Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике
.pdf
Решебник по физике
Произведем вычисления: |
|
|||||
F = 50 |
|
10 |
− |
8− 2 |
Н = 400 Н. |
|
|
|
|
||||
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
Ответ: F = 400 Н.
Задача 31. Сила тяги тепловоза массой 1000 т равна 147 кН. Тепловоз проходит путь 600 м по горизонтальному
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
участкусначальнойскоростью36км/ч, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
двигаясь равноускоренно. Его ско- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рость в конце участка 54 км/ч. Опре- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делить силу сопротивления движе- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нию, считая ее постоянной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим S путь, пройденный по- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ездомвпроцессе увеличения скорости, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fт — силу тяги, vo — начальную ско- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рость, v — скорость в конце пути, m — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
массу поезда, Fс — силу сопротивле- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния, а — ускорение поезда, g — уско- |
|
|
|
Рис. 21 |
|
рение свободного падения, N — силу |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
реакции опоры, vср — среднюю ско- |
рость на пути S, t — время движения. Выполним чертеж
(рис. 21).
Решение
На поезд, движущийся равноускоренно, действуют четыре силы: сила тяги, сила сопротивления, направленная противоположно и меньшая по модулю, сила тяжести и уравновешивающая ее сила реакции опоры. По второму закону Ньютона равнодей ствующая этих сил по модулю равна
разности сил тяги и сопротивления:
ma = Fт – Fс,
откуда
Fс = Fт – ma. |
(1) |
60
1. Механика
Ускорение поезда можно найти по формуле
а = |
v −vo |
. |
(2) |
|
|||
|
t |
|
|
Правда, время увеличения скорости нам не дано, но его можно определить, разделив известный нам путь S на среднюю скорость на нем vср:
S t = vcp ,
где средняя скорость равна среднему арифметическому начальной и конечной скоростей:
|
|
vср = |
|
vo +v |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом этого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = |
|
2S |
|
|
. |
|
|
|
|
|
(3) |
|||
|
|
|
v |
+v |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим (3) в (2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(v −v )(v+v ) |
|
|
|
|
v2 −v |
2 |
|
|
|||||||
а = |
|
o |
|
|
o |
|
= |
|
|
o |
|
. |
(4) |
|||
|
2S |
|
|
|
|
2S |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Запомните эту формулу, она вам в дальнейшем может |
||||||||||||||||
пригодиться. Теперь подставим (4) в (1): |
|
|
|
|||||||||||||
|
F = F − m |
v2 |
|
−v 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
o |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
c |
T |
|
|
|
2S |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Выразим все величины в единицах СИ: |
|
|||||||||||||||
147 кН = 1,47 105 Н, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
36 км/ч = 10 м/с, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 км/ч = 15 м/с, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 т = 106 кг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F = 1,47 105 – 106 |
152 −102 |
|
Н = 4,3 104 Н. |
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
с |
|
|
|
2 600 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: F = 4,3 ∙ 104 |
Н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
Решебник по физике
Задача32.Автомобиль массой 5 т движется по вогнутому мосту с радиусом кривизны 100 м. Скорость автомобиля 72 км/ч. Определить силу, с которой автомобиль давит на мост, проезжая его середину.
Обозначим m массу автомобиля, v — его скорость, R — радиус кривизны моста, F — силу, с которой автомобиль давит на мост, N — силу реакции моста, a — ускорение автомобиля, g — ускорение свободного падения. Выполним чертеж (рис. 22).
Рис. 22
Решение
На автомобиль вдоль радиуса кривизнымоставсреднейточкедействуют две неуравновешенные силы: вниз — сила тяжести, модуль которой равен mg, и вверх — сила реакции опоры, модуль которой N равен силе давления автомобиля F. Больше та сила,
которая направлена к центру кривизны моста. А поскольку мост вогнутый, к центру его кривизны направлена сила реакции опоры, значит, она больше силы тяжести (а если бы мост был выпуклым, то все было бы наоборот). По второму закону Ньютона
ma = N – mg,
откуда
N = F = mg + ma = m(g + a). |
(1) |
62
1. Механика
Из кинематики мы знаем формулу ускорения при движении по окружности (его иногда называют центростремительным ускорением, поскольку вектор этого ускорения направлен по радиусу к центру кривизны):
а = |
v2 |
. |
(2) |
|
R |
||||
|
|
|
Подставим (2) в (1):
F= m g + v2 .
R
Выразим все величины в единицах СИ: 5 т = 5 103 кг,
72 км/ч = 72 10003600 м/с = 20 м/с.
Произведем вычисления:
F = 5 103 10+ 202 = 7 103 Н ≈ 70 кН.100
Ответ: F = 70 кН.
