m1a = Fнат – Fтр – m1g sin α.
На груз массой m2 действует направленная вниз сила тяжести m2g, а ей противодействует сила натяжения Fнат. По второму закону Ньютона
m2a = m2g – Fнат.
Сложим левые и правые части этих равенств и, выполнив приведение подобных членов, определим искомое ускорение а:
m1a + m2a = Fнат – Fтр – m1g sin α + m2g – Fнат,
откуда
а = g(m2 −m1 sinα) −Fmp .
Здесь
sin α = hl , Fтр = μmg cos α,
где
74
1. Механика
|
|
|
cos α = |
|
|
l2 −h2 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
С учетом этих формул получим |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||
|
|
g m |
−m h |
− |
µm |
|
l |
−h |
|
|
|
||||
|
|
|
|
l |
|
|
|||||||||
a = |
|
2 |
1 l |
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
||||
|
|
m1 +m2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
g |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
|
|
m2 − |
|
|
1 |
(h |
+µ |
|
l2 −h2 ) |
, |
|||
m1 |
+m2 |
|
l |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
10 |
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
||
а = |
|
|
|
0,6 |
− |
|
(0,6+0,25 |
12 |
−0,62 ) |
м/с2 = 1,8 м/с2. |
|
0,5 |
+0,6 |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: а = 1,8 м/с2.
Задача 40. К концам однородного стержня длиной l = = 1,8 м приложены силы F1 = 10 Н и F2 = 4 Н (рис. 28). Найти силу натяжения стержня на расстоянии четверть длины от его левого конца.
Рис. 28 |
Обозначим l длину стержня, F1 — силу, приложенную к правому концу стержня, F2 — силу, приложенную к левому концу стержня, l1 — длину части стержня, m1 — мас-
су части стержня, составляющей 34 длины стержня, m2 —
массучастистержня,составляющейчетвертьдлины стержня, ρ — плотность стержня, V1 — объем части стержня,
составляющей 34 длины стержня, V2 — объем части стерж-
ня, составляющей четверть длины стержня, а — ускорение, Fнат — силу натяжения, S — площадь поперечного сечения стержня.
75
Решебник по физике
Дано:
F1 = 10 H F2 = 4 H
1 l1 = 4 l
l = 1,8 м
Fнат — ?
Решение
По второму закону Ньютона применительно к правой части стержня
m1a = F1 – Fнат.
Аналогично, применительно к левой части стержня, составляющей четверть его длины,
m2a = Fнат – F2..
Выразим массы частей стержня m1 и m2 чрез их длины:
m1 = ρV1 = ρ |
3 |
lS |
и m2 = ρV2 = ρ |
1 |
lS. |
|
4 |
4 |
|||||
|
|
|
|
С учетом этих равенств два первых уравнения примут вид:
ρ 34 lS = F1 – Fнат и ρ 14 lS = Fнат – F2..
Теперь разделим два последних равенства друг на друга и после сокращений из полученного выражения найдем силу натяжения:
ρ3lS 4 |
= |
F1 – Fнат |
, |
4ρlS |
Fнат – F2 |
F1 – Fнат = 3Fнат – 3F2,
4Fнат = F1 + 3F2,
Fнат = F1 +43F2 = 10+43 4 Н = 5,5 Н.
Ответ: Fнат = 5,5 Н.
Задача 41. К двум пружинам одинаковой длины с жесткостью k1 и k2 каждая, соединенным один раз последовательно (рис. 29, а), а другой раз – параллельно (рис. 29, б), подвешивают груз массой m. Найти общее удлинение пружин x и их общую жесткость k в каждом случае.
76
1. Механика
Рис. 29
Обозначим Fупр силу пругости, x1 — деформацию одной пружины, x2 — деформацию другой пружины.
Дано: |
Решение |
k1 |
1) Обратимся к рис. 29, а. Когда мы растя- |
k2 |
гиваем последовательно соединенные пружи- |
mны, сила, приложенная к грузу, в случае его
gравномерного движения по модулю равна си-
ле реакции пружины, т.е. силе упругости Fупр, приложенной к нижней пружине, которая с такой же по модулю силой упругости дейс-
твует на верхнюю пружину согласно третьему закону Ньютона.
А вот удлинение каждой пружины под действием одинаковой силы упругости будет разным, потому что у них разные жесткости. Общее же удлинение x пружин будет равно сумме удлинений x1 и x2 каждой пружины в отдельности:
x = x1 + x2.
77
Решебник по физике
По первому закону Ньютона, записанному примени-
тельно к грузу в векторной форме, mg + FC?упp = 0, а в скалярной — mg = Fупр, где по закону Гука модуль силы упругости
Fупр = kx1.
Отсюда x1 = FупC?p = mg. Аналогично, применительно ко k1 k1
второй пружине: x2 |
= mg . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = mg + mg или |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
x = mg |
1 |
+ |
. |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
k1 |
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
k2 |
||||||
Теперь найдем жесткость k. По закону Гука mg = kx, |
|||||||||||||||||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
k2 + k1 |
|
|||
x = kx |
1 |
+ |
, |
1= k |
+ |
|
или 1= k |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
k1 |
|
k2 |
|
k1 |
|
k2 |
|
|
|
|
|
k1k2 |
|||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
|
|
k1k2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
k + k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) При параллельном соединении пружинок в случае горизонтального положения стержня ab (рис. 29, б), они растягиваютсяодинаково.Нопосколькужесткостипружин разные, то при одинаковом удлинении x силы упругости Fупр1 и Fупр2, возникающие в них, будут разными. При этом по первому закону Ньютона, записанному в векторной форме, сумма силы тяжести mg и сил упругости Fупр1 и Fупр2,
приложенных к грузу, равна нулю: mg + FупC?p1 + FупC?p2 = 0, а модуль силы тяжести mg равен сумме модулей сил упру-
гости Fупр1 и Fупр2:
mg = Fупр1 + Fупр2,
где по закону Гука
Fупр1 = k1x и Fупр2 = k2x,
поэтому
mg = k1x + k2x,
78
1. Механика
откуда
|
|
|
|
|
x = |
mg |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
k +k |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. mg = kx, то x = |
|
kx |
, |
|
1= |
|
k |
и k = k +k . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k1 +k2 |
|
|
|
|
k1 +k2 |
1 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
= |
|
k k |
|
|
|
|
|||||||
Ответ: 1) |
x = mg |
|
|
+ |
|
|
, k |
|
|
1 2 |
|
; |
|
|
|||||
|
|
|
k2 |
|
k1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
+k2 |
|
|
|||||||||
2) x = |
mg |
, k = k + k . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
k1 +k2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 42. На краю горизонтальной доски, вращающейся вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, укреплена нить с подвешенным к ней маленьким тяжелым шариком. Длина нити 20 см, частота вращения доски 1 об/с. При вращении доски нить отклоняется от вертикали на угол 30°(рис. 30). Найти длину доски.
Рис. 30
Обозначим l длину нити, ν — частоту вращения, α — угол отклонения нити от вертикали, g — ускорение свобод-
79