Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике

Решебник по физике

∆T1 — изменение температуры газа на участке 1 — 2, ∆T2 — изменение температуры газа на участке 3 — 4.

шении давления в процессе 3 — 4 газ охлаждается, т.е. он отдает тепло внешней среде в количестве Q2. Поэтому КПД этого кругового процесса

Количество теплоты, полученное газом при изохорном увеличении давления, соответствующем участку 1 — 2 графика, в соответствии с первым законом термодинамики, когда работа расширения А = 0, равно изменению внутренней энергии газа:

240

2. Молекулярная физика и термодинамика

Q1 = ∆V1 = 32νR∆T1,

где в соответствии с уравнением Менделеева — Клапейрона

Приизохорномуменьшениидавления,соответствующем участку 3 — 4 графика, количество теплотыQ2, выделенное в процессе охлаждения газа, найдем по аналогичной формуле:

Нам осталось подставить правые части равенств (2) и (3) в формулу (1), и задача в общем виде будет решена. Проде-

Здесь можно не переводить единицы величин в СИ, ведь все они сокращаются. Произведем вычисления:

(15−5)6

η= 1− ( ) 100%= 25%.50−10 2

Ответ: η = 25%.

Задача 38. В идеальном газе происходит процесс, изображенный на рис. 85. Какое количество теплоты подведено к газу на протяжении всего процесса, начиная от состояния 1 и кончая состоянием 4?

Обозначим p1 давлениегазавпервомсостоянии, p2—дав- ление газа во втором состоянии, V1 — объем газа в первом состоянии, V2 — объем газа во втором состоянии, V3 — объем газа в третьем состоянии, Q — количество теплоты,

241

подведенное к газу на протяжении всего процесса, Q1 — количество теплоты, полученное газом при изобарном расширении (участок 1 — 2), Q2 — количество теплоты, полученное газом при изохорном нагревании (участок 2 — 3), Q3 — количество теплоты, полученное газом на участке 3 — 4, ∆U1 — изменение внутренней энергии газа на участке 1 — 2, A1 — работу, совершенную газом против внешних сил на участке 1 — 2, ν — количество молей газа, R — молярную газовую постоянную, ∆T1 — изменение температуры газа на участке 1 — 2, А2 — работу при изохорном процессе на участке 2 — 3, T2 — температуру газа в состоянии 2.

ченное газом при изобарном расширении (участок 1 — 2), равно сумме изменения внутренней энергии газа ∆U1 и работе А1, совершенной газом против внешних сил:

242

2. Молекулярная физика и термодинамика

Количество теплоты Q2, полученное газом при изохорном нагревании (участок 2 — 3), равно только изменению внутренней энергии газа ∆U2, ведь при изохорном процессе работа газа А2 = 0.

Поэтому, в соответствии с предыдущими рассуждения-

Процесс, соответствующий участку 3 — 4, снова является изобарным, поэтому по аналогии с предыдущим изо-

Подставив правые части выражений (2), (3) и (4) в равенство (1), мы решим задачу в общем виде:

Q = 2,5p1 (V2 −V1)+1,5( p2 − p1)V2 +2,5p2 (V3 −V2 ).

Задача в общем виде решена — можно подставлять числа. Но если вам попадется такая задача в общем виде, без числовых данных, то следует правую часть этого выражения упростить: раскрыть скобки и сделать приведение подобных членов. Проделаем эти действия и мы:

Q =2,5p1V2 −2,5p1V1 +1,5p2V2 −1,5p1V2 +2,5p2V3 −2,5p2V2 =

= p1V2 −2,5p1V1 − p2V2 +2,5p2V3 = p1 (V2 −2,5V1)+ p2 (2,5V3 −V2 ).

Выразим все величины в единицах СИ: 100 кПа = 1 ∙ 105 Па, 200 кПа = 2 ∙ 105 Па, 2 л = 2 ∙ 10–3 м3, 6 л = 6 ∙ 10–3 м3, 8 л = 8 ∙ 10–3 м3.

