ϕp0MV
Решебник по физике
Подставив (2) в (1), решим задачу в общем виде:
m = RT100%.
Выразим все величины в единицах СИ: 15 °С = 288 К, 12,8 мм рт. ст. = 12,8 · 133 Па = 1702 Па.
Произведем вычисления:
m = 60 1702 0,018 120 кг ≈ 0,92 кг. 8,31 288 100
Ответ: m = 0,92 кг.
Задача 29. При температуре t = 20 °С относительная влажность в комнате ϕ1 = 20 %. Какую массу воды нужно испарить для увеличения влажности до ϕ2 = 50 %, если объем комнаты V = 40 м3? Плотность насыщенных паров воды при температуре t = 20 °С равна ρ0 = 1,73 · 10–2 кг/м3.
Обозначимрдавлениеводяногопаравкомнатепри20 °С, р0 — давление насыщенного водяного пара при этой же температуре, m — массу водяного пара в комнате при влажности 20 %, M — молярную массу водяного пара, R — молярную газовую постоянную, T — абсолютную температуру воздухавкомнате,ρ—плотностьпараввоздухеприначаль- ной влажности, ∆ρ — изменение плотности пара при допол- нительномиспаренииводы,∆m—массуводы,которуюнуж- но испарить, чтобы влажность в комнате стала равна 50 %. Обозначения остальных величин даны в условии задачи.
Дано: t = 20 °С
ϕ1 = 20 %
ϕ2 = 50 % V = 40 м3
ρ0 = 1,73 · 10–2 кг/м3
∆m — ?
Решение
Сначала установим связь между плотностью водяного параиотносительнойвлажностью. Мы знаем, что
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона
2. Молекулярная физика и термодинамика
|
|
pV = |
m |
RT, |
|
|
|
|
|
|
где m = ρV, поэтому |
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
pV = |
ρV |
RT и p = |
ρ |
RT. |
|
M |
|
M |
|
Здесь р и ρ— давление и плотность ненасыщенного пара при 20 °С = 293 К. Аналогично для насыщенного пара при
этой же температуре мы можем написать |
|
|
|
|
p = |
ρ0 |
RT. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
M |
|
|
|
|
Разделив левые и правые части двух последних равенств |
друг на друга, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
= |
ρRTM |
= |
ρ |
. |
(2) |
|
p |
|
Mρ |
|
|
RT |
|
|
|
|
0 |
|
ρ |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Тогда согласно формулам (1) и (2) мы можем записать: |
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
ϕ1 = ρ |
100%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Запомните эту формулу, она вам может пригодиться при решении задач на влажность, в которых идет речь о массе и плотности пара.
После того как испарят ∆m воды, плотность водяного пара в комнате увеличится на ∆ρ и станет равна ρ + ∆ρ,
а относительная влажность увеличится до ϕ2 |
и станет те- |
перь равна |
|
ρ+∆ρ100%. |
|
ϕ2 |
= |
(4) |
|
|
ρ0 |
|
Найдем из формулы (3) плотность пара ρ при первоначальной влажности ϕ1, ведь она нам известна:
ρ= 100%ϕ1ρ0 .
Теперь подставим правую часть этого выражения в числитель формулы (4) вместо плотности пара ρ, которая нам не дана:
231
Решебник по физике
|
|
|
ϕ1ρ0 |
|
+ ∆ρ |
|
ϕ2 |
= |
100% |
|
|
100%. |
|
|
|
|
|
|
ρ0 |
|
|
Из этой формулы найдем увеличение плотности пара ∆ρ, а затем, умножив ее на объем комнаты V, определим и искомую массу воды ∆m, которую надо дополнительно испарить.
ϕ2ρ0 |
|
= |
|
ϕ1ρ0 |
|
+ ∆ρ, |
∆ρ= |
|
ϕ2ρ0 |
|
− |
|
ϕ1ρ0 |
|
= |
|
ρ0 |
(ϕ2 −ϕ1). |
(5) |
100% |
100% |
100% |
100% |
|
|
|
|
|
|
100% |
|
Поскольку ∆m = ∆ρV, то с учетом равенства получим окончательно:
∆m = 100%ρ0V (ϕ2 −ϕ1).
