Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике

Решебник по физике

Из прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной модулю вектора v, следует, что

Таким образом, задача сводится к нахождению вертикальной проекции скорости мяча vy. Если бы мы знали промежуток времени — обозначим его ∆ t — между моментом, когда мяч побывал в высшей точке, и моментом, когда он ударился о стену, то проекцию скорости vy мы нашли бы из формулы

Значит, теперь надо найти этот промежуток времени ∆ t. Его можно представить как разность времени полета мяча до удара о стену t1, за которое он поднялся до высшей точки и успел опуститься перед ударом, и времени подъема до высшей точки t, которое мы уже определили по формуле (1):

Время полета до стены равно времени равномерного перемещения мяча по горизонтали на расстояние S со скоростью υ0 cosα, поэтому его можно найти так:

Теперь подставим правые части равенств (1) и (5) в выражение (4):

Нам осталось подставить правую часть выражения (6)

вравенство (3), а то, что получится, — в выражение (2),

изадача в общем виде будет решена. Приступим. Подстав-

ляем (6) в (3):

40

1. Механика

Задача в общем виде решена. Подставим числа и вычислим:

Ответ: β = 35°.

Задача18.Камень,упавсобрыва,достигземличерез2с. Определить высоту обрыва и модуль конечной скорости камня. Сопротивлением пренебречь.

Обозначим t время падения камня, vo — его начальную скорость, g — ускорение свободного падения, h — высоту падения камня, v — модуль конечной скорости камня.

Поскольку vo = 0, эта формула примет вид:

h = gt2 . 2

Здесь все величины в правой части нам известны. Произведем вычисления:

h = 102 4 м = 20 м.

41

Решебник по физике

Модуль конечной скорости камня у дна обрыва определим по формуле

v = vo + gt.

Поскольку vo = 0, то

v = gt.

Произведем вычисления:

v = 10 2 м/с = 20 м/с.

Ответ: h = 20 м, v = 20 м/с.

Задача 19. Камень брошен горизонтально со скоростью 30 м/с. Определить, чему равна его скорость спустя 4 с и каково изменение координат камня относительно осей координат за это время.

Направим оси координат ОХ и ОY так, чтобы векторы скорости и ускорения свободного падения камня лежали в одной плоскости с этими с осями (рис. 12). Обозначим vo модуль скорости, с которой бросили камень в направлении осикоординатОХ,т.е.горизонтально,v—модульскорости камня спустя 4 с, voу — проекцию начальной скорости камня на вертикальную ось ОY, vY— проекцию скорости камня на ось ОY через время t, g — ускорение свободного падения, ∆x — изменение координаты камня на оси ОХ, ∆Y — изменение его координаты на оси ОY.

Решение

Поместим начало координат системы отсчета ХОY в точке бросания камня, оси абсцисс ОХ направим вправо, а ось ординат — вниз. Тогда изменение координаты ∆х будет равно самой координате х,, а изменение координаты ∆Y равно координате Y (рис. 12). Траекторией камня будет парабола.

Вектор скорости камня через 4 с будет направлен по касательной к траектории. Его модуль можно найти по теореме Пифагора

42

где vу — проекция скорости камня на ось ОY через 4 с с момента бросания камня. Ее можно найти по формуле

vY = vоу + gt.

Поскольку

Подставим (2) в (1):

v = vo2 + (gt)2 .

Произведем вычисления:

v = 302 + (10 4)2 м/с = 50 м/с.

Изменение координаты камня на оси ОХ, вдоль которой он движется равномерно со скоростью vо, найдем по формуле

∆x = x = vot.

Произведем вычисления:

∆х = 30 4 м = 120 м

Изменение координаты на оси ОY, вдоль которой камень свободно падал без начальной скорости, найдем по формуле

43

1. Механика

скорости на эту ось равна нулю, а высота падения равна конечной координате Y:

gt2

h = Y = 2 при voу = 0.

Отсюда

t = 2gh.

Произведем вычисления:

Дальность полета камня, равную его конечной координате на оси ОХ, найдем из уравнения равномерного движения, ведь вдоль этой оси камень движется с постоянной скоростью vo:

x = vot.

Произведем вычисления:

х = 20 1,4 м = 28 м.

Скорость v, с которой камень упадет на землю, найдем, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Проекцию конечной скорости на ось ОY vу найдем по формуле скорости при свободном падении:

vу = voу + gt.