243

Решебник по физике

Произведем вычисления:

Q = 1 ∙ 105(6 ∙ 10–3 – 2,5 ∙ 2 ∙ 10–3) + + 2 ∙ 105(2,5 ∙ 8 ∙ 10–3 –

– 6 ∙ 10–3) Дж = 3800 Дж = 3,8 кДж.

Ответ: Q = 3,8 кДж.

Задача 39. 10 молей идеального газа нагрели на 100 К. В процессе нагревания давление газа росло прямо пропорционально его объему. Какое количество теплоты было сообщено газу?

Обозначим ν количество молей, ∆Т — изменение температуры газа, р — давление, k — коэффициент пропорциональности между давлением и объемом V, Q — количество теплоты, полученное газом, ∆U — изменение его внутренней энергии, А — работу против внешних сил, R — молярную газовую постоянную, p1 V1 и T1 — давление, объем и температуру в начальном состоянии газа, p2 V2 и T2 — давление, объем и температуру в конечном состоянии газа.

Работу расширения газа здесь найти труднее, поскольку процесс не является изобарным, а другой формулы для нахождения работы расширения газа мы не знаем. Тогда воспользуемся графическим способом. Изобразим на графике в координатах р—V процесс, при котором давление газа прямо пропорционально его объему (рис. 86). На таком графике работа А равна площади трапеции abcd, а площадь

244

2. Молекулярная физика и термодинамика

трапеции равна произведению полусуммы ее оснований и высоты. Следовательно,

А теперь вычтем из последнего уравнения предпоследнее. Так мы придем к правой части равенства (3):

kV22 −kV12 = νRT2 −νRT1 , k(V22 −V12 ) = νR(T2 −T1) = νR∆T.

Тогда с учетом равенства (3)

Подставив равенства (2) и (4) в формулу (1), мы решим задачу в общем виде:

Q = 1,5νR∆T + 0,5νR∆T = 2νR∆T.

245

Решебник по физике

Произведем вычисления:

Q = 2 ∙ 10 ∙ 8,31 ∙ 100 Дж = 16620 Дж = 16,62 кДж.

Ответ: Q = 16,62 кДж.

Задача 40. На рис. 87 изображен график зависимости температуры металлического куба со стороной 10 см от выделенного им количества теплоты. Плотность металла 7000 кг/м3. Определить удельную теплоемкость металла.

Обозначим а длину стороны куба, V — его объем, m — массу куба, ρ — плотность меди, с — удельную теплоемкость металла, Т1 — начальную температуру, Т2 — конечную температуру, ∆Т — изменение температуры, Q — количество выделенной теплоты.

246

2. Молекулярная физика и термодинамика

Изменение температуры ∆Т = Т1 – Т2. С учетом этого получим:

Q

с = ρa3 (T1 −T2 ) .

150000 с = 7000 0,13 (600−400) Дж/(кг · К) = 107 Дж/(кг · К).

Ответ: с = 107 Дж/(кг ·К).

Задача41.В калориметр налита вода массой 0,25 кг при температуре 25 °С. В эту воду впустили стоградусный пар массой 10 г. Теплоемкость калориметра 1000 Дж/К, удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг ∙ К), удельная теплота парообразования 2,3 ∙ 106 Дж/К. Найти температуру при тепловом равновесии этих тел.

Обозначимm1 массуводывкалориметре, t1 —начальную температуру этой воды, m2 — массу водяного пара, t2 — на- чальнуютемпературупара,C—теплоемкостькалориметра, t — установившуюся в калориметре температуру после всех тепловых процессов, c — удельную теплоемкость воды, r — удельнуютеплотупарообразования,Q1 —количествотепло- ты, полученное холодной водой при нагревании от температурыt1 доt,Q2 —количествотеплоты,полученноехолодным калориметром при нагревании тоже от температуры t1 до t, Q3 —количествотеплоты,отданноепаромприконденсации, впроцессекоторойеготемпературанеменялась, Q4 —коли- чество теплоты, отданное водой, образовавшейся из горячего пара при охлаждении от температуры t2 до t.