Ответ: ∆m = 100%ρ0V (ϕ2 −ϕ1).
Задача 30. Во сколько раз изменится внутренняя энергия данной массы идеального газа, если его объем уменьшить вдвое, а давление увеличить втрое.
Обозначим р1 начальное давление газа, р2 — его конечное давление, V1 — начальный объем газа, V — его конечный объем, U1 — начальную внутреннюю энергию газа, U2 — его конечную внутреннюю энергию, m — массу газа, M — молярную массу газа, R — молярную газовую постоянную, T — абсолютную температуру газа.
Дано:
p2 = 3 p1
V1 = 2 V2
U2 — ?
U1
Решение
Начальная внутренняя энергия газа U1 равна:
U1 = 32 Mm RT.
Согласно уравнению Менделеева — Кла-
пейрона
p1V1 = Mm RT,
2. Молекулярная физика и термодинамика
|
поэтому |
U |
= |
3 |
p V . |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
Аналогично, для конечного состояния газа мы можем |
|
записать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
= |
|
3 |
p V . |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
2 |
Разделимлевыеиправыечастидвухпоследнихравенств друг на друга:
U2 |
= |
3p2V2 2 |
= |
p2V2 |
. |
U |
2p V |
3 |
|
|
|
p V |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
Согласно условию задачи р2 = 3 р1 и V1 = 2 V2. Подставим эти равенства в последнее уравнение:
|
U2 |
= |
3p1V2 |
= 1,5. |
|
U |
p 2V |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
т.е. внутренняя энергия увеличится в полтора раза.
Ответ: U2/U1 = 1,5.
Задача 31. Начальная масса воздуха в цилиндре отбойного молотка 0,1 г, масса оставшегося в цилиндре воздуха после одного хода поршня 0,5 г, температура воздуха 27 °С. Определить работу изобарного расширения воздуха за один ход поршня в цилиндре. Атмосферное давление 105 Па.
Обозначим начальную массу воздуха в цилиндре m1, его конечную массу — m2, давление воздуха в цилиндре — р, температуру по шкале Цельсия — t, изменение объема газа — ∆V, температуру по шкале Кельвина — Т, молярную газовую постоянную — R, работу газа — А.
Дано:
m1 = 0,1 г m2 = 0,5 г t = 27 °С
р = 10 5 Па
M = 0,029 кг/моль
R = 8,31 Дж/(моль · К)
A — ?
Решение
При изобарном изменении объема газа его работа А определяется произведением давления газа р и изменения его объема ∆V:
А = р∆V.
Решебник по физике
Из уравнения Менделеева — Клапейрона следует, что
р∆V = ∆m RT = m2 −m1 RT. M M
Следовательно, A = m2M−m1 RT.
Выразим все величины в единицах СИ: 0,1 г = 0,0001 кг, 0,5 г = 0,0005 кг, 27 °С = 300 К.
Произведем вычисления:
А = 0,0005−0,00018,31 300 Дж ≈ 34,4 Дж. 0,029
Ответ: А = 34,4 Дж.
Задача 32. Масса геля 4 кг. Его изохорно нагревают на 100 К. Найти количество теплоты, переданное газу при нагревании.
Обозначим m массу гелия, М — его молярную массу, ∆T — изменение температуры, V — объем гелия, ∆V — изменение его объема, R — молярную газовую постоянную, Q — количество теплоты.
Дано: |
|
Решение |
|
m = 4 кг |
|
При неизменном объеме |
M = 0,0004 кг/моль |
|
тепло Q, переданное гелию, |
V = const |
|
целиком идет на увеличение |
∆ T = 100 К |
|
его внутренней энергии ∆U, |
R = 8,31 Дж/(моль · К) |
|
|
|
Q = ∆U, |
|
|
|
3 m |
Q — ? |
|
где ∆U = |
|
|
2 |
|
M |
R∆T , поэтому |
Q = 32 Mm R∆T.
Произведем вычисления:
Q = 32 0,0044 8,31 100 Дж = 1,25 · 106 Дж. Ответ: Q = 1,25 ∙ 106 Дж.
2. Молекулярная физика и термодинамика
Задача 33. Масса водорода 2 кг, его удельная теплоемкость при постоянном давлении 14 кДж/(кг · К). Водород изобарно нагревают на 10 К. Найти изменение внутренней энергии водорода.