Задача33.Жесткий стержень длиной 1 м с прикрепленным к его концу шариком массой 100 г равномерно вращается в вертикальной плоскости. Линейная скорость шарика в одном случае 2 м/с, в другом 4 м/с. Определить модуль и направление силы, с которой стержень действует на шарик в верхней точке при двух разных линейных скоростях. Массой стержня пренебречь.
Обозначимlдлинустержня,m—массушарика,v1 —пер- вую скорость шарика,v2 — вторую скорость шарика, F1 — силу, действующую на шарик со стороны стержня при первой скорости, F2 — силу, действующую на шарик во втором случае, g — ускорение свободного падения, a1 — ускорение шарика в первом случае.
63
|
|
Решебник по физике |
|||
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
Решение |
|||
|
|||||
l = 1 м |
|
В верхней точке на шарик дейс- |
|||
m = 100 г |
|
твуют две силы: сила тяжести, мо- |
|||
v1 = 2 м/с |
|
дуль которой равен mg, и сила реак- |
|||
v2 = 4 м/с |
|
ции стержня, приложенная к шари- |
|||
g = 10 м/с2 |
|
ку, который находится над стержнем |
|||
|
|
в этой точке (рис. 23). Модуль этой |
|||
F1 — ? |
|
||||
|
силы при первой скорости шарика ра- |
||||
F2 — ? |
|
вен N1. По второму закону Ньютона |
|||
|
|||||
|
|
ma1 = mg + N1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 23
Мы поставили знак «плюс», предположив, что обе силы направлены в одну сторону — вниз. Из этой формулы
N1 = F1 = ma1 – mg = m(a1 – g). |
(1) |
Из кинематики мы знаем формулу ускорения:
|
v 2 |
|
|
а1 = |
1 |
. |
(2) |
|
|||
|
R |
|
|
Подставим (2) в (1):
64
|
|
|
|
1. Механика |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = m |
v 2 |
|
− g |
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
R |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = m |
v 2 |
|
− g |
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
R |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выразим массу в единицах СИ: |
|
|
|||||||||
100 г = 0,1 кг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
22 |
− |
|
|
|
|
|
|
F |
1 |
= 0,1 |
|
|
10 |
|
Н = – 0,6 Н. |
||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак «минус» свидетельствует о том, что при такой малой скорости сила F1, приложенная к шарику, будет направлена вверх.
|
|
|
42 |
|
|
F |
= 0,1 |
|
|
−10 |
Н = 0,6 Н. |
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Теперь мы получили положительную величину и можем утверждать, что при большой скорости сила, действующая на шарик со стороны стержня, направлена вниз.
Ответ: F1 = –0,6 Н, F2 = 0,6 Н.
Задача 34. Начальная скорость тела 8 м/с. При его движении на тело действует сила сопротивления, пропорциональная скорости тела согласно закону F = – kv, где коэффициент пропорциональности k = 0,2 кг/с. Масса тела 2 кг. Какой путь пройдет тело до остановки?
Обозначим v0 начальную скорость тела, F — действующую на тело силу, k — коэффициент пропорциональности, v — скорость тела, vк — конечную скорость тела, vср — среднюю скорость, m — массу тела, аср — среднее ускорение, Fср — среднюю силу, действовавшую в течение времени t, S — пройденный путь.
65
|
|
Решебник по физике |
|||
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
Решение |
|||
|
|||||
v0 = 8 м/с |
|
Пройденный путь при переменном |
|||
F = –kv |
|
движении можно найти по формуле |
|||
k = 0,2 кг/с |
|
S = vсрt, |
|||
vк = 0 |
|
||||
|
где |
||||
m = 2 кг |
|
||||
|
|
Fcp |
|
||
|
|
vср = − |
. |
||
S — ? |
|
||||
|
|||||
|
|
k |
|||
|
|
||||
По второму закону Ньютона
Fср = maср,
где m = 2 кг аср = v −tv0
С учетом этого,
|
− |
v |
|
Fср = m |
0 |
|
|
|
|||
|
|
t |
|
= − vt0 при vк = 0.
и vср = − |
m |
− |
v |
|
= |
mv |
|
|
0 |
|
0 |
. |
|||
t |
|
||||||
|
k |
|
|
|
kt |
||
Подставив правую часть этого выражения в первую формулу, получим:
S = mvkt0 t = mk v0 = 02,2 8 м = 80 м.
Ответ: S = 80 м.
Задача 35. Два груза массами 800 г и 200 г связаны невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Блок вращается без трения. С какой скоростью левый груз, двигаясь без начальной скорости, достигнет пола, если вначале он располагался на высоте 1 м над ним? Сопротивлением пренебречь.
Обозначим m1 массу левого груза, m2 — массу правого груза, vo — начальную скорость грузов, h — их высоту над полом в начальный момент времени, g — ускорение свободного падения, v — скорость в момент удара о пол, а — ускорение грузов, FH — силу натяжения нити.
