Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике

Решебник по физике

ρ= MV ,

Нам осталось из равенства (3) выразить радиус планеты и подставить его в правую часть выражения (4). Проделаем эти действия:

Теперь подставим правую часть последнего равенства в знаменатель формулы (4):

Задача 51. На платформу массой 500 кг, двигавшуюся горизонтально со скоростью 1 м/с, насыпали сверху щебень массой 100 кг. Определить скорость платформы со щебнем.

Обозначим m1 массу платформы, v1 — скорость платформы без щебня, m2 — массу щебня, v2 — проекцию скорости падавшего щебня на направление движения платформы, v — скорость платформы со щебнем.

90

1. Механика

Решение

По закону сохранения импульса сумма импульса пустой платформы и импульса щебня до попадания на платформу равна суммарному импульсу платформы со щебнем. Но проекция импульса падавшего щебня на направ-

ление движения платформы равна нулю, т.к. щебень падал перпендикулярно вектору ее скорости.

Поэтому закон сохранения импульса в этом случае примет вид: импульс пустой платформы m1v1 равен суммарному импульсу платформы со щебнем (m1 + m2)v:

m1v1 = (m1 + m2),

Произведем вычисления:

v = 500 0,2 кг = 0,17 м/с. 500+100

Ответ: v = 0,17 м/с.

Задача 52. Движение материальной точки задано уравнением х = 8 + 5t + 2t2. Определить импульс этой точки через 5 с, считая от момента начала отсчета времени движения, если ее масса 100 г.

Обозначим t1 время, через которое импульс точки станет равенр,х—координатуточки,t—времядвижения,х0 —на- чальнуюкоординатуточки,v0 —начальнуюскорость,а—ее ускорение, m — массу точки.

координаты в общем виде х = х0 + v0t + at2 и данного нам

2

91

Решебник по физике

в условии задачи х = 8 + 5t + 2t2 следует, что начальная ско-

рость точки v0 = 5 м/с, а половина ее ускорения 2a = 2 м/с2,

откуда ускорение а = 4 м/с2. С учетом этих величин искомый импульс

р= m(v0 + at1),

р= 0,1(5 + 4 ∙ 5) кг ∙ м/с = 2,5 кг ∙ м/с.

Ответ: р = 2,5 кг ∙ м/с.

Задача 53. На плот массой 100 кг, двигавшийся со скоростью 1 м/с, прыгнул с берега человек массой 50 кг со скоростью 1,5 м/с перпендикулярно направлению движения плота. Определить скорость платформы с человеком сразу после его прыжка.

Обозначимm1 массуплота,v1 —скоростьплотадопрыж- ка на него человека, m2 — массу человека, v2 — его скорость, v — скорость плота с человеком, α — угол между вектором скорости плота с человеком и берегом.

Переходя к модулям импульсов, учтем, что импульсы плота и человека в прыжке взаимно перпендикулярны, поэтому для определения суммарного импульса плота с человеком на нем воспользуемся теоремой Пифагора (рис. 33):

Рис. 33

92

1. Механика

(m1v1)2 + (m2v2)2 = ((m1 + m2)v)2,

откуда

Произведем вычисления:

Ответ: v = 0,8 м/с.

Задача54.Массапули10г,еескоростьпривылетеизствола автомата 300 м/с. Сделано 300 выстрелов в минуту. Определить силу давления приклада автомата на плечо стрелка.

Обозначим m массу пули, v — ее скорость, N — количество выстрелов, ∆t — время стрельбы, F — силу давления приклада на плечо при отдаче.

Решение

Согласно второму закону Ньютона импульс силы F∆t, действующей на плечо при стрельбе, равен изменению импульса пуль. Но до выстрела импульс пуль был равен нулю, потому что была равна нулю их скорость.

Значит, изменение импульса пуль равно самому импульсу пуль сразу после выстрела Nmv. Поэтому

Выразим все величины в единицах СИ: 10 г = 0,01 кг, 1 мин = 60 с.

Произведем вычисления:

F = 300 0,01 300 Н = 15 Н. 60

Ответ: F = 15 Н.

93

Решебник по физике

Задача 55. Охотник массой 70 кг стреляет, находясь в лодке. Угол между стволом ружья и горизонтом составляет 60°, масса дроби 35 г, ее начальная скорость 320 м/с. Надо найти скорость лодки в момент выстрела, если до него она была неподвижна.

Обозначимm1 массуохотника,m2—массудроби,v2 —ско- ростьдроби,v1 —скоростьлодкивмоментвыстрела,α—угол между стволом ружья и горизонтом.