247

Решебник по физике

Здесь

Q1 = cm1(t – t1), Q2 = C(t – t1),

Q3 = rm2, Q4 = cm2(t2 – t).

С учетом этих равенств

cm1(t – t1) + C(t – t1) = rm2 + cm2(t2 – t).

Мы записали уравнение теплового баланса. Раскроем скобки,члены,содержащиеискомуютемпературуt,оставим пооднусторонуотзнакаравенства,анесодержащие—пере- несем в другую, вынесем t за скобки и определим:

cm1t – cm1t1 + Ct – Ct1 = rm2 + cm2t2 – cm2t, сm1t + Ct + cm2t = cm1t1 + Ct1 + rm2, t(c(m1 + m2) + C) = t1(cm1 + C) + rm2,

t = t1(cm1 +C)+rm2 . c(m1 +m2)+C

Выразим в единицах СИ массу пара: 10 г = 0,01 кг. Произведем вычисления:

t = 25(4200 0,25+1000)+2,3 106 0,001 оС ≈ 35 °С. 4200(0,25+0,01)+1000

Ответ: t = 35 °С.

Задача 42. В калориметр налита вода массой 0,4 кг при 10 оС. В воду положили 0,6 кг льда при –40 °С. Определить температуру после установления теплового равновесия. Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг · К), удельная теплоемкость льда 2100 Дж/(кг · К), удельная теплота плавления льда 3,3 · 105 Дж/кг.

Обозначим m1 массу воды в калориметре, t1 — ее началь- нуютемпературу,m2—массульда,t2 —начальнуютемпера- турульда,t—температуру,установившуюсявкалориметре послевсехтепловыхпроцессов, c1—удельнуютеплоемкость воды, c2 — удельную теплоемкость льда, λ — удельную теплоту плавления льда, tо = 0 °С — температуру плавления льда и кристаллизации воды, Q1 — количество теплоты, от-

248

2. Молекулярная физика и термодинамика

данное водой в калориметре при охлаждении от температуры t1 до tо, Q2 — количество теплоты, необходимое льду, чтобы нагреться от температуры t2 до tо, Q3 — количество теплоты, которое выделит вода, если, остыв до 0 °С, полностью превратится в лед, Q4 — количество теплоты, необходимое льду, чтобы полностью растаять.

Решение

Глядя на массы воды и льда, а также на их начальные

подсчитаем,сколькотеплотыQ1 выделитводамассойm1 при охлаждении от t1 = 10 °C до tо = 0 °С, сколько теплоты Q2 потребуется льду, чтобы нагреться от температуры t2 = – 40 °С до tо = 0 °С, и сколько теплоты нужно этому льду чтобы полностью растаять — а потом сравним полученные величины.

Вода при охлаждении от 10 °С до 0 °С выделит Q1 =

=c1m1(to – t1) = 4200 · 0,4(0 – 10) Дж = –16 800 Дж теплоты.

Льду,чтобынагретьсядо0 °С,требуетсяQ2 =c2m2(to –t2) =

=2100 · 0,6(0 – (–40)) Дж = 50 400 Дж теплоты.

Значит, теплоты, выделенной водой при охлаждении до 0 °С, недостаточно, чтобы лед нагрелся до температуры плавления, т.е. тоже до 0 °С.

Вода остынет до 0 °С и станет кристаллизоваться, т.е. превращаться в лед. Если она полностью превратится в лед,

то выделит еще Q3 = –λm1 = 3,3 · 105 · 0,4 Дж = –132 000 Дж теплоты.

Теплоты Q1 + Q3 = –(16 800 + 132 000) Дж = –148 800 Дж хватит льду, чтобы нагреться до температуры таяния,

249