Обозначим m массу водорода, ∆T — изменение его температуры, cp — удельную теплоемкость водорода при постоянном давлении, ∆U — изменение внутренней энергии водорода при нагревании, Q — количество теплоты, переданное ему, А — совершенную водородом работу, М — молярную массу водорода, R — молярную газовую постоянную, р — давление водорода, ∆V — изменение его объема.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
m = 2 кг |
|
Согласнопервомузаконутер- |
∆T = 10 К |
|
модинамики количество тепло- |
cp = 14 кДж/(кг · К) |
|
ты Q, переданное водороду при |
M = 0,002 кг/моль |
|
нагревании, расходуется на из- |
R = 8,31 Дж/(моль · К) |
|
менение его внутренней энер- |
|
|
гии ∆U и на совершение работы |
∆U — ? |
|
|
А против внешних сил: |
|
|
|
|
|
Q = ∆U + A, |
|
откуда |
∆U = Q – A. |
|
|
(1) |
Количество теплоты Q равно произведению известных нам массы водорода m, его удельной теплоемкости при постоянном давлении ср и изменения температуры ∆Т:
Работу расширения газа найдем как произведение его давления р на изменение объема ∆V:
А = р∆V.
Поскольку эти величины нам не известны, перейдем к известным, воспользовавшись уравнением Менделеева — Клапейрона, согласно которому:
p∆V = Mm R∆T ,
поэтому
∆Т — ?
Дано:
ν = 4 моль
А = 500 Дж
R = 8,31 Дж/(моль · К)
Решебник по физике
Подставим (2) и (3) в (1):
∆U = mcp∆T – Mm R∆T,
Мы решили задачу в общем виде. Выразим удельную теплоемкость в единицах СИ:
14 кДж/(кг · К) = 1,4 · 104 Дж/(кг · К).
Произведем вычисления:
∆U = 2 · 10 |
|
1,4 104 |
− |
8,31 |
|
Дж = 1,97 · 105 Дж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,002 |
|
Ответ: ∆U = |
1,97 ∙ 105 Дж. |
|
|
Задача 34. 4 моля идеального одноатомного газа адиабатно сжимают, совершив работу 500 Дж. Найти изменение его температуры.
Обозначим ν количество вещества, А — совершенную над газом работу, ∆Т — изменение температуры газа, Q — количество теплоты, ∆U — изменение внутренней энергии газа, R — молярную газовую постоянную.
Решение
Воспользуемся первым законом термодинамики:
Q = ∆U + A.
При адиабатном процессе система не обменивается теплом с внешней средой, поэтому Q = 0. В этом случае
0 = ∆U + A ∆U = –A.
Поскольку газ сжимают, совершенная над ним работа отрицательна, а изменение внутренней энергии положительно, т.к. она увеличивается, вследствие чего его темпе-
2. Молекулярная физика и термодинамика
ратура повышается. По формуле внутренней энергии идеального одноатомного газа ее изменение равно:
∆U = 32 νR∆T.
Согласно сказанному выше
32 νR∆T = A,
откуда ∆T = 32νAR.
Произведем вычисления:
2 500 ∆Т = 3 4 8,31 К = 10 К.
Ответ: ∆Т = 10 К.
Задача 35. В герметически закрытом сосуде находятся 5 моль идеального одноатомного газа при 27 °С. Какое количество теплоты надо передать этому газу, чтобы его давление увеличилось в 3 раза?
Обозначим ν количество молей идеального одноатомного газа, t1 — его начальную температуру по шкале Цельсия, р1 — начальное давление, р2 — конечное давление, Q — количество теплоты, ∆U — изменение внутренней энергии, A — работу расширения, R — молярную газовую постоянную, ∆Т — изменение температуры газа, Т1 — его начальную температуру по шкале Кельвина, Т2 — его конечную температуру по шкале Кельвина.
Дано: |
|
Решение |
|
ν = 5 моль |
|
Применим для решения |
t1 = 27 °C |
|
этой задачи первый закон тер- |
|
p2 |
= 3 |
|
модинамики: |
|
|
Q = ∆U + A. |
|
|
|
|
p |
|
1 |
|
|
|
R = 8,31 Дж/(моль · К) |
|
Но работа расширения газа |
|
|
|
|
здесь равна нулю, ведь газ на- |
Q — ? |
|
|
ходитсявзакрытомсосудеиего |
|
|
|
|
объем не меняется. Значит, первый закон термодинамики в нашем случае примет вид:
237
Решебник по физике
Q = ∆U, |
|
где изменение внутренней энергии газа |
|
∆U = |
3 |
νR∆T . |
(1) |
|
2 |
|
|
Значит, задача сводится к нахождению изменения температуры ∆Т = Т2 – Т1. Нам известно, во сколько раз повысилось давление газа в закрытом сосуде вследствие нагревания, поэтому мы воспользуемся законом Шарля:
|
p T |
или |
|
p2 |
T1 + ∆T |
=1+ |
∆T |
|
|
p |
= T |
|
p1 = |
T1 |
T1 . |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно условию |
p2 |
|
= 3, поэтому 3 =1+ |
∆T |
, откуда |
|
p |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∆Т = 2Т1. |
|
|
|
(2) |
Подставив равенство (2) в формулу (1), мы решим задачу в общем виде:
Q = ∆U = 32νR 2T1 = 3νRT1.
Задача в общем виде решена. Выразим температуру в единицах СИ: 27 °С = 300 К.
Произведем вычисления:
Q = 3 ∙ 5 ∙ 8,31 ∙ 300 Дж = 3,7 ∙ 104 Дж = 37 кДж.
Ответ: Q = 37 кДж.
Задача 36. Какое количество теплоты нужно передать 2 моль идеального одноатомного газа, чтобы изобарно увеличить его объем в 3 раза, если начальная температура
300 К?
Обозначим ν количество молей газа (количество вещества), V1 — начальный объем газа, V2 — конечный объем газа, Т1 — начальную температуру газа, Т2 — конечную температуру газа, Q — переданное количество теплоты, р — давление газа, ∆U — изменение внутренней энергии газа, А — работу изобарного расширения газа, R — молярную газовую постоянную.
|
|
|
|
|
2. Молекулярная физика и термодинамика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν = 2 моль |
|
|
|
|
|
|
|
Согласнопервомузаконутер- |
V2 = 3V1 |
|
|
|
|
|
|
|
модинамики |
|
|
|
|
|
р = const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = ∆U + А. |
|
|
T1 = 300 K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение внутренней энер- |
R = 8,31 Дж/(моль ∙ К) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q — ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆U = |
3 |
νR(T −T ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Работа изобарного расширения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = р(V2 – V1). |
|
|
|
|
|
|
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона |
|
|
|
|
|
|
|
|
р(V2 – V1) = νR(Т2 – Т1) = А. |
|
|
|
|
С учетом этого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = |
3 |
νR(T −T ) + νR(Т |
|
– Т |
) = 2,5 νR(Т |
|
– Т |
). |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Температуру Т2 |
найдем из закона Гей-Люссака: при р = |
|
V2 |
|
= |
T2 |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
T2 |
|
= const |
|
|
|
, где по условию |
2 |
= 3 , поэтому и |
T1 |
= 3, |
V1 |
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
откуда Т2 = 3Т1.
Сучетом этого, Q = 2,5 νR(3Т1 – Т1) = 5νRТ1.
Q = 5 ∙ 2 · 8,31 ∙ 300 Дж = 24930 Дж = 24,93 кДж.
Ответ: Q = 24,93 кДж.
Задача 37. Тепловой двигатель совершает круговой цикл, соответствующий графику на рис. 84. Цикл состоит из двух изохор 1 — 2 и 3 — 4, и двух адиабат 2 — 3 и 4 — 1. Найти КПД этого цикла.
Обозначим p1 давление газа в первом состоянии, p2 — давление газа во втором состоянии, p3 — давление газа в третьем состоянии, p4 — давление газа во четвертом состоянии, V1 — объем газа в первом состоянии, V2 — объем газа вовторомсостоянии,Q1 —количествотеплоты,полученное газом извне в изохорном процессе 1 — 2, Q2 — количество теплоты, отданное внешней среде в процессе 3 — 4, ν — количество молей газа, R — молярную газовую постоянную,