45

Решебник по физике

Произведем вычисления:

v = 202 +(10 1,4)2 м/с = 24,4 м/с.

Ответ: t = 1,4 с, х = 28 м, v = 24,4 м/с.

Задача 21. Мяч брошенс земли под углом 45° к горизонту со скоростью 20 м/с. Определить наибольшую высоту подъемамяча,дальностьполета,скоростьвнаивысшейточке траектории, скорость и координаты через время t1 = 2 с после начала полета. Сопротивлением пренебречь.

Расположим систему координат ХОY в одной плоскости с векторами скорости и ускорения мяча (рис. 14).

Рис. 14

Обозначим α угол между вектором начальной скорости мяча в момент бросания и осью ОХ, vo — модуль скорости мячавмоментбросания,g—ускорениесвободногопадения, t1 — время полета, vx — проекцию скорости мяча на ось ОХ, которая в процессе полета остается неизменной, voу — проекцию начальной скорости мяча на ось ОY, vу1 — проекцию скорости мяча на ось ОY через 2 с после начала движения, v1 — модуль скорости мяча через это время, hmax — наибольшую высоту подъема, xmax — дальность полета мяча, х1 — координату мяча на оси ОХ через t1 = 2 с полета, Y1 — координату мяча на оси ОY через это время, t — время взлета мяча до высшей точки подъема.

46

1. Механика

Решение

Сначала определим время t взлета мяча вдоль оси ОY до высшей точки подъема, где проекция его скорости на эту ось становится равной нулю. Поскольку вверх мяч движется с замедлением, то формула его скорости в проекциях на ось ОY имеет вид:

vу = vоу – gt.

Так как vу = 0, то 0 = vоу – gt, откуда

vоу = gt.

Из чертежа следует, что vоу = vо sinα, поэтому vo sinα = gt, откуда

Теперь, зная время взлета мяча до высшей точки, мы можем найти максимальную высоту подъема мяча по формуле

Эта формула здесь применима несмотря на то, что проекция начальной скорости мяча на ось ОY не равна нулю. Но поскольку проекция его конечной скорости на эту ось равна нулю, формулу можно использовать для нахождения максимальной высоты взлета мяча. Подставим (1) в (2):

hmax = g(vo sin2 α)2 = (vo sinα)2 . 2g 2g

Произведем вычисления:

hmax = (20sin45°)2 м ≈ 10 м. 2 10

Время полета мяча по горизонтали вдоль оси ОХ вдвое больше времени его взлета, потому что время взлета равно времени падения мяча с максимальной высоты. Вдоль оси ОХ мяч движется равномерно со скоростью vx = vo cosα

47

Решебник по физике

в течение времени 2t, поэтому дальность его полета найдем из уравнения равномерного движения:

хmax = 2vxt = 2vot cosα

Произведем вычисления:

хmax = 202 sin 90o м = 40 м. 10

Скорость в наивысшей точке траектории равна проекции начальной скорости мяча на ось ОХ :

vx = vo cosα.

Произведем вычисления:

vх = 20 cos 45о м/с = 14,1 м/с.

Скорость мяча v1 через 2 с после начала движения найдем, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Прежде чем определять скорость мяча через 2 с, вычислим по формуле (1), через сколько времени он достигнет высшей точки подъема:

t = 20sin45° с = 1,41 с. 10

Таким образом, в течение 1,41 с мяч взлетит на максимальную высоту, а затем еще 0,59 с из этих 2 с будет опускаться. Следовательно, его скорость v у1 станет равна:

48

1. Механика

Координату х1 через 2 с найдем по уравнению равномерного движения:

x1 = vxt1.

Произведем вычисления:

х1 = 14,1 2 м = 28,2 м.

Координату Y1 через 2 с найдем из уравнения координаты при равнозамедленном движении вдоль оси ОY:

Ответ: hmax = 10 м, хmaх = 40 м, vx = 14,1 м/с, t = 1,41 с, v1 = 15 м/с, х1 = 28,2 м, y1 = 8 м.

Задача 22. Предельная линейная скорость периферийных точек шлифовального камня 95 м/с, его диаметр 30 см. Определить наибольшее допустимое число оборотов в минуту для диска.

Обозначим v линейную скорость точек обода камня, t — время вращения, d — диаметр диска, R — его радиус, T — период вращения, N — число оборотов за время t.

Период найдем из формулы, устанавливающей связь линейной скорости с периодом:

49