66
1. Механика
Дано: |
|
Решение |
|
||
|
Поскольку на грузы будут действо- |
|
m1 = 800 г |
|
|
|
вать постоянные и неуравновешенные |
|
m2 = 200 г |
|
|
|
силы, грузы будут двигаться равноус- |
|
vo = 0 |
|
|
h = 1 м |
|
коренно. Покажем эти силы на нашем |
g = 10 м/с2 |
|
чертеже (рис. 24). На левый груз будут |
|
|
действовать направлен- |
v — ? |
|
|
|
ная вниз сила тяжести |
|
|
||
|
|
|
|
|
m1g и направленная |
вверх сила натяжения нити FH, на правый
— направленная вверх и такая же по модулю сила натяжения нити FH, а вниз — сила тяжести m2g. По второму закону Ньютона равнодействующая сил тяжести и натяжения, приложенных к левому, более тяжелому грузу, движущемуся с ускорением вниз, равна:
m1a = m1g −FH. |
(1) |
Равнодействующая сил натяжения и тяжести, приложенных к правому, более легкому грузу, движущемуся с ускорением вверх, равна:
m1a = FH −m1g . |
(2) |
|
Рис. 24 |
Мы записали эти уравнения, чтобы из них найти одинаковое для обоих грузов ускорение а.
Потому что если мы будем его знать, то сможем найти и искомую скорость, с которой левый груз ударится о пол, пройдя расстояние h.
Как же из этих уравнений найти ускорение а? Из математики вы знаете, что при решении системы уравнений их левые и правые части можно складывать, вычитать, делить или перемножать, — от этого равенство не нарушится. Какое же действие нам выполнить здесь? Нам надо, чтобы «ушла» неизвестная нам и ненужная для решения сила натяжения (она нам не дана и не спрашивается). Подумав,
67
Решебник по физике
можно сообразить, что оба уравнения надо сложить — левую часть уравнения (1) с левой частью уравнения (2), а правую — с правой. Тогда вследствие приведения подобных членов силы натяжения в оставшемся уравнении уже не будет, и мы сможем найти нужное нам ускорение. Значит, складываем уравнения (1) и (2):
m1a+m2a = m1g −FH + FH −m2g,
a(m1 +m2 ) = g(m1 −m2 ),
откуда
a = |
g(m1 −m2 ) |
. |
(3) |
|
m |
+m |
|||
|
1 |
2 |
|
|
Здесь все величины нам известны. Теперь воспользуемся формулой:
v2 = 2ah,
откуда v = 2ah или с учетом (3)
v = 2ghm1 −m2 . m1 +m2
Мы решили задачу в общем виде. Подставим числа и вычислим. Но сначала выразим все величины в единицах СИ:
800 г = 0,8 кг,
200 г = 0,2 кг.
v = 2 10 100,,88+−00,,22 м/с = 3,5 м/с.
Ответ: v = 3,5 м/с.
Задача 36. Брусок массой М лежит на горизонтальном столе. Его пробивает пуля массой m, летевшая параллельно поверхности стола со скоростью v. Пробив брусок, пуля вылетает в том же направлении с вдвое меньшей скоростью. При этом брусок передвигается по столу на расстояние S. Чему равен коэффициент трения бруска о поверхность стола?
68
1. Механика
Обозначим Fтр — силу трения бруска о поверхность стола, а — его ускорение, g — ускорение свободного падения, μ — коэффициент трения.
Дано: Решение
МБудемрассуждатьтак:пуля,пробивбру-
mсок, сообщила ему некоторую начальную
vскорость v0, с которой он стал передвигать-
gся равнозамедленно под действием силы
трения. По второму закону Ньютона сила μ — ? трения между бруском и поверхностью стола равна произведению массы бруска и его ускорения:
Fтр = Ma.
С другой стороны, сила трения равна произведению коэффициента трения и силы нормального давления бруска на поверхность стола, которая здесь равна силе тяжести, поэтому
Fтр = μMg.
Приравняв правые части этих формул, получим:
Ma = Mg, |
a = g, |
|
|
откуда |
|
|
|
µ = |
a |
. |
(1) |
g |
|||
Таким образом, задача сводится к нахождению ускорения бруска (точнее, его замедления), когда он тормозил на пути S. В конце этого пути его скорость vK стала равна нулю, брусок остановился. Если бы мы знали его скорость v0 сразу после того, как пуля пробила брусок, мы могли найти нужное нам ускорение, записав так:
v2 |
−v2 |
= −2aS, |
|
||
K |
0 |
|
|
|
|
откуда при vK = 0 |
|
|
|
|
|
|
a = |
v2 |
|
||
|
0 |
. |
(2) |
||
|
|
||||
|
|
|
2S |
|
|
Теперь бы найти начальную скорость бруска сразу после пробивания его пулей. Для ее нахождения закон сохранения механической энергии применять нельзя, т.к. часть
69