Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике

Решебник по физике

Подставим в первую формулу правые части двух последних равенств:

Задача 61. Свинцовый шар массой m1 = 500 г двигался со скоростью v1 = 10 м/с и непруго столкнулся с неподвижным шаром массой m2 = 200 г. Найти кинетическую энергию обоих шаров после столкновения.

Обозначим v скорость шаров после соударения, Ek — их общую кинетическую энергию. Остальные величины обозначены в условии задачи.

100

1. Механика

где скорость обоих шаров после удара v можно найти из закона сохранения импульса. Согласно этому закону импульс первого шара до удара m1v1 равен суммарному импульсу обоих шаров после удара, поскольку удар неупругий и импульс второго шара m2v2 до удара был равен нулю, т.к. этот шар до удара покоился:

Выразим все величины в единицах СИ: 500 г = 0,5 кг, 200 г = 0,2 кг.

Произведем вычисления:

(0,5 10)2

Ek = 2(0,5+ 0,2) Дж = 18 Дж.

Еk = 18 Дж.

Задача 62. Тело бросили с земли вверх со скоростью 4,9 м/с. На какой высоте его потенциальная и кинетическая энергии станут одинаковыми? Сопротивлением пренебречь.

Обозначимvo начальнуюскорость,скоторойтелобросили вверх,v—егоконечнуюскоростьнавысотеh,g—ускорение свободногопадения,Eko —начальнуюкинетическуюэнергию

101

Решебник по физике

тела в момент броска,Ek — его кинетическую энергию на высоте, Ep — потенциальную энергию тела на этой же высоте.

поскольку Ер = Еk.

По формуле кинетической и потенциальной энергий

Ответ: h = 0,6 м.

Задача63.Два шарика 1 и 2 с массами m1 и m2 подвешены на нитях одинаковой длины l, касаясь друг друга. Шарик массой m1 отклоняют от вертикали на угол α и отпускают. На какую высоту поднимутся шарики после абсолютно неупругого удара?

Обозначим h1 высоту подъема шарика массой m1 при отклонении, h2 — высоту подъема обоих шариков, g — ускорение свободного падения, v0 — скорость отклоненного шарика в момент удара о неподвижный, v — скорость обоих шариков сразу после удара.

102

1. Механика

Дано: Решение

αВыполнимчертеж(рис.37).Искомуювы-

gабсолютно неупругого соударения: кинети-

lческая энергия шаров сразу после соударе-

h2 — ? ния (m1 +m2 )v2 превращается в их потенци- 2

альную энергию (m1 +m2 )gh2 :

(m1 +m2 )v2 = (m1 +m2 )gh2,

2

Здесь v — скорость обоих шаров сразу после соударения. Ее можно найти из закона сохранения импульса, согласно которому импульс шара 1 непосредственно перед ударом m1v0 равен импульсу обоих шаров (m1 + m2)v сразу после

удара:

m1v0 = (m1 + m2) v,

Рис. 37

103

Решебник по физике

Скорость шара 1 перед ударом найдем по закону сохранения его механической энергии, согласно которому потенциальная энергия шара 1 на высоте h1, равная m1gh1, равна

его кинетической энергии m1v02 непосредственно перед ударом: 2

Высота h1 = l – l cos α1 = l (1 – cos α1).

Подставив правую часть этого выражения в предыдущую формулу, получим окончательно:

Задача 64. Гиря, положенная сверху на вертикальную пружину, сжимает ее на 1 мм. Если эту гирю бросить на пружину со скоростью 0,2 м/с с высоты 10 см, то какова теперь будет деформация пружины?

Обозначим х1 деформацию пружины, когда на нее положили гирю, v0 — скорость, с которой гирю бросили, h — высоту, с которой бросили гирю, х2 — деформацию пружины после бросания гири, g — ускорение свободного падения, k — жесткость пружины, Fупр — силу упругости.

104

энергии на высоте mgh равна потенциальной энергии сжа-

Жесткость пружины k найдем, приравняв согласно третьему закону Ньютона силу тяжести, действующую на гирю, силе упругости пружины:

mg = Fупр,

где по закону Гука Fупр = kx1, поэтому mg = kx1, откуда

Подставив правую часть равенства (2) в формулу (1), получим окончательно:

Ответ: х2 = 1,4 см.

105

Решебник по физике

Задача65.Дваодинаковыхбрускамассамипо200гкаждыйсоединеныупругойвертикальнойпружинойс жесткостью 300 Н/м (рис. 38). Нажатием на верхний брусок пружину сжали так, что ее деформация стала 5 см. Какова будет скорость центра масс этой системы тел в момент отрыва нижнего бруска от стола? Сопротивление не учитывать.

Обозначим m массу каждого бруска, х — деформацию пружины при сжатии, g — ускорение свободного падения, k — жесткость пружины, vС — скорость центра масс системы тел, Ер1 — потенциальную энергию сжатой пружины, Ер2 — потенциальную энергию центра масс относительно первоначального уровня, х1 — деформацию растянутой пружины, Ер3 — потенциальную энергию растянутой пружины, Ер4 — потенциальную энергию центра масс относительно первоначального положения при растянутой пружине, Еk — кинетическую энергию верхнего бруска, v — его скорость.

Решение

Непростаязадачка.Давайтевспомним, что такое центр масс. Это такая материальная точка с массой, равной массе всего тела, которая движется под действием приложенных к ней сил так же, как и само тело.

В нашем случае, поскольку система бруски — пружина симметрична, ее центр масс С располагается в геометрическом центре системы, т. е. посередине пружины.

Теперь давайте выполним рисунок. Сначала изобразим пружину недеформированной (рис. 38, а). Когда ее сжали, центр масс опустился на расстояние х относительно первоначального положения (рис. 38, b). Значит, пружина приобрела потенциальную энергию Ер1, которую можно определить по формуле

kx2

Ер1 = 2 .

Кроме того, поскольку центр тяжести опустился на расстояние х, то относительно прежнего уровня центр масс

106

1. Механика

Рис. 38

приобрел отрицательную потенциальную энергию. Напомним, что потенциальная энергия может быть и положительной, и отрицательной, поскольку она относительна. Относительно стола потенциальная энергия центра масс положительна, поскольку он выше стола, а относительно прежнего положения — отрицательна, поскольку теперь центр масс ниже прежнего уровня. Эту потенциальную энергию Ер2 можно определить по формуле

Ер2 = –mgx.

Попробуем решить эту задачу, применив закон сохранения механической энергии. Этот замечательный закон вы- ручитвасприрешениипочтилюбыхзадачдинамики—осо- бенно когда не требуется учитывать все силы, действующие в системе. Согласно этому закону суммарная механическая энергия брусков со сжатой пружиной равна их суммарной механической энергии в момент, когда нижний брусок еще лежитнастоле,нопружинаужерастянулась,еедеформация стала х1, центр тяжести поднялся на высоту х1 над первоначальным положением и верхний брусок приобрел скорость vС (рис. 37, b). При этом потенциальная энергия пружины

107

Решебник по физике

а потенциальная энергия центра масс Ер4 относительно первоначального положения стала положительной и равной:

Ер4 = mgx1.

Кроме того, верхний брусок приобрел скорость v и, значит, кинетическую энергию Еk, которая определяется по

формуле

Ek = mv2 2 .

Теперь давайте запишем закон сохранения механической энергии, а затем подумаем, какие величины нам еще надо определить, чтобы найти искомую жесткость:

Ер1 + Ер2 = Ер3 + Ер4 + Еk

или

Здесь нам не известны деформация х1 и скорость верхнего бруска. По закону Гука произведение жесткости пружины на ее деформацию равно деформирующей ее силе, которая в момент отрыва нижнего бруска от стола равна весу этого бруска Р = mg, поэтому мы можем записать:

kx1 = mg,

откуда

x1 = mgk .

Здесь уже все величины в правой части нам даны. Теперь подумаем, как выразить неизвестную скорость верхнего бруска через высоту поднятия центра тяжести, которая нам известна. Попробуем связать эту скорость со скоростью центра масс vС в этот момент. Будем рассуждать так. Нижний брусок еще покоится, его скорость равна нулю, а верхний уже получил скорость v. Значит, по мере подъема от витка к витку их скорость линейно нарастает, поэтому скорость центра масс, лежащего посередине пружины, будет равна половине скорости верхнего бруска:

108

1. Механика

Теперь давайте подставим правую часть равенства (2) в формулу(1)иизполученноговыражениянайдемскорость верхнего бруска v, а затем — и скорость центра масс vС :

Мы решили задачу в общем виде. Выразим все величины в единицах СИ:

200 г = 0,2 кг, 5 см = 0,05 м.

Подставим числа и вычислим:

Ответ: vС = 2,55 м/с.

Задача 66. Шар массой M, висевший неподвижно на нити длиной l, отклонили на угол α от вертикали и отпустили (рис. 39, а). Когда он проходил через прежнее положение равновесия, в него попала пуля массой m, летевшая горизонтальнонавстречушару,и,пробившар,полетеладальше. После этого шар, продолжая движение в прежнем направлении,отклонилсянауголβ отвертикали(рис.39,б).Найти изменение импульса пули сразу после пробивания шара.

109