Решение

До выстрела суммарный импульс охотника и дроби был равен нулю, т.к. они были неподвижны. По закону сохранения импульса сумма модуля импульсаохотникаm1vипроекцииимпульса дроби на направление движе-

ния лодки m2v2 cosα должна остаться равной нулю (рис. 34): 0 = m1v1 + m2v2 cosα,

Рис. 34

Знак «минус» означает, что лодка после выстрела будет двигаться в направлении, противоположном направлению оси ОХ, на которую мы спроецировали импульс дроби, т.е. охотник поедет «назад».

Выразим в единицах СИ массу дроби: 35 г = 0,035 кг. Вычислим модуль скорости охотника:

Ответ: v1 = 8 см/с.

94

1. Механика

Задача56.Сила,поднимающаягрузвесом1Н,равна3Н, высота подъема составляет 5 м. Найти работу этой силы.

Обозначим F силу, приложенную к грузу, h — модуль его перемещения, т.е. высоту поднятия, α — угол между векторами силы и перемещения, Р — вес груза, А — работу по поднятию груза.

Поскольку груз перемещается в направлении действия силы, угол α = 0о (рис. 35), поэтому

cosα = 1 и A = Fh.

Произведем вычисления:

А = 3 · 5 Дж = 15 Дж.

Примечание: поскольку приложенная сила по модулю больше веса груза, значит, часть этой

силы пошла на преодоление силы тяжести, рав- ной весу покоящегося груза Р, а часть — на сооб- Рис. 35 щение грузу ускорения.

Ответ: А = 15 Дж.

Задача57.Грузмассой97кгперемещаютпогоризонтальной поверхности с помощью веревки на расстояние 100 м. Угол между ней и поверхностью составляет 30°. Коэффициент трения груза о поверхность 0,2. Определить работу силы натяжения веревки.

Обозначим m массу груза, α — угол между веревкой и направлением перемещения груза, µ — коэффициент трения, g — ускорение свободного падения, S — модуль перемещения груза, F — силу натяжения веревки, Fтр — силу трения, А — работу силы натяжения, g — ускорение свободного падения.

95

Поскольку груз движется вдоль оси ОХ равномерно и прямолинейно, силу трения уравновешивает составляющая силы натяжения, действующая вдоль оси ОХ и равная по модулю F cosα (рис. 36):

Fтр = F cosα,

где Fтр = µN и N = mg – F sinα, поэтому

F cosα = µ(mg – F sinα).

Рис. 36

Отсюда найдем силу натяжения веревки:

F cosα = µmg – µF sinα,

F cosα + µF sinα = µmg,

откуда

96

1.Механика

Сучетом первой формулы получим окончательно:

A = µmgS cosα . cosα+µsinα

Произведем вычисления:

А = 0,2 97 10 100cos30° Дж = 17 400 Дж. cos30°+0,2sin 30°

Ответ: А = 17 400 Дж.

Задача 58. Автомобиль массой 1 т трогается с места и проходит путь 20 м за 2 с. Найти мощность двигателя автомобиля.

Обозначим m массу автомобиля, vo — его начальную скорость, S — пройденный за время t путь, v — скорость в конце этого пути, vср — среднюю скорость на всем пути, F — силу тяги двигателя, a — ускорение, N — мощность, развиваемую двигателем в конце пути, α — угол между векторами силы тяги и скорости автомобиля.

его прохождения или равна полусумме начальной и конечной скоростей:

97

Решебник по физике

Силу тяги двигателя найдем по второму закону Ньютона:

F = ma.            (3)

Ускорение а найдем из формулы пути при равноускоренном движении без начальной скорости:

Выразим массу автомобиля в единицах СИ: 1 т = 1000 кг.

Произведем вычисления:

N = 4 1000 202 Вт = 200 000 Вт = 200 кВт. 23

Ответ: N = 200 кВт.

Задача 59. Деформация пружины под действием силы 1000 Н равна 1 см. Найти работу, совершаемую при деформации пружины на 10 см.

Обозначим х1 деформацию пружины, при которой совершается работа А, х2 — деформацию пружины под действием силы F, k — жесткость пружины.

98

1. Механика

ЖесткостьпружиныkопределимиззаконаГука:F=kx2, откуда

Подставим (2) в (1) :

А = Fx12 = Fx12 . 2x2 2x2

Выразим все величины в единицах СИ: 10 см = 0,1 м, 1 см = 0,01 м.

Произведем вычисления:

А = 1000 0,12 Дж = 500 Дж. 2 0,01

Ответ: А = 500 Дж.

Задача 60. Масса вагона 20 000 кг. Вагон ударился о преграду, и при этом деформация пружины буфера составила10см.Длясжатияеена1смнеобходимасила10 000Н. С какой скоростью двигался вагон, имеющий два буфера, до удара?

Обозначим m массу вагона, x1 — деформацию пружины при скорости вагона v, x2 — деформацию пружины при действии на нее силой F, k — жесткость пружины, Ek — кинетическую энергию вагона, Ep — потенциальную энергию сжатой пружины буфера